第一章 1.1.2空间向量的数量积运算--人教A版高中数学选择性必修第一册教学课件(共29张PPT)
文档属性
| 名称 | 第一章 1.1.2空间向量的数量积运算--人教A版高中数学选择性必修第一册教学课件(共29张PPT) |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 18:08:39 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
1.1.2 空间向量的数量积运算
第一章 空间向量与立体几何
数学
学习目标
①掌握空间向量夹角的概念及表示方法.
②掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律.
③掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.
2022冬奥会，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！
情境
课堂导入
空间向量及其线性运算
空间向量
常见的空间向量
线性运算
共面向量定理
共线向量定理
定义、长度（模）、表示法
零向量、单位向量、相等向量、相反向量
加法、减法、数乘
，，，使.
如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
复习回顾
平面向量及其线性运算
空间向量及线性运算
推广
平面向量数量积运算
空间向量数量积运算
推广
类比与转化
回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
课堂探究
平面向量的数量积 性质
几何 意义
运算律
A
C
D
A1
B1
B
a
b
课堂探究
关键是
起点相同！
O
B
A
如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作.
特别地，如果，那么向量互相垂直，记作.
通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且.
探究一 空间向量夹角定义
注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零.
（1）定义：已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即.
探究二 空间向量的数量积
思
设 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
求向量的长度(模)的依据
证明两向量垂直的依据
求两向量夹角的依据
（2）数量积的性质
(1); (对数乘的结合律)
(2); (交换律)
(3).(分配律)
(1)若，则.
(2)若，则.
(3) .
辨析:以下说法是否正确.
×，向量的数量积不满足消去律
×，向量没有除法，向量的除法没有意义
×，向量的数量积不满足对数量积的结合律
探究三 空间向量数量积的运算律
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，
（）向量向向量的投影有什么意义？
向量称为向量 在向量上的投影向量
且
（ 注： ，为向量的单位向量 ）
探究四 空间向量的投影
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，
（）向量向直线的投影呢？
向直线的方向向量投影，同样得到投影向量
向量 称为向量 在直线 上的投影向量且
（注： ，为直线 的方向向量，且）
探究四 空间向量的投影
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，
（）向量向平面的投影呢？
向量称为向量在平面上的投影向量.
这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.
探究四 空间向量的投影
已知向量 a 和 b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则 (2a－b)·a 等于（ ）
A.12 B.8
C.4 D.13
【例题1】
D
【例题2】
已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于1，
点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，计算：
【跟踪训练1】
如图所示，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都等于m，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求下列向量的数量积.
【跟踪训练2】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积.
【跟踪训练3】
l
m
n
g
【例题3】
l
m
n
g
1.已知a=3p-2q，b=p+q，p和q是互相垂直的单位向量，则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析 ∵ p⊥q且|p|=|q|=1，∴ a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1.
2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC=AB=AA1=，BC=2AE=2，则异面直线AE与A1C所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
解析 ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∵AC=AB=，BC=2，∴AB⊥AC.
∵BC=2AE=2，∴E为BC的中点，
∴).
∵AA1=，∴A1C=2.
∵)·()=|2=1，
∴cos<>=，∴<>=60°，
即异面直线AE，A1C所成的角是60°.
3.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.
解 设=a，=b，=c.
由题意，知|a|=|b|=|c|=2，
且=60°，==90°.
因为=-=-a+b+c，
所以||2=a2+b2+c2+2(-a·b+b·c-a·c)=×22+ ×22+22+2×(-)×2×2cos 60°=1+1+4-1=5，
所以||=，即EF=.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求:
(1);(2).
解 如图，设=a，=b，
=c，则|a|=|c|=2，|b|=4，
a·b=b·c=c·a=0.
(1)·()=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16.
(2)=()·()=(c-a+b)·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
1.认识与理解了空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象）
2.理解与掌握了空间向量数量积的性质及其运算律，能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理）
必做:教材第8页练习第1，2题;习题1.1第7题.
选做:请查阅资料，尝试发现空间向量的其他知识，进一步完善空间向量的认知体系.
1.1.2 空间向量的数量积运算
第一章 空间向量与立体几何
数学
学习目标
①掌握空间向量夹角的概念及表示方法.
②掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律.
③掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.
2022冬奥会，一些别致的建筑和设计令人印象深刻！
情境
课堂导入
空间向量及其线性运算
空间向量
常见的空间向量
线性运算
共面向量定理
共线向量定理
定义、长度（模）、表示法
零向量、单位向量、相等向量、相反向量
加法、减法、数乘
，，，使.
如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.
复习回顾
平面向量及其线性运算
空间向量及线性运算
推广
平面向量数量积运算
空间向量数量积运算
推广
类比与转化
回忆平面向量的知识，我们当时是如何研究它的数量积运算？
定义夹角
数量积定义
运算律
运用
课堂探究
平面向量的数量积 性质
几何 意义
运算律
A
C
D
A1
B1
B
a
b
课堂探究
关键是
起点相同！
O
B
A
如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作则叫做向量的夹角，记作.
特别地，如果，那么向量互相垂直，记作.
通常规定，.这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且.
探究一 空间向量夹角定义
注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②零向量与任意向量的数量积等于零.
（1）定义：已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作.即.
探究二 空间向量的数量积
思
设 是非零向量，它们的夹角是 ， 是与 方向相同的单位向量，则
求向量的长度(模)的依据
证明两向量垂直的依据
求两向量夹角的依据
（2）数量积的性质
(1); (对数乘的结合律)
(2); (交换律)
(3).(分配律)
(1)若，则.
(2)若，则.
(3) .
辨析:以下说法是否正确.
×，向量的数量积不满足消去律
×，向量没有除法，向量的除法没有意义
×，向量的数量积不满足对数量积的结合律
探究三 空间向量数量积的运算律
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，
（）向量向向量的投影有什么意义？
向量称为向量 在向量上的投影向量
且
（ 注： ，为向量的单位向量 ）
探究四 空间向量的投影
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，
（）向量向直线的投影呢？
向直线的方向向量投影，同样得到投影向量
向量 称为向量 在直线 上的投影向量且
（注： ，为直线 的方向向量，且）
探究四 空间向量的投影
思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影. 类似地，
（）向量向平面的投影呢？
向量称为向量在平面上的投影向量.
这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角.
探究四 空间向量的投影
已知向量 a 和 b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则 (2a－b)·a 等于（ ）
A.12 B.8
C.4 D.13
【例题1】
D
【例题2】
已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于1，
点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，计算：
【跟踪训练1】
如图所示，已知空间四边形 ABCD的每条边和对角线长都等于m，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求下列向量的数量积.
【跟踪训练2】
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积.
【跟踪训练3】
l
m
n
g
【例题3】
l
m
n
g
1.已知a=3p-2q，b=p+q，p和q是互相垂直的单位向量，则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
A
解析 ∵ p⊥q且|p|=|q|=1，∴ a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1.
2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1(即A1A⊥平面ABC)中，AC=AB=AA1=，BC=2AE=2，则异面直线AE与A1C所成的角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
C
解析 ∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AB，A1A⊥AC.
∵AC=AB=，BC=2，∴AB⊥AC.
∵BC=2AE=2，∴E为BC的中点，
∴).
∵AA1=，∴A1C=2.
∵)·()=|2=1，
∴cos<>=，∴<>=60°，
即异面直线AE，A1C所成的角是60°.
3.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长.
解 设=a，=b，=c.
由题意，知|a|=|b|=|c|=2，
且
因为=-=-a+b+c，
所以||2=a2+b2+c2+2(-a·b+b·c-a·c)=×22+ ×22+22+2×(-)×2×2cos 60°=1+1+4-1=5，
所以||=，即EF=.
4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求:
(1);(2).
解 如图，设=a，=b，
=c，则|a|=|c|=2，|b|=4，
a·b=b·c=c·a=0.
(1)·()=b·[(c-a)+b]=|b|2=42=16.
(2)=()·()=(c-a+b)·(a+c)=|c|2-|a|2=22-22=0.
课堂小结
总结归纳
我们今天都讲了哪些知识？
1.认识与理解了空间两向量的夹角、数量积、向量投影以及投影向量的概念；（数学抽象）
2.理解与掌握了空间向量数量积的性质及其运算律，能利用空间向量的数量积解决向量的模、夹角问题，以及判断两个向量的垂直关系.（数学运算、逻辑推理）
必做:教材第8页练习第1，2题;习题1.1第7题.
选做:请查阅资料，尝试发现空间向量的其他知识，进一步完善空间向量的认知体系.