第三章 3.1.2椭圆的简单几何性质 第2课时--人教A版高中数学选择性必修第一册教学课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
3.1.2椭圆的简单几何性质 第2课时
第三章 圆锥曲线的方程
数学
学习目标
①会利用椭圆的简单几何性质求椭圆的离心率．
②通过数形结合，掌握判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系的方法．
③理解椭圆弦长公式的推导过程，会利用弦长公式求椭圆的弦长．
④能综合运用椭圆的标准方程及其简单几何性质,求解相关问题．
回顾直线与圆有哪些位置关系？我们如何判定直线与圆的位置关系呢？
相交、相切、相离
回顾
探究一　点与椭圆、直线与椭圆的位置关系
类比直线与圆，直线与椭圆有哪些位置关系？
例1　如图，已知椭圆C:=1和直线l:4x-5y+m=0，m为何值时，直线l与椭圆C:
(1)有两个公共点
(2)有且只有一个公共点
(3)没有公共点
解 由方程组消去y,得25x2+8mx+m2-225=0.①
方程①的根的判别式Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2).
(1)由Δ>0,得-25(2)由Δ=0,得m1=25,m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根,直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)由Δ<0,得m<-25,或m>25.此时方程①没有实数根,直线l与椭圆C没有公共点.
设直线与椭圆的两个交点为M(x1,y1),N(x2,y2),m=0时,直线l的方程为4x-5y=0,我们把它与椭圆方程联立,得到方程组先将直线与椭圆方程变形,得消去y,得9x2+16x2-225=0,即x2=9,解得x1=3,x2=-3.
把结果分别代入4x-5y=0,得y1=2.4,y2=-2.4.
于是,M,N两点的坐标分别为(3,2.4),(-3,-2.4),由两点间的距离公式,得|MN|=.
故线段MN的长为.
m=0时，直线l与椭圆C相交于M，N两点，如何求线段MN的长
例2 已知点P(4,2)是直线l被椭圆=1所截得的线段的中点,求直线l的方程.
解 (方法1　点差法)
设直线l的方程为y-2=k(x-4),l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),所以
两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=8,y1+y2=4,所以=-,即k=-.所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.
(方法2　根与系数关系法)
由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),
而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.
将直线方程代入椭圆方程,得(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.
所以x1+x2==8,解得k=-.
所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.故直线l的方程为x+2y-8=0.
【变式训练】在例2条件下，求直线l被椭圆截得的弦长.
解 由题意可知直线l的方程为x+2y-8=0，与椭圆方程联立，得x2-8x+14=0.
解法1:解方程，得
所以直线l被椭圆截得的弦长为.
解法2:因为x1+x2=8，x1x2=14，
所以直线l被椭圆截得的弦长为.
规律总结：解决椭圆中点弦问题的两种方法.
(1)根与系数关系法：
联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法:
利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆=1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段AB的中点,则
由①-②,得)+)=0,变形,得=-=-,即kAB=-.
归纳新知
课堂探究
探究二　椭圆的实际应用问题
例3　如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上.由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC⊥F1F2，|F1B|=2.8 cm，|F1F2|=4.5 cm，结合图中的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程(精确到0.1).
解 设截口BAC所在椭圆的方程为=1(a>b>0).
由椭圆的定义可知，|F1F2|=2c，所以c=2.25.
依题意，解得点B坐标为(-2.25，2.8)，
所以得到关于a和b的两个方程:
这是一个关于a2和b2的方程，由第一个方程可以得到a2=b2+2.252，代入第二个方程，消去a2，转化为b2的方程，从而得出a2和b2.解得
所以，所求的椭圆方程为=1.
D
评价反馈
解析 设椭圆的方程为=1(a>b>0),半焦距为c,两焦点分别为F1,F2,飞行中的航天员为点P,由已知可得则2a=d1+d2+2R,故传送神秘信号的最短距离为|PF1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2.
评价反馈
解析 由题意，得的周长为，则，
的最大值为，则，
故该椭圆的离心率为．
故选：．
C
评价反馈
3.已知直线l:x+y-3=0,椭圆C:+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.相交或相切
A
解析 把x+y-3=0,代入+y2=1,得5x2-24x+32=0.∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,
∴直线与椭圆相离.
评价反馈
4.过椭圆=1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是(　　)
A. B. C. D.
解析 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在坐标轴垂直的弦.将点(c,y)的坐标代入椭圆=1(a>b>0),得y=±,故最短弦长为.
A
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5.已知F是椭圆=1的一个焦点,AB为过椭圆中心的一条弦,则△ABF面积的最大值为　　　　　.
解析 S△ABF=|OF|·|y1-y2|≤|OF|·2b=12.
12
6.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m,当直线与椭圆有公共点时,则实数m的取值范围是　 .
解析 由得5x2+2mx+m2-1=0,
当直线与椭圆有公共点时,Δ=4m2-4×5(m2-1)≥0,即-4m2+5≥0,
解得-≤m≤.
-≤m≤
评价反馈
本节课所学知识:
构建数学模型解决实际问题，直线与椭圆位置关系问题
本节课所用思想和方法：
数形结合的思想，求轨迹方程的方法，坐标法。
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
必做题：教材P115页 7、12、13、14.