第三章 3.2.2双曲线的简单几何性质 第1课时--人教A版高中数学选择性必修第一册教学课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
3.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时
第三章 圆锥曲线的方程
数学
学习目标
①理解并掌握双曲线的简单几何性质．
②理解双曲线渐近线及离心率的意义．
③类比椭圆几何性质的研究方法,探究得到双曲线的简单几何性质,体会数形结合的思想．
④根据几何条件求出双曲线的标准方程,提高数学运算的核心素养．
学习重难点
重点：
掌握双曲线的简单几何性质．
难点：
(1)虚轴的理解和掌握;
(2)理解双曲线的渐近线及离心率的意义.
课堂导入
双曲线的定义
一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的 等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做 .这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
差的绝对值
双曲线
焦点
焦距
课堂导入
思考：类比椭圆几何性质的研究方法,你认为应该研究双曲线
的哪些几何性质
范围、对称性、顶点、离心率等
课堂探究
问题1
横坐标的范围是，或，
纵坐标的范围是：.
类比研究椭圆范围的方法，双曲线的具体边界是怎样的？
图象
方程
，且
所以
所以，或;.
F1
F2
O
双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域．
总结
课堂探究
追问
课堂探究
F1
F2
O
图象
方程
关于x轴、y轴和原点都对称
②P(x,y) P2(-x,y)
y轴
①P(x,y) P1(x,-y)
x轴
③ P(x,y) P3(-x, -y)
原点
图象关于x轴对称
问题2
观察双曲线的形状,你能从图中看出双曲线具有怎样的对称性？
.
.
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
.
课堂探究
追问
结论：坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线对称中心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
课堂探究
问题3
在方程中,令,得,所以双曲线和轴有两个交点．
双曲线的顶点
F1
F2
O
实轴
虚轴
B1
B2
A1
A2
类比求椭圆顶点的方法，尝试求双曲线的顶点.
令,得,这个方程没有实数解,说明双曲线和轴没有公共点,但我们也把两点画在轴上.
线段叫做双曲线的实轴,它的长等于叫做双曲线的实半轴长；
线段叫做双曲线的虚轴,它的长等于叫做双曲线的虚半轴长．
课堂探究
追问
双曲线的顶点是什么？
答案：
课堂探究
双曲线的两支向外延伸时,与两条直线
逐渐接近,但永远不相交
探究：利用信息技术画出双曲线出线和两条直线.
你能发现什么？
课堂探究
问题4
在双曲线的右支上取一点,测量点的横坐标以及它到直线的距离.沿曲线向右拖动点,观察与的大小关系,你能发现什么？
提示：点的横坐标越来越大,越来越小,但是始终不等于0.
渐近线定义：一般地,双曲线的两支向外延伸时,与两条直线逐渐接近,我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上,双曲线与它的渐近线无限接近,但永不相交．
课堂探究
追问
双曲线和的渐近线分别是什么？
双曲线的渐近线为；
双曲线的渐近线为.
课堂探究
等轴双曲线
在双曲线中,如果,那么方程变为,此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于．
这时,四条直线围成一个正方形,渐近线方程为,它们互相垂直,并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
课堂探究
问题5
离心率刻画了椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线什么几何特征
与椭圆类似,双曲线的焦距与长轴长的比,叫做双曲线的离心率.因为,所以双曲线的离心率.
几何意义：
所以，时， 且增大，也增大，双曲线的“张口”就越大.
结论：是表示双曲线“张口”大小的一个量，越大双曲线“张口”越大.
课堂探究
追问
等轴双曲线离心率为多少？
答案：=
【例题1】
典例讲解
解析：把方程化为标准方程为．
由此可知,实半轴长,虚半轴长 ；
,
焦点坐标是；
离心率；渐近线方程为．
【例题2】
典例讲解
解 (1)由题意得 解得,
所以,
所以双曲线的标准方程为.
典例讲解
（2）由题意,当双曲线焦点在轴上时,解得,
所以双曲线的标准方程为；
当双曲线焦点在轴上时, 解得,
所以双曲线的标准方程为.
综上所述,双曲线的标准方程为或.
【例题2】
【例题3】
典例讲解
B
解析
由题意,故,又e＞1,故
评价反馈
评价反馈
解析
由双曲线的方程知两顶点为,渐近线方程为,
由对称性,不妨求到直线的距离,．
评价反馈
3.分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程．
(1)； (2)
解析 (1)将双曲线方程化为标准方程得,
则,故,
所以实半轴长为,虚半轴长为,焦点坐标为,
顶点坐标为,渐近线方程为；
评价反馈
解析 (2)由,得,
则,
所以实半轴长为,虚半轴长为,焦点坐标为,
顶点坐标为,渐近线方程为.
3.分别写出下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程．
(1)； (2).
评价反馈
4.求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆的焦点为顶点,以该椭圆的左右顶点为焦点；
(2)等轴双曲线的一个焦点为.
解析 (1)可知椭圆的焦点在轴上,
则由题可知双曲线的实轴长,即,
又双曲线以该椭圆的左右顶点为焦点,则焦点为,即,
则,
故双曲线方程为
评价反馈
4.求符合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)以椭圆的焦点为顶点,以该椭圆的左右顶点为焦点；
(2)等轴双曲线的一个焦点为.
解析 (2)因为双曲线是等轴双曲线,所以,
由可得,焦点在轴上,
,
故双曲线方程为.
课堂小结
归纳新知
双曲线的简单几何性质 标准方程 性质 图象 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率
或，
或，
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
>1
本节课，我们讲了哪些知识？
布置作业
1.认真整理本节所讲知识,梳理知识脉络,完成学案素养专练部分.
2.预习双曲线的简单几何性质(第2课时).
谢谢大家