(共10张PPT)
第七章 证明
1 为什么要证明
义务教育教科书 数学 八年级上册
章前导入
通过观察、测量、猜测得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明这些结论的正确性呢？在证明一个观点、结论正确时，人们常常说“因为A正确，所以B正确”，但你是否想过：A正确又是因为什么呢？如此下去，源头在哪里？如何确定证明的起点呢？
这些都是本章我们要解决的问题，通过本章的学习我们将明白，在什么情况下需要证明？证明有什么意义？怎样才能保证证明是严谨的？
1.图1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。
猜测验证
图1
图2
2.如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。
猜测验证
图3
（质数：因数只有1和本身的数叫作质数。如2，3，7，11等。）
1.对于自然数n，代数式n2－n＋11的值是质数吗？取n＝0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数n， n2－n＋11的值都是质数”？
知识探究
【尝试·思考】
2.如图4，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想。你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
知识探究
图4
【尝试·思考】
观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。
观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。
交流小结
【思考·交流】
课堂练习
2.当n为正整数时，n2＋3n＋1的值一定是质数吗？
1.图5中有三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证。图6中两条线段a与b的长度相等吗？
图5
图6
必做：（1）习题7.1第3题。
（2）阅读“费马的失误”（附拓展资料）。
选做：习题7.1 第4题。
布置作业
谢谢<<<<<<<<
第七章
证明
为什么要证明
课堂精要·梳理内容
观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能
因此，要判断一个数学结
论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的
眼果结获久县能刀
基础巩固
1.下列关于判断一个数学结论是否正确的叙述正确的是()。
A.只需观察得出
B.只需依靠经验获得
C.通过亲自实验得出
D.必须进行有理有据的证明
2.下列推理正确的是()。
A.如果∠a=∠B,那么∠a与∠3看起来差不多
B.如果a>b,b>c,那么a>c
C.对顶角相等，所以相等的角都是对顶角
D.某彩票中奖概率为1%，那么买一百张一定会中奖
3.A,B,C,D,E,F六支足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A,B,C,D,E
五队已分别比了5,4,3,2,1场，由此可知，还没有与B队比赛的球队是(
）。
A.C队B.D队C.E队
D.F队
4,某校准备开设特色活动课，各科目的计划招生人数和报名人数列前三位的如下表所示：
科目
小制作
足球
英语口语
计划招生人数
100
90
60
科目
小制作
英语口语
中国象棋
报名人数
280
250
200
若计划招生人数和报名人数的比值越大，表示学校开设该科目相对学生需要的满足指数
就越高。则根据以上数据，推断满足指数最高的科目是()。
A.足球
B.小制作
C.英语口语
D.中国象棋
5.如图所示，小东和小明在手工课上用铁丝制作楼梯模型，小东用的铁丝的长度
小明用的铁丝的长度。（填“>”“<”或“=”）
-8 cm
cm
小东
小明
(第5题)
6.手工课上，老师将同学们分成A,B两个小组制作两个汽车模型，每个模型先由A组同学
完成打磨工作，再由B组同学进行组装完成制作，两个模型每道工序所需时间如下表：
打磨
组装
(A组)
(B组)
模型甲
9 min
5 min
模型乙
6 min
11 min
则这两个模型都制作完成所需的最短时间为
min.
7.先观察，再验证。
Atittit+ttttifi B
图①
图②
(第7题)
(1)图①中的实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中的直线AB与直线CD平行吗？
强化提高
8.老李到办公室后，他总要完成以下事情：烧开水l0min,洗茶杯1min,准备茶叶和冲茶
1min,打扫办公室9min,收听新闻10min,则老李做好以上事情至少需要()。
A.31 min
B.11 min
C.20 min
D.10 min
9.如图，有三只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿路线1爬行，乙虫沿路
线2爬行，丙虫沿直线AB爬行，则下列结论正确的是()。
A.甲虫先到B点
路线
B.乙虫先到B点
路线2
C.丙虫先到B点
D.无法确定
(第9题)
10.填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则m的值是
10
(第10题)
2第七章 证明
1为什么要证明
一、学习任务分析
本章是学生正式学习证明的起点。在此之前，学生已经通过观察、测量、实验、操作等活动探究得到了一些几何结论，也尝试进行了一些验证和说理，基本认可这些结论，但这些并非严格的证明。因此，本章首先让学生明确认识到：通过探究发现的结论需要经过严谨的证明才能真正确立其可靠性。同时，证明需要一个话语体系，为此就引入了定义、命题等基本概念。其次，证明必须从一些公认的起点出发，为此需要梳理已有的结论，选择其中最基本的、无需证明的结论作为证明的出发点（实际上这就是构建局部的公理体系）。有了这些证明的出发点，就能依次证明先前探究得到的定理。在证明过程中，初步掌握证明的要求和格式，认识到证明的严谨性，做到步步有据地进行推理，从而发展学生的推理能力。
本章共分为3节：第1节“为什么要证明”（1个课时），旨在说明要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须一步一步、有根有据地进行证明，强调证明的必要性；第2节“认识证明”（2个课时），指出定义、命题、基本事实、定理的含义，为后面的证明奠定基础，并简要介绍欧几里得的《原本》；第3节“平行线的证明”（2个课时），分别完成平行线的判定定理和性质定理的证明。
本节课是第七章“证明”的第1节，核心任务是要让学生认识到基于观察和直觉，通过归纳和测量得到的结论未必可靠，从而认识到证明的必要性。
二、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在学习本节课之前，已经学习了代数方面的一些基础知识，掌握了三角形、四边形、圆等简单几何图形的一些常规结论，为本节课的学习做好了必要的知识储备。学生在之前的数学学习过程中，主要是通过直观的方式得出正确结论，合情推理能力得到了很大的发展，为本章将学生从合情推理逐步过渡到演绎推理打下了基础。
学生的活动经验基础：学生在学习代数和几何知识的过程中，积累了一定的小组合作经验，经历了观察、测量、实验、操作、归纳、猜测等数学活动，为本节课的教学提供了活动经验基础。
三、教学目标
1.经历观察、实验、归纳、验证等活动过程，在活动中体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，认识到这些方法的局限性。
2.初步感受证明的必要性，发展推理能力。
教学重点：经历用不同方法得到数学结论的过程，感受证明的必要性。
教学难点：经历用不同方法得到数学结论的过程，感受证明的必要性。
四、教学过程
【第一环节】章前导入
1.活动内容
教师谈话导入：通过观察、测量、猜测等方式得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明这些结论的正确性呢？在证明一个观点、结论正确时，人们常常说“因为A正确，所以B正确”，但你是否想过：A正确又是因为什么呢？如此下去，源头在哪里？如何确定证明的起点呢？这些都是本章我们要解决的问题，通过本章的学习我们将明白，在什么情况下需要证明？证明有什么意义？怎样才能保证证明是严谨的？
2.活动目的
本节课是本章的起始课，通过教师的谈话导入，结合本章内容，帮助学生了解本章内容的核心主题与学习脉络。
3.注意事项
这里提出了本章需要持续思考的大问题，不需要学生现在给出答案，两个可持续思考的问题分别指向证明的意义、证明的过程与方法。
【第二环节】猜测验证
1.活动内容
（1）图1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你观察到的结论。
（2）如图3，把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。
2.活动目的
学生经历通过观察和直观感受得出的结论，与验证的结论发生冲突的过程，让学生感受证明的必要性。
3.注意事项
对于两个活动内容，都要求学生先观察、猜测结果，然后再验证。对于第2个活动内容，可以要求学生先不计算，仅仅凭直觉估计进行猜测，然后再验算。验算时，学生可能会有一定的困难，教师可以用实物模型结合画图的方式，引导学生理解“间隙”实际上就是大圆半径与小圆半径之差，从而让学生去表示大圆和小圆的半径，并求差。
【第三环节】知识研究
1.活动内容
尝试·思考
（1）对于自然数n，代数式n2－n＋11的值是质数吗？取n＝0，1，2，3，4，5试一试，你能否由此得到结论“对于所有自然数n，n2－n＋11的值都是质数”？
（2）如图4，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE。DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜测。你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
2.活动目的
对归纳、猜测的结论进行验证，让学生再次感受到无论是在代数领域还是在几何领域，都需要用证明来确定结论的正确与否。值得注意的是，在问题（2）中学生得到的数量关系和位置关系的猜想，在现有的知识下，难以完成证明。这反而可以激发学生的求知欲，为后面学习平行线的证明和三角形中位线定理埋下伏笔。
3.注意事项
（1）在问题（1）中，学生根据自己以往的经验进行判断，可能认为n2－n＋11一定是一个质数。此时，教师需要有意识地引导学生选取更多的n值进行验证，不难发现，当n＝11时，n2－n＋11＝11 ，不是质数，所以这个结论不成立。找到了一个反例，从而说明归纳出的结论未必正确。
（2）在问题（2）中，教师应鼓励学生动手测量，大胆猜测。同时，通过变换三角形的形状，进行多次测量、猜测，使探索的结果更可靠。通过反复的实践活动，学生会更加坚信其猜测的正确性。然而，根据前面的经验，学生已明确意识到，猜测的结论还需要证明。但具体怎么证明，学生尚不清楚。这时教师可以引导学生将这个问题留存，在后续学习相关知识后再行证明。通过这个活动，学生进一步感受到证明的必要性。同时，也引导学生认识到，虽然猜测结果有可能不正确，但是合理的猜测，仍然是我们探索数学结论的重要方法，只不过所猜测的结论，要通过证明来验证它的正确性。
【第四环节】交流小结
1.活动内容
思考·交流
观察、实验、归纳等是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳等方式得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。
2.活动目的
本环节主要让学生通过反思以上教学活动，总结归纳出：观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确。因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有理有据的证明。从而让学生感悟证明的必要性。
3.注意事项
本环节教师要鼓励学生大胆交流，充分表达自己的想法。通过本节课的教学活动，让学生体会到数学是一门严谨的学科，需要通过逻辑推理来达到对真理的有效认识。通过证明，帮助学生建立正确的数学思维方式，促进逻辑推理能力的发展。在证明中让学生发现问题、提出问题，进而学会分析和解决问题。学生在经历这样一个过程后，数学素养得到了发展，从而能更好地应对现实生活中的各种复杂问题。
【第五环节】课堂练习
1.活动内容
（1）图5中有三条线段a，b，c，哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察，再用直尺验证。图6中两条线段a与b的长度相等吗？
（2）当n为正整数时，n2＋3n＋1的值一定是质数吗？
2.活动目的
巩固学生对证明必要性的感悟，发展学生推理能力。
3.注意事项
要求学生独立完成，然后再进行交流点评。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
布置作业
（1）必做：①习题7.1第3题。
②阅读拓展材料“费马的失误”。
（2）选做：习题7.1第4题。
2.活动目的
巩固本节课所学内容，通过设置不同层次的作业，让不同学生都得到发展。
3.注意事项
学生在完成选做题后需要在全班进行分享。
五、教学反思
在实际教学中，需考虑到学生可能对质数、圆的周长公式等知识有所遗忘。针对此情况，在具体的教学环节中可以适当地安排一些复习内容，然后再进行相关的活动。同时，本教学设计侧重于让学生通过观察、测量、实验、操作、归纳、猜测等方法得出结论之后，对结论进行验证，从而重新审视结论的正确性。需要明确的是，这样的教学过程并不是否定学生用合情推理进行探索。相反，教师应该大胆地鼓励学生去进行合理的猜测，用合情推理的方式探索得到结论，然后再有理有据地证明结论，从而使学生感悟数学思考过程的严谨性。
