第二章 2.5.2圆与圆的位置关系--人教A版高中数学选择性必修第一册教学课件(共40张PPT)

(共40张PPT)
2.5.2 圆与圆的位置关系
第二章　直线和圆的方程
数学
学习目标
①能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系.
②能用圆和圆的位置关系解决一些简单的问题，体会用代数方法解决几何问题的思想.
学习重难点
重点：
理解圆与圆的位置关系，掌握圆与圆位置关系的判断方法，会用坐标法求动点的轨迹.
难点：
利用圆的方程判断圆与圆的位置关系，理解动点的轨迹.
课堂导入
在上节课，我们已经学习了直线与圆的三种位置关系，现在来复习一下这三种位置关系.
相离
相切
相交
相离
复习情境
课堂导入
图形
位置关系 相离 相切 相交
大小关系 ________ ________ ________________
公共点个数 ________ ________ ________________
复习情境
回忆一下，我们当时是如何研究得出结论的
d = r
d < r
d > r
1
2
0
●
A
D
E
●
A
D
●
A
F
G
课堂探究
我们研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，那么圆与圆的位置关系有几种呢 如何判断两圆的位置关系
●
●
探究一　圆与圆的位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
课堂探究
圆与圆的位置关系有几种呢
探究一　圆与圆的位置关系
外离
外切
相交
课堂探究
圆与圆的位置关系有几种呢
探究一　圆与圆的位置关系
内切
内含
同心圆
(一种特殊的内含)
课堂探究
两圆的公共点个数
圆心距与两圆半径的大小关系
如何判断两圆的位置关系
探究二　判断两圆的位置关系
课堂探究
如何通过两圆的公共点个数判断两圆的位置关系呢
探究二　判断两圆的位置关系
外离
外切
相交
没有公共点
1个公共点
2个公共点
课堂探究
如何通过两圆的公共点个数判断两圆的位置关系呢
探究二　判断两圆的位置关系
内切
内含
同心圆(一种特殊的内含)
1个公共点
没有公共点
没有公共点
课堂探究
圆心距与两圆的半径又有什么大小关系呢 也就是两圆的位置关系有什么性质呢 是否可以作为判定两圆位置关系的方法呢
探究二　判断两圆的位置关系
外离
外切
相交
课堂探究
圆心距与两圆的半径又有什么大小关系呢 也就是两圆的位置关系有什么性质呢 是否可以作为判定两圆位置关系的方法呢
探究二　判断两圆的位置关系
内切
内含
同心圆(一种特殊的内含)
课堂探究
探究二　判断两圆的位置关系
画不出具体图象的时候，怎么判定两圆的位置关系呢
利用两个圆的方程组成方程组，
当Δ<0时，该方程组没有实数解，两个圆外离或内含；
当Δ=0时，该方程组有 1 组实数解，两个圆外切或内切；
当Δ>0时，该方程组有 2 组实数解，两个圆相交.
课堂探究
1. 根据公共点个数判断两圆的位置关系
两圆有两个公共点，则两圆的位置关系是 .
两圆没有公共点，则两圆的位置关系是 .
两圆只有一个公共点，则两圆的位置关系是 .
相交
外离或内含
外切或内切
归纳新知
课堂探究
2. 根据圆心距与两圆半径的大小关系判断两圆的位置关系
⊙的半径为R， ⊙的半径为r(R>r)，圆心距即两圆圆心的距离为d.
当R r当d=R r时，两圆的位置关系是 .
当d=R+r时，两圆的位置关系是 .
当d当d>R+r时，两圆的位置关系是 .
相交
内切
外切
归纳新知
内含
外离
课堂探究
3. 根据方程组的解判断两圆的位置关系
利用两个圆的方程组成方程组，
当Δ<0时，该方程组没有实数解，两个圆 ；
当Δ=0时，该方程组有 1 组实数解，两个圆 ；
当Δ>0时，该方程组有 2 组实数解，两个圆 .
归纳新知
相交
外离或内含
外切或内切
课堂探究
已知两圆C1：x2+y2 2x+10y 24=0和C2：x2+y2+2x+2y 8=0.
(1)求证：圆C1与圆C2相交；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度.
探究三　求公共弦所在的直线方程和弦长
【例题1】
【例题1】
已知两圆C1：x2+y2 2x+10y 24=0和C2：x2+y2+2x+2y 8=0.
(1)求证：圆C1与圆C2相交；
(1)证明 将两圆方程配方化为标准方程，则
C1：(x 1)2+(y+5)2=50，
C2：(x+1)2+(y+1)2=10，
所以，圆C1的圆心坐标为(1， 5)，半径r1=5，
圆C2的圆心坐标为( 1， 1)，半径r2=.
又因为|C1C2|=2，r1+r2=5，|r1 r2|=|5|，
所以|r1 r2|<|C1C2|课堂探究
【例题1】
已知两圆C1：x2+y2 2x+10y 24=0和C2：x2+y2+2x+2y 8=0.
(2)求公共弦所在的直线方程；
(2)解 将两圆方程相减，
得公共弦所在的直线方程为x 2y+4=0.
定义：两圆相交时两个交点的连线．
课堂探究
【例题1】
已知两圆C1：x2+y2 2x+10y 24=0和C2：x2+y2+2x+2y 8=0.
(3)求公共弦的长度.
(3)解法1 由(2)知圆C1的圆心(1， 5)到直线x 2y+4=0的距离为
d==3，
所以公共弦长为l=2=2=2.
课堂探究
【例题1】
已知两圆C1：x2+y2 2x+10y 24=0和C2：x2+y2+2x+2y 8=0.
(3)求公共弦的长度.
解法2 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得
所以|AB|==2.
即公共弦长为2.
课堂探究
课堂探究
1.当两圆相交时，公共弦所在直线方程的求法
直接法：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程．
作差法：
若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，
则两圆公共弦所在直线的方程为
(D1 D2)x+(E1 E2)y+F1 F2=0. ( )
方法归纳
课堂探究
2.公共弦长的求法
(1)代数法
将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法
求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 　
方法归纳
【例题2】
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
分析 可以建立适当的平面直角坐标系，
先求得动点M的轨迹方程，从而得到动点M的轨迹，
通过研究轨迹方程与圆O的关系，来判断轨迹与圆O的位置关系.
直接法求轨迹方程
课堂探究
【例题2】
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
解 以线段AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.
所以A( 2，0)，B(2，0).
设点M的坐标为(x，y)．

M
x
y
O

A
B
课堂探究
【例题2】
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
因为|MA|=|MB|，所以，
即(x 6)2+y2=32.
所以点M的轨迹是以点P(6，0)为圆心，半径为4的圆.

P

M
x
y
O

A
B
课堂探究
【例题2】
已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
因为|PO|=6，
两圆的半径分别为r1=2，r2=4，
又r1+r2=2+4，r2 r1=4 2，所以r2 r1<|PO|即点M的轨迹与圆O相交.

P

M
x
y
O

A
B
课堂探究
评价反馈
1.两圆x2+y2 1=0和x2+y2 4x+2y 4=0的位置关系是(　　)
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
B
解析 将两圆化成标准方程分别为x2+y2=1，(x 2)2+(y+1)2=9，
可知圆心距d=，
因为2所以两圆相交.
评价反馈
2.(多选题)若r>0，则圆(x 1)2+(y+3)2=r2与圆x2+y2=16的位置关系不可能是
(　　)
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
CD
解析 两圆的圆心距为d=，
两圆的半径之和为r+4，因为所以两圆不可能外切或外离，
故选CD.
评价反馈
3.若两圆x2+y2=m和x2+y2+6x 8y 11=0有公共点，则实数m的取值范围是(　　)
A.( ∞，1) B.(121，+∞)
C.[1，121] D.(1，121)
C
解析 因为x2+y2+6x 8y 11=0化成标准方程为(x+3)2+(y 4)2=36，
所以两圆的圆心距d==5.
若两圆有公共点，则|6 | 5 6+，
所以1 m 121.
评价反馈
4.已知两圆相交于A(1，3)，B(m， 1)两点，若两圆圆心都在直线2x+y+c=0上，则m=　　　　　，c=　　　　　.
5
解析 两圆相交于A(1，3)，B(m， 1)两点，
则kAB=，因为两圆圆心都在直线2x+y+c=0上，
所以·( 2)= 1，解得m= 7.
所以点A(1，3)，B( 7， 1)的中点为D( 3，1)，
又点D( 3，1)的坐标满足2x+y+c=0，代入解得c=5.
7
评价反馈
5.已知圆x2+y2 4ax+2ay+20a 20=0.
(1)证明：对任意实数a，该圆恒过一定点，并求出此定点；
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切，求a的值.
(1)证明 圆的方程可整理为(x2+y2 20)+a( 4x+2y+20)=0.
此方程表示过圆x2+y2 20=0和直线 4x+2y+20=0交点的圆系.
由
所以已知圆恒过定点(4， 2).
评价反馈
5.已知圆x2+y2 4ax+2ay+20a 20=0.
(1)证明：对任意实数a，该圆恒过一定点，并求出此定点；
(2)若该圆与圆x2+y2=4相切，求a的值.
(2)解 圆的方程可化为(x 2a)2+(y+a)2=5(a 2)2.
①当两圆外切时，d=r1+r2，即2+，
解得a=1+或a=1 (舍去)；
②当两圆内切时，d=|r1 r2|，即| 2|=，
解得a=1 或a=1+(舍去).
综上所述，a=1±.
知识构建
课堂小结
知识归纳
课堂小结
若⊙的半径为R， ⊙的半径为r(R>r)，圆心距即两圆圆心的距离为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 图形 公共点 个数 解的个数 性质与判定
相交 ________ ________ ________________
2
R r2
说明：两圆相交时利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可得出.
知识归纳
课堂小结
若⊙的半径为R， ⊙的半径为r(R>r)，圆心距即两圆圆心的距离为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 图形 公共点 个数 解的个数 性质与判定
相切 内切 ________ ________ ________________
外切 ________ ________ ________________
1
d=R r
1
1
d=R+r
1
知识归纳
课堂小结
若⊙的半径为R， ⊙的半径为r(R>r)，圆心距即两圆圆心的距离为d，则两圆的位置关系如下：
位置关系 图形 公共点 个数 解的个数 性质与判定
相离 内含 ________ ________ ________________
外离 ________ ________ ________________
0
0
0
0
dd>R+r
布置作业
必做题：教材第98页习题2.5第8题、第9题；
选做题：教材第98~99页习题2.5第10~12题、第15题.
谢谢大家