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第五章 二元一次方程组
*5 三元一次方程组
义务教育教科书 数学 八年级上册
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉各几何？(选自《九章算术》)
题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？
在这个问题中，设每束上禾可得米 x 斗，每束中禾可得米 y 斗，每束下禾可得米 z 斗。
抽象模型，生成概念
根据题意可得方程组：
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
设每束上禾可得米 x 斗，每束中禾可得米 y 斗，每束下禾可得米 z 斗，
【尝试·思考】
抽象模型，生成概念
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。
在这个方程组中，3x＋2y＋z＝39，2x＋3y＋z＝34和x＋2y＋3z＝26都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。
抽象模型，生成概念
（1）怎样解这个三元一次方程组呢？
（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗？请你试一试。
类比学习，探究新知
【尝试·思考】
类比学习，探究新知
【尝试·思考】
例 解方程组：
①
②
③
解：由①，得 z＝39－3x－2y。 ④
把④分别代入②③并化简，得 x－y＝5， ⑤
8x＋4y＝91。⑥（消去了未知数z，变成二元一次方程组）
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得
把 ， 代入④，得 。
经检验， ， ， 满足原方程组。
类比学习，探究新知
（检验时可以口算或在草稿纸上演算，
以后可以不写。）
所以原方程组的解是
（1）在解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数x(或y)，从而得到方程组的解吗？
（2）你还有其他方法吗？与同伴交流各自的解法，并思考不同方法之间的区别和联系。
问题解决，深入理解
【尝试·交流】
回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程，说说求解三元一次方程组的基本思路，并与同伴进行交流。
问题解决，深入理解
【思考·交流】
1.解方程组：
解此方程组用什么方法合适，如何提高计算的效率？
① ② ③
实际应用，拓展思考
解：由①＋②，得 2x＋z＝27，即
①－②，得
把④⑤代入③，得 z＝7。
把 z＝7 分别代入④⑤，
可得 x＝10，y＝9。
所以原方程组的解是
方法一：
实际应用，拓展思考
④
⑤
所以原方程组的解是
解：由①－③，得－x＋2y＝8。 ④
②＋④，得 y＝9。
把 y＝9 代入② ，得 x＝10。
把 x＝10，y＝9 代入①，得 z＝7。
实际应用，拓展思考
① ② ③
1.解方程组：
方法二：
解：由①＋②，得 2x＋z＝27。 ④
①＋③，得3x＋2z＝44。 ⑤
解④⑤组成的方程组，得
把 x＝10 代入②，得 y＝9。
实际应用，拓展思考
① ② ③
1.解方程组：
所以原方程组的解是
方法三：
解：由③－①，得x－2y＝－8。 ④
②－④，得 y＝9。
把 y＝9 代入②，得 x＝10。
把 x＝10，y＝9 代入①，得 z＝7。
实际应用，拓展思考
① ② ③
1.解方程组：
所以原方程组的解是
方法四：
选择哪种消元法计算效率更高呢？
实际应用，拓展思考
2.一个三位数，各数位上的数字之和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2。求这个三位数。
等量关系为：
个位数字＋百位数字＝十位数字；
百位数字×7＝个位数字＋十位数字＋2；
个位数字＋十位数字＋百位数字＝14。
实际应用，拓展思考
解：设这个三位数的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，由题意得
把①代入③，得 y＝7。
把y＝7代入①，得 x＋z＝7。 ④
把y＝7代入②，得7z＝x＋9。 ⑤
解由④⑤组成的方程组，得x＝5 ，z＝2。
所以，这个三位数为2×100＋7×10＋5＝275。
答：这个三位数是275。
① ② ③
实际应用，拓展思考
（1）本节课我们学习了哪些数学知识？
（2）本节课你感受到了哪些数学思想？
（3）你认为解多元一次方程组的核心思想方法是什么？
课堂小结
（1）三元一次方程组的概念
（2）三元一次方程组的解法
方程组
三元一次方程组
多元一次方程组
二元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
消元
…
一元一次方程
消元
消元
一元一次方程
课堂小结
1.基础性作业：
教科书习题5.5 第1~4题。
2.拓展性作业：
（1）有同学说，列三元一次方程组能解决的问题，列一元一次方程也能解决。对此说说你的看法。
（2）（选做）探究学习教材P136“阅读·思考”中的内容。
布置作业
谢谢第五章 二元一次方程组
*5 三元一次方程组
一、学习任务分析
“三元一次方程组”是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”的第五节，本节为选学内容。教材在学生已熟练掌握二元一次方程组的概念、解法和应用的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：了解三元一次方程组的概念，会用“代入消元法”“加减消元法”把三元一次方程组化为二元一次方程组，进而化为一元一次方程来求解。本节课作为选学内容，旨在使数学基础较好、对数学知识感兴趣的学生能根据具体问题中的数量关系列出三元一次方程组，并根据方程组的具体形式选择适当的解法，进而解决问题，让学生更深入地体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已经熟练掌握二元一次方程组的概念、解法，并能应用二元一次方程组解决许多实际问题，具备用消元法解方程组的基本技能。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经具备在实际问题中寻找等量关系、建立方程（组）并求解的活动经验，并借助方程（组）解决过一些简单的实际问题，感受到利用方程（组）解决实际问题的简便性与灵活性。同时，学生在以往的数学活动中经历多次合作探究的过程，具有一定的合作与交流能力。
三、教学目标
1.通过对实际问题的分析，能列出三元一次方程组，进一步体会方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。
2.经历三元一次方程组解法的探索过程，进一步体会“化未知为已知”的化归思想。
3.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会“消元”的思想。
教学重点：引导学生自主探索三元一次方程组的解法，在活动过程中进一步体会“消元”的思想。
教学难点：通过消元解方程组。
四、教学过程设计
【第一环节】抽象模型，生成概念
1.活动内容
今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问：上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？
在这个问题中，设每束上禾可得米x斗，每束中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，
根据题意可得方程组：
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
在这个方程组中，3x＋2y＋z＝39，2x＋3y＋z＝34和x＋2y＋3z＝26都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。
像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个三元一次方程组的解。
2.活动目的
通过古代数学瑰宝《九章算术》中的问题情境引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题。首先，引导学生分析问题，强调在审题时需要抓住的三个等量关系，并据此列出对应的三个方程。接着，点明这个问题的解答必须同时满足这三个条件，因此，需要把这三个方程联立起来，从而引出三元一次方程组的概念。也可以通过类比引出本节课要解决的问题——解三元一次方程组。
3.注意事项
开始阶段要给予学生充足的探索空间，让学生在问题情境中寻找等量关系，列出方程组，为下一步进行观察发现做铺垫，进而得出三元一次方程、三元一次方程组、三元一次方程组的解的概念。
【第二环节】类比学习，探究新知
1.活动内容
尝试·思考
（1）怎样解这个三元一次方程组呢？
（2）解二元一次方程组的基本思路是什么？你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗？请你试一试。
2.活动目的
本环节主要引导学生思考解三元一次方程组的基本思路。
3.注意事项
教学时，可要求学生回顾解二元一次方程组的基本思路，明确其中的消元、转化思想，让学生思考如何用类似的方法将“三元”转化为“二元”，然后鼓励学生用自己的方法尝试解前面列出的三元一次方程组。
【第三环节（一）】问题解决，深入理解
1.活动内容
尝试·交流
（1）在解上面的方程组时，你能用代入消元法先消去未知数x（或y），从而得到方程组的解吗？
（2）你还有其他方法吗？与同伴交流各自的解法，并思考不同方法之间的区别和联系。
2.活动目的
在学生独立选择方法解决三元一次方程组的基础上，引导学生进行比较：解三元一次方程组的消元与解二元一次方程组的消元有什么不同？解上面的方程组时，你能先消去未知数x（或y），从而得到方程组的解吗？先让学生独立思考，然后在学生充分思考的前提下，组织小组讨论，在此基础上由学生派代表回答，教师适时地引导与补充，力求通过学生观察、思考与讨论后得出以下的一些要点：
（1）三元一次方程组的消元可以类比二元一次方程组的消元进行。
（2）消元的常见方法有：代入消元法，加减消元法。
（3）总结求解三元一次方程组的整体思路——消元，实现“三元”→“二元”→“一元”的转化。在消元的过程中，消“谁”都行，用哪种消法（代入法、加减法）都可以，但如果能根据方程组选择更合适的方法，可以提高计算的效率。
3.注意事项
本环节可以结合情境问题中列出的三元一次方程组，类比前面所学的二元一次方程组解法，得到解三元一次方程组的整体思路——消元，并引导学生对不同解法进行尝试、体会，培养学生解题思路多样化。
【第三环节（二）】问题解决，深入理解
1.活动内容
思考·交流
回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程，说说求解三元一次方程组的基本思路，并与同伴进行交流。
归纳得出：解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”。
2.活动目的
引导学生回顾前面所学的求解二元一次方程组的基本思路——消元，以及消元的常用方法（代入消元法、加减消元法），让学生明确解三元一次方程组的具体做法可以有很多种，但不管哪种做法，其基本思路都是“消元”。
3.注意事项
选取一种方法解此三元一次方程组，由学生独立思考解决，教师注意指导学生规范表达。教师板书用代入消元法的求解过程，强调解题的格式。引导学生类比二元一次方程组的加减消元法对此方程组进行消元。并让学生根据解二元一次方程组的经验尝试归纳三元一次方程组求解方法的选择：方程组中同一个未知数的系数相同、互为相反数或有倍数关系的，这类方程组用加减消元法求解比较简单。方程组中有未知数系数是1或－1的，这类方程组用代入消元法求解比较简单。
【第四环节】实际应用，拓展思考
1.活动内容
（1）解方程组：
（2）一个三位数，各数位上的数字之和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2。求这个三位数。
2.活动目的
第（1）题为解方程组，题目的设计力求各项系数简单、便于运算，让学生聚焦方法的选择与运用，并通过练习进一步理解三元一次方程组的求解方法，培养运算能力。
第（2）题为实际应用题，引导学生运用数学知识解决实际问题是数学学习的重要内容。本环节回归实际应用问题情境，引导学生运用三元一次方程组解决实际问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识。
3.注意事项
本环节教师要着重引导学生观察方程组的特点，进而总结出消元的具体策略：如果已有某个未知数的表达式，则直接用代入消元法，否则，通常选用加减消元法。使用加减消元法时，观察方程组中是否存在只含有两个未知数的方程，若有，则消去缺失的那个未知数。
本环节是对前面所学内容进行巩固，教师可以放手让学生运用已经获取的解题经验独立解决新的问题。如可以让两名学生在黑板上进行板书，教师巡视。在探究过程中，教师发现学生的闪光点要及时给予肯定，发现存在的问题适时加以辅导，以期学生在解答过程中领会“消元”的实质和“化归”的数学思想。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）本节课我们学习了哪些知识？
（2）本节课你感受到了哪些数学思想？
（3）你认为解多元一次方程组的核心思想方法是什么？
2.活动目的
引导学生自己总结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化，由感性认识上升为理性认识。
3.注意事项
本环节要给予学生能够在课堂上畅所欲言的空间和时间，使学生通过自己的归纳总结，进一步巩固所学知识。教师可以视其情况，选择一些前面出现过的问题情境和实际问题进行展示，并对学生的总结从知识、方法及思想层面进行补充完善，让学生体会数学与生活的联系，激发学生的学习热情。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
（1）基础性作业：教科书习题5.5 第1~4题。
（2）拓展性作业：
①有同学说，列三元一次方程组能解决的问题，列一元一次方程也能解决。对此说说你的看法。
②（选做）探究学习教材P136“阅读·思考”中的内容。
2.活动目的
课后作业设计包括两个层面：基础性作业是为了巩固基础知识而设计；拓展性作业是为了拓展学生的知识面，增加学生对数学问题本质的思考而设计，通过此环节可让学生进一步运用三元一次方程组解决实际问题。通过分层作业的设计，让不同层次的学生都能得到发展。
3.注意事项
教科书习题5.5的第5题是不定方程组，可以供学有余力的学生完成。
五、教学设计反思
1.本节课的内容属于选学内容，主要面向数学兴趣浓厚、学有余力的学生，旨在引导其进行进一步探究和拓展多元一次方程组的相关知识。在数学方法和思想方面教师需重点进行引导，通过引导，使学生明白求解多元一次方程组的一般方法和思想。在“实际应用，拓展思考”环节，教师应注重引导学生尝试多种解题方法，并比较各种方法之间的优劣，总结出求解多元一次方程组的基本方法。
2.作为选学内容，在学生掌握三元一次方程组概念的同时，教师要引导学生认识运用三元一次方程组甚至多元一次方程组求解实际问题的必要性，从而掌握本节课的基础知识。在教学过程中，教师需引导学生深刻体会：对于复杂的实际问题，当涉及多个未知量时，方程中的“元”越多，等量关系的建立就越直接。并使学生通过充分讨论、交流、合作，理解代入消元法和加减消元法解方程组的优点和缺点。
PAGE<<<<<<<<第五章二元一次方程组
三元一次方程组
课堂精要·梳理内容
1.含有
个未知数，并且所含未知数的项的次数都是
,这样的方程叫作
三元一次方程，如2x十3y十之=8等。
2.共含有
未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫作三元一次方程组。
3.三元一次方程组中各个方程的
解，叫作这个三元一次方程组的解。
4.解三元一次方程组的基本思路仍然是“
”—把“三元”化为“
”,再化为
具果受珠烘·家买航刀
基础巩固
1.下列说法不正确的是()。
A.方程3x十2y十之=20有唯一一个解
B.若x,y,z是非负数，则三元一次方程3x十5y十2z=0只有一个解
C.方程4a十b十2c=7是三元一次方程
x=1,
D.方程组y=2,是三元一次方程组
z=-1
x+2y+之=0，
2.下列四组数值为方程组2x一y一z=1,的解的是()。
3x-y-z=2
x=0,
x=1,
x=0,
x=1,
A.y=1,
y=0,
C.y=-1,
D.y=-2,
z=-2
z=1
z=0
z=3
x一之=4，
3.方程组{x一2y=1,经消元后得到的一个关于x,y的二元一次方程组为
3y+x=2
[x+y=-1,
4.已知方程组{x十之=0，则x十y十x=
y十x=2,
国季人车级上品
5.
当x=0,1,一1时，二次三项式ax2十bx十c的值分别为5,6,10，则a=
,6=
6.解方程组：
(x十y十之=6
(x十y-2=11,
(1)y-z=4,
(2)y+z-x=5,
x一y一2z=3;
(2+xy=1。
强化提高
7.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→明文
(解密)。已知加密规则为：明文a,b,c对应密文a十2b,2b十c,3c。例如：明文1,2,3对应
密文5,7,9。当接收方收到密文14,9,15时，则解密得到的明文为()。
A.10,5,2
B.10,2,5
C.2,5,10
D.5,10,2
8.如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填
整数之和都相等，则第2017个格子中的数为()。
3 a b c-1
2
A.3
B.2
C.0
D.-1
-y=5k,
9.若关于x,y的二元一次方程组
的解也是二元一次方程2x十3y=6的解，则
x-y=9k
的值为
10.一个三位数，个位、十位、百位上的数字的和是14，个位、百位上的数字的和等于十
位上的数字，个位上的数字的2倍比十位、百位上的数字的和大4，则这个三位数是
11.符号 ，△，O各代表一个数字，且满足以下三个等式：口十 十△十○=17，
口+△+△十○=14，口十△+○+○=13，则口代表的数字是
一2
