第二章 2.4.2圆的一般方程--人教A版高中数学选择性必修第一册教学课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
第二章 圆锥曲线的方程
数学
学习目标
①理解圆的一般方程及其特点．
②掌握圆的一般方程和标准方程的互化．
③会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．
学习重难点
重点：
掌握圆的一般方程并会求圆的一般方程．
难点：
与圆有关的简单的轨迹方程问题．
课堂导入
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,现将其展开可得：x2+y2-2ax-2bx+a2+b2-r2=0.
可见,任何一个圆的方程都可以变形x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.
情境
请大家思考一下,形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆 下面我们来探讨这一方面的问题.
课堂探究
思考1.类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？说出圆 (x－1)2 + (y+2)2 = 4的圆心坐标、半径并展开该方程.
答:圆心坐标为(1,-2)；半径为2；
圆的标准方程展开式为：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
探究　圆的一般方程
确定圆的几何要素：圆心、半径
圆的标准方程
圆的一般式方程？
课堂探究
探究　圆的一般方程
反例：x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 变形为(x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1;
因为任意一个点的坐标 (x, y) 都不满足上述方程,即这个方程不表示任何图形;所以形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程不一定通过恒等变形变为圆的标准方程.
思考2：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程一定能通过恒等变形为圆的标准方程吗？
总结：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 方程不一定是圆的方程.
课堂探究
将方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得：
（1）当D2 + E2 – 4F > 0时,表示以 (，) 为圆心为半径的圆；
（2）当D2 + E2 – 4F = 0时,只有实数解 x = y = 它表示一个点 ()；
（3）当D2 + E2 – 4F < 0时,没有实数解，它不表示任何图形.
思考3:方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 中的 D， E， F 满足什么条件时，这个方程表示圆？
探究　圆的一般方程
课堂探究
定义：圆的一般方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0）
注：（1） x2 与 y2 系数相同并且不等于0；
（2）圆心：(，)，半径：.
归纳新知
判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.
课堂探究
【例题1】
解析 (方法1) 由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0
可知D=-4m,E=2m,F=20m-20,
∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m),
半径为r=|m-2|.
课堂探究
【例题1】
解析 (方法2)原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2
因此,当m=2时,它表示一个点;
当m≠2时,原方程表示圆,
此时,圆的圆心为(2m,-m), 半径为r=|m-2|.
判断方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆.若能表示圆,求出圆心和半径.
课堂探究
归纳新知
小结 二元二次方程表示圆的判断方法:
(1)计算D2+E2-4F的值
① 若其值为正，则表示圆；
② 若其值为0，则表示一个点；
③ 若其值为负，则不表示任何图形；
(2)将该方程配方为(x+)2+(y+)2=,根据圆的标准方程来判断.
圆C过点A(1,2),B(3,4),且在x轴上截得的弦长为6,求圆C的方程.
课堂探究
【例题2】
解析 设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
∵圆C过A(1,2),B(3,4),∴D+2E+F=-5,①
3D+4E+F=-25.②
令y=0,得x2+Dx+F=0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1,x2,则
x1+ x2=-D, x1·x2=F.
∵| x1- x2|=6,∴(x1+ x2)2-4 x1·x2=36,
即D2-4F=36.③
由①②③得D=12,E=-22,F=27,或D=-8,E=-2,F=7.
故圆C的方程为x2+y2+12x-22y+27=0或x2+y2-8x-2y+7=0.
课堂探究
归纳新知
小结 圆的方程的求法
求圆的方程时,如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r;如果已知条件与圆心和半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出常数D,E,F.
解析 (方法1）设另一端点C的坐标为(x,y).
依题意,得|AC|=|AB|.由两点间距离公式,得
,
整理,得.
这是以点A(4,2)为圆心,以为半径的圆,如图所示.
已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.
课堂探究
【例题3】
课堂探究
【例题3】
又因为A,B,C为三角形的三个顶点,
所以A,B,C三点不共线,即点B,C不能重合,
所以点C的横坐标x≠3,且点B,C不能为一直径的两端点,
所以≠4,即点C的横坐标x≠5.
故端点C的轨迹方程是(x-4)2+(y-2)2=10(x≠3,且x≠5),
即另一个端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心,为半径的圆,
但除去(3,5)和(5,-1)两点.
已知等腰三角形的顶点是A(4,2),底边一个端点是B(3,5),求另一个端点C的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么图形.
课堂探究
归纳新知
小结 求动点的轨迹方程的常用方法
1.直接法:能直接根据题目提供的条件列出方程;
2.代入法:找到所求动点与已知动点的关系,代入已知动点所在的方程
评价反馈
答案 D
解析 因为x2+y2-2x-4y+6=0等价于(x-1)2+(y-2)2=-1,即方程无解,所以该方程不表示任何图形,故选D.
1.方程x2+y2-2x-4y+6=0表示的轨迹为(　　)
A.圆心为(1,2)的圆 B.圆心为(2,1)的圆
C.圆心为(-1,-2)的圆 D.不表示任何图形
评价反馈
答案 B
解析 由题意知,直线2x-y+3=0过圆心.∵圆心坐标为(k,0),
∴2k+3=0,k=-. .
2.若圆x2+y2-2kx-4=0关于直线2x-y+3=0对称,则k等于(　　)
A. B. C.3 D.3
评价反馈
答案 x2+y2-8x=0
解析 设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=2|MB|,
即=2,
整理,得x2+y2-8x=0.故所求动点M的轨迹方程为x2+y2-8x=0.
.
3.已知一动点M到点A(-4,0)的距离是它到点B(2,0)的距离的2倍,则动点M的轨迹方程是　 .
评价反馈
解 设这个圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
把三点坐标A(2,2),B(5,3),C(3,-1)代入得方程组
解得
所以这个圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
4.已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求过A,B,C的圆的方程.
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
1.圆的一般方程
2.一般方程的特点
3.轨迹方程的求法
布置作业
完成教材88页习题2.4的2、3、4、8题.
认真整理本节所讲知识,梳理知识脉络.
谢谢大家