函数的单调性
教学目标:
1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法．
2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3．让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
教学重点: 函数单调性的概念、判断及证明．
教学难点: 根据定义证明函数的单调性．
教学方法: 教师启发讲授，学生探究学习．
教学手段: 多媒体课件
教学过程：
一、 问题情境
观察股市走势图，某市24小时的气温变化图，感受图象的变化规律．
二、 学生活动
1.观察一组函数图像,从左向右看,指出每个图像变化的规律.
2.你能明确地说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？
在某一区间内，
图象在该区间呈上升趋势 当x的值增大时，函数值y也增大
图象在该区间呈下降趋势 当x的值增大时，函数值y反而减小
函数的这种性质称为函数的单调性。
3.研究气温变化图象上，随着x的增大呈上升的趋势变化区间内的图象.
思考：图象在该区间内呈上升趋势
当x的值增大时，函数值y也增大
区间内任意x1，x2，当x1三、 建构数学
1.结合上述结论，尝试用数学语言描述单调增函数.
一般地，设函数的定义域为A,区间：
如果对于属于区间A内某个区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间I上是单调增函数，I称为的单调增区间.
2.类比单调增函数的研究方法定义单调减函数.
一般地，设函数的定义域为A,区间：
如果对于属于区间A内某个区间I上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间I上是单调减函数，I称为的单调减区间.
3.单调区间
如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间上具有单调性，这一区间叫做的单调区间.
4.概念辨析：判断下列说法是否正确.
①定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)是R上的增函数.
②定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上不是减函数.
③函数在定义域Ｒ上具有单调性
⑤定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数.
⑥定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数.
四、 数学运用
例1．根据函数图象指出函数的单调增区间和单调减区间.
y=f(x)的单调增区间有______________;y=f(x)的单调减区间有______________.
例2、画出下列函数图象，并写出单调区间：
思考：根据函数单调性的定义，能不能说在定义域上是单调减函数？
例３、求证：函数在区间上是单调增函数．
总结归纳：用定义证明函数函数在区间上具有单调性的步骤：
（1） 取值：对任意；
（2） 作差变形：；
（3） 判断差的正负；
（4） 根据判定的结果作出相应的结论
证一证：函数在区间上是单调增函数.
五、 回顾小结
1.函数单调性的定义
2.函数单调性的判定（1）图象法；（2）定义法
3.体会数形结合的思想
4.学会从“特殊——一般——特殊”的思维方法来研究问题
六、 课外作业
必做： P43 习题 2.1（3） 1、7（2） 选做： P43 习题 2.1（3） 7（3）
教学设计说明:
1．本节课教学过程中始终必须贯穿始终的是数形结合的思想方法。首先，结合图形，由浅入深，从“形”的角度入手，认识到函数单调性的几何特征可以通过图象的变化趋势直观地体现出来，从感性上体会函数单调性，再从“数”的角度阐明函数单调性的实质是用自变量的变化来刻划函数值的变化规律，由此了解了概念产生的背景、应用，体会到了其中所蕴涵的数学思想方法。
2．在处理函数单调性的定义形成过程中，从一个具体的函数出发，用图形语言刻划函数单调性，并让学生用数学语言对图象的变化进行简单的描述，对函数单调性加以定性刻划，进而再用精确的抽象语言进行定量刻划。
3．在总结得到单调增函数的定义后，让学生自己用类比的方法得到单调减函数的概念，锻炼了学生建构知识的能力，让学生参与了知识的形成过程。
4．通过对根据函数的图象指出单调性，运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性这两类题型的讲解，形成对单调性知识体系掌握的完善，对于证明先详细讲解，通过分析、引导学生抽象、概括出方法及步骤，提示学生注意证明过程的规范性及严谨性，调动学生参与讨论，形成生动活泼的学习氛围，使学生形成良好的学习习惯。
函数的基本性质与基本初等函数单元检测题
序号
填空题
15
16
17
18
19
20
得分
一、填空题（每小题5分，共70分）
1. 若，，则.
2. 若，则从小到大的关系为 .
3. 若函数为偶函数，则.
4. 函数的定义域是 .
5. ，则的值的集合是 .
6. 设函数 则.
7. 给出如下三个等式：①；②；
③ 。则下列函数中，不满足其中任何一个等式的函数的序号是 .
（1） （2） （3） （4）
8. 将的图象关于直线对称后，再向右平移一个单位所得图象表示的函数的解析式是 .
9. 设函数的定义域为，则函数的定义域为 .
10. 函数的值域是 .
11. 一次函数在区间上无零点，则的取值范围为__________.
12. 已知函数.若定义函数,则的最大值是 .
13. 函数的递增区间是 .
14. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是 .
二、解答题（本大题共6小题，满分80分）
15.（本小题共14分，每小题7分）
（Ⅰ）解方程
（Ⅱ）计算
16.（16分）已知函数 . (1) 求函数的定义域；
(2) 求证在上是减函数；(3) 求函数的值域.
17.（15分）函数和的图象的示意图如下，
设两函数的图象交于点，
且
（1）请指出示意图中曲线
分别对应哪一个函数？
（2）若，
且，
指出的值，并说明理由；
（3）结合函数图象的示意图，
判断的大小，并按从小到大的顺序排列。
18. （15分）某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？
19. （15分）设函数（为实数），
（1）若且对任意实数均有成立，求表达式；
（2）在（Ⅰ）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围；
（3）设为偶函数，求证：
20.（15分）定义在上的函数 满足：
①对任意、,都有；②当时，有
.证明：（1）函数在上的图象关于原点对称；
（2）函数在上是单调减函数；
（3）.
参考答案:
一、填空题（每小题5分，共70分）
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.（4）
8. 9. 10. 11. 12. 1 13. 14.
二、解答题
15.解：（1）
则
（2）
16.解：(1) 由得, 函数的定义域是
(2) 设, 则
,
,
,
,
在上是减函数.
(3) 当时, 有.
, 所以函数的值域是.
17.（1）
（2）
（3）
18. 解：设日销售金额为y（元），则y=pQ．
当，t=10时，(元)；
当，t=25时，（元）．
由1125>900，知ymax=1125（元），且第25天，日销售额最大.
19.（1）由已知可知：
（2）由（1）可知，则
（3）
20.（14分）证明：（I）由条件①可取则
再取则
在上图象关于原点对称
（II）令由于.
且
则由（1）（2）得
由条件②知,从而，故在上单调递减函数.
（III）由奇函数的对称性知：在上仍是减函数，且※
对
则有
.
由※式知：时有
故.
课件25张PPT。
函数的单调性江阴市澄西中学股价走势图某市一天24小时的气温变化图y＝f(x)，x∈[0，24]说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?上升O11问题1：观察下列函数图象，从左至右
图象有何变化趋势？O11xO11下降先下降后上升 问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思吗？在某一区间内，图象在该区间呈上升趋势图象在该区间呈下降趋势函数的这种性质称为函数的单调性。对区间I内 x1，x2 ，
当x1当x1当x1f(x2 )，减函数定义 如果函数y=f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.
单调增区间和单调减区间统称为单调区间.单调区间判断下列说法是否正确.①定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则
函数f(x)是R上的增函数.②定义在R上的函数f(x)满足f(2)>f(1),则函数f(x)在R上不是减函数.( )( )√X辨一辨③函数 在定义域Ｒ上具有单调性
( )X④定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]
上是增函数,在区间(0,+∞)上也是增函
数,则函数f(x)在R上是增函数.⑤定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]
上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函
数,则函数f(x)在R上是增函数.( )( )√Xy判断下列说法是否正确.辨一辨y＝f(x)，x∈[0，24]例1、根据图象说出函数的单调区间y=f(x)的单调减区间有______________________； y=f(x)的单调增区间有_________________． [0，4][14，24][4，14]例2、画出下列函数图象，并写出单调区间：x1x2多个单调增（减）区间一般不用“∪”连接!能不能说函数在定义域（-∞,0)∪ (0,+∞)
上是单调减函数吗？（1）怎样证明？例３、求证：函数 在区间
上是单调增函数．（2）利用定义判定函数在某个区间上的
单调性的方法步骤:1.函数单调性的定义（1）图象法（2）定义法2.函数单调性的判定一般步骤：
1.任取这个区间上的两个自变量x1, x2, 且x1< x2
2.作差比较 f(x1), f(x2)
3.变形判断符号
4.得出结论3.体会数形结合的思想4.学会从“特殊——一般——特殊”
的思维方法来研究问题 回顾小结布置作业必做： P43 习题 2.1（3） 1、7（2） 选做： P43 习题 2.1（3） 7（3） 谢谢指导!数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞;
数无形时少直觉,
形少数时难入微;
数形结合百般好,
隔离分家万事休;
切莫忘,几何代数统一体,
永远联系莫分离.
——华罗庚函数单调区间单调性增函数增函数练习：填表（一）减函数减函数练习：填表（二）函数单调区间k >0k <0k >0k <0增函数减函数减函数增函数单调性 取值作差变形定号结论故 在区间上 上是单调增函数. 证一证试用定义法证明函数
在区间 上是单调增函数。
