第七章 证明
3 平行线的证明（第1课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第七章“证明”第三节第1课时：证明平行线的判定定理。本章的前两节分别介绍了证明的必要性和证明的基础知识，第三节将利用这些知识开展有关平行线的判定与性质定理的证明。本节共安排2课时，分别为平行线的判定定理和性质定理的证明。本课时将以基本事实“同位角相等，两直线平行”为起点，证明以下两条平行线的判定定理：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。在完成两个判定定理证明的基础上，运用平行线的判定定理解决一些简单的几何问题。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已经学习了命题的相关知识，了解了命题由条件和结论构成，能够区分真命题和假命题，有了初步判断真假命题的意识。在几何证明方面，学生已学习了基础的证明方法，如证明对顶角相等，能够进行简单的几何说理，初步建立了证明的意识。
学生活动经验基础：通过七年级的学习，学生积累了一定的合作交流经验，具备了一定的合作与交流能力。在前一节课中，学生通过实例经历证明的过程，深刻体会到推理说明的必要性，为本节课探究平行线的判定定理的证明提供了重要的思路启发和方法指引。
三、教学目标
1.初步掌握综合法证明的步骤、格式和方法，积累分析证明思路的经验，发展几何推理能力。
2.会根据基本事实“同位角相等，两直线平行”证明定理“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”，并能简单应用平行线的判定定理进行证明。
3.在证明过程中发展初步的演绎和推理能力。
教学重点：初步掌握证明的基本步骤和书写格式。
教学难点：能运用证明的基本步骤和书写格式，根据基本事实“同位角相等，两直线平行”证明定理“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”。
四、教学过程
【第一环节】情境引入
1.活动内容
一束光线从空气中射入玻璃砖后，再射出。入射光线和出射光线在空气中传播的路径是平行的，如何说明这种平行关系呢？
（1）画出示意图
你能利用哪些角的关系得到AB∥CD？试一试。
（2）回忆平行线的判定条件
前面我们探索过直线平行的哪些条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。
2.活动目的
（1）通过引入现实生活问题情境，让学生感受数学来源于生活，有效激发其学习数学的兴趣和探究欲望。
（2）将其他学科中的相关问题转化为数学问题，引出平行线的判定定理。
（3）以直观图形和已知条件为基础，寻找证明思路。
3.注意事项
采用提问式引导，让学生在思考中逐步明确“从结论入手，反向寻找支撑结论的已知条件、基本事实和已证定理”，这是构建证明逻辑的重要策略。在证明的教学过程中，可通过反复提及、多次示范与刻意练习，帮助学生理解并内化这一策略，逐步形成“逆向寻证”的思维习惯。
【第二环节】证明平行线的判定定理
1.活动内容
（1）定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
先把定理的文字语言转化成图形语言和符号语言。
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线 c 截出的内错角，且∠1＝∠2。
求证：a∥b。
分析：现在有哪些结论可以用来证明两条直线平行？能利用“同位角相等，两直线平行”这一基本事实吗？
学生通过观察、思考可以想到用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实来证明。
引导学生在图中找出同位角。
从图中可知∠2与∠3是同位角，所以只需证明∠2＝∠3，则a与b平行。由图可知∠1与∠3是对顶角，所以∠1＝∠3。又因为已知∠1＝∠2，因此，由等量代换可知∠2＝∠3。
教师与学生一起书写推理过程。
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠3（对顶角相等），
∴ ∠3＝∠2（等量代换）。
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。
（2）定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
请按上面的过程，证明这一命题，并在小组内交流，分享不同的证明方法。
已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。
求证：a∥b。
证明：∵∠1与∠2互补（已知），
∴∠1＋∠2＝180°（互补的定义）。
∴∠1＝180°－∠2（等式的性质）。
∵∠3＋∠2＝180°（平角的定义），
∴∠3＝180°－∠2（等式的性质）。
∴ ∠1＝∠3（等量代换）。
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。
2.活动目的
通过学生熟悉的平行线判定定理的证明，引导学生利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实推导出其他判定定理，并逐步掌握规范的推理证明格式。
3.注意事项
证明顺序可根据学生思维调整，证明方法有多种，可邀请几组同学进行展示。下面给出另一种证明方法。
证明：如图，∵∠1与∠2互补（已知），
∴∠1＋∠2＝180°（互补的定义）。
∴∠1＝180°－∠2（等式的性质）。
∵∠3＋∠2＝180°（平角的定义），
∴∠3＝180°－∠2（等式的性质）。
∴ ∠1＝∠3（等量代换）。
∴ a∥b（内错角相等，两直线平行）。
【第三环节】平行线判定定理的应用
1.活动内容
思考·交流
（1）我们可以用下图的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？
（2）任意撕一张纸片，用它折出两条平行线，并予以证明。与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。
2.活动目的
以“利用平行线的判定定理解释画图的道理”为核心任务。让学生先利用直尺、三角尺或折纸等方法快速画出平行线，接着思考并说明作图方法背后的道理。由于学生思维角度不同，可能会产生多种画图方法，对原理的阐释也会多样，这将让课堂教学更具开放性与探究性。
3.注意事项
问题（1）引导学生用规范的数学语言书写该真命题的证明过程。同时还可以有以下画法：
理由：同位角相等，两直线平行。
问题（2）让学生动手操作、思考交流，并说明各自方法的基本原理。
两次折垂直，可得a∥b，理由：同位角相等，两直线平行（内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行）。
【第四环节】课堂练习
1.活动内容
随堂练习
蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α=109°28′，∠β=70°32′。试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论。
这个四边形的两组对边分别平行。
解：∵∠α＝109°28′，∠β＝70°32′（已知），
∴∠α＋∠β＝109°28′＋70°32′＝180°。
∴这个四边形的两组对边分别平行（同旁内角互补，两直线平行）。
2.活动目的
通过练习让学生了解生活中藏着很多值得深入探究的数学问题。并且通过对生活中数学问题的研究，引导学生用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界。
3.注意事项
教学中，先由学生独立完成练习，再进行集体交流、点评。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
当图中的角满足怎样的数量关系时，可以得到两条光线AB与CD平行？请说明理由。
（1）如果∠AGE＝∠CHG，则可得到AB与CD平行；
∵∠AGE＝∠CHG（已知），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。
（2）如果∠BGH＝∠CHG，则可得到AB与CD平行；
∵∠BGH＝∠CHG（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
（3）如果∠AGH＋∠CHG＝180°，则可得到AB与CD平行。
∵∠AGH＋∠CHG＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。
2.活动目的
回顾第一环节引入的问题，通过本节课学习的判定定理来解决疑问。进一步强化证明的规范格式。
3.注意事项
教学预设与处理：引导学生回顾并利用本节课学行线的判定定理解决问题。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
基础作业：教科书习题7.3第1，2，3题（第3题使用一种方法证明即可）。
自我挑战：教科书习题7.3第3，4题（第3题要求用两种及以上的证明方法）。
2.活动目的
巩固所学知识，给不同层次的学生提供不同的发展空间。
3.注意事项
对于习题7.2第3题，习题课上可以交流证明方法；第4题需要从实物中抽象出几何图形。
五、教学反思
1.本节课的教学设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》对“图形的性质”领域的要求，强调通过实验探究、直观发现与推理论证相结合的方式研究图形。在利用几何直观理解几何基本事实的基础上，从基本事实出发推导图形的几何性质和定理，理解和掌握画图的基本原理和方法。教学以学生的几何直观能力为起点，引导他们从生活背景中观察、猜想、动手操作（作图、折纸等），完成对几何图形的抽象理解过程。
2.教学活动包括“证明”和“应用”两个核心环节，引导学生利用基本事实“同位角相等，两直线平行”证明其他平行线判定定理。证明过程以文字语言、图形语言、符号语言的相互转化为起点，以基本事实为论证基础，进行严格的逻辑推理证明。通过这一系列严谨的教学活动，旨在让学生深刻理解逻辑推理在形成数学定理和解决问题中的重要性，并初步掌握推理的基本形式和规则，逐步养成重论据、合乎逻辑的思维习惯，形成实事求是的科学态度与理性精神。
3.在教学环节的设置中，从教师示范书写到要求学生完成从文字语言向图形语言、符号语言的转换，提升了学生系统化、规范化的思维品质，确保证明过程严谨规范。<<<<<<<<
第七章证明
平行线的证明（第1课时）
课堂精要·梳理内容
1.同位角
,两直线平行。
2.内错角
,两直线平行。
3.同旁内角
,两直线平行。
课堂精练·发屣能力
基础巩固
1.如图，DE是过点A的直线，要使直线DE∥BC,应有()。
A.∠2=∠3
B.∠C=∠3
C.∠C=∠1
D.∠B=∠C
(第1题)
(第2题)
2.如图，已知∠2=40°，若要使a∥b,则∠1=(
)。
A.709
B.140
C.50°
D.130
3.如图，由直线l截两直线1，l2后所形成的八个角，可判定直线11∥2的条件是()。
A.∠2+∠4=1801
B.∠3+∠8=180
C.∠5+∠6=1809
D.∠7+∠8=180
(第3题)
(第4题)
(第5题)
4.如图所示，不能判定AD∥BC的条件是(
A.∠2=∠3
B.∠1=∠4
C.∠DAB+∠ABC=180°
D.∠ADC+∠BCD=180
5.如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是()。
A.同位角相等，两直线平行
B.内错角相等，两直线平行
C.同旁内角互补，两直线平行
D.两直线平行，同位角相等
人' ③八年级上品
a地
6.如图，已知∠1=∠2，添加一个合适的条件：
使得AB∥DF。
(第6题)
7.如图：
56
(第7题)
(1)因为∠A=∠3，所以
根据是
(2)因为∠2=∠4，所以
∥AC,根据是
(3)因为∠5=
,所以EF∥
根据是
(4)因为∠5=
,所以BC∥
根据是
(5)因为∠6+∠C=180°，所以
,根据是
强化提高
8.如图，将木条a,b与木条c钉在一起，∠1=80°，∠2=35°。若木条a按箭头方向旋转的
度数为a时，木条a∥b,则a的值可以为(
）。
(第8题)
A.20°
B.30°
C.35
D.45
9.如图，将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起，观察图形，在线段AB,AC,AE,
ED,EC,DB中，相互平行的线段有()。
(第9题)
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
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第七章证明
10.已知：如图，AE平分∠BAC,CE平分∠ACD,∠1+∠2=90°。证明：AB∥CD。
2
D
(第10题)
11.如图，CE平分∠ACD,∠1=∠B。求证：AB∥CE。
D
(第11题)
12.已知：如图，∠1=∠C,∠2十∠D=90°，BE⊥FD于点G。求证：AB∥CD。
A
(第12题)
-3-(共15张PPT)
第七章 证明
3 平行线的证明（第1课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
情境引入
一束光线从空气中射入玻璃砖后，再射出。入射光线和出射光线在空气中传播的路径是平行的，如何说明这种平行关系呢？
你能利用哪些角的关系得到AB∥CD？试一试。
情境引入
∠AGE＝∠CHG；∠BGH＝∠CHG；∠AGH＋∠CHG＝180°。
前面我们探索过直线平行的哪些条件？利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明它们吗？试一试。
情境引入
证明平行线的判定定理
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简述为：内错角相等，两直线平行。
已知：如图，∠1和∠2是直线 a，b 被直线 c 截出的内错角，且∠1＝∠2。
求证：a∥b。
证明：∵∠1＝∠2（已知），
∠1＝∠3（对顶角相等），
∴∠3＝∠2（等量代换）。
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。
证明平行线的判定定理
请按上面的过程，证明这一命题，并在小组内交流，分享不同的证明方法。
定理 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简述为：同旁内角互补，两直线平行。
方法一：
证明：∵∠1与∠2互补（已知），
∴∠1＋∠2＝180°（互补的定义）。
∴∠1＝180°－∠2（等式的性质）。
∵∠3＋∠2＝180°（平角的定义），
∴∠3＝180°－∠2（等式的性质）。
∴∠1＝∠3（等量代换）。
∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）。
证明平行线的判定定理
已知：如图，∠1和∠2是直线 a，b 被直线 c 截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。
求证：a∥b。
证明平行线的判定定理
方法二：
证明：∵∠1与∠2互补（已知），
∴∠1＋∠2＝180°（互补的定义）。
∴∠1＝180°－∠2（等式的性质）。
∵∠3＋∠2＝180°（平角的定义），
∴∠3＝180°－∠2（等式的性质）。
∴∠1＝∠3（等量代换）。
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）。
已知：如图，∠1和∠2是直线 a，b 被直线 c 截出的同旁内角，且∠1与∠2互补。
求证：a∥b。
3
2
1
a
c
b
平行线判定定理的应用
（1）我们可以用图（1）所示的方法画出平行线，你能说说其中的道理吗？
请用规范的语言书写证明过程。
【思考·交流】
图（1）
45°
A
C
B
D
45°
E
F
图（2）
证明：∵∠CFE＝∠BEF＝45°（已知），
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
【思考·交流】
45°
A
C
B
D
45°
E
F
平行线判定定理的应用
（2）任意撕一张纸片，用它折出两条平行线，并予以证明。与同伴交流各自的折纸方法与证明过程。
【思考·交流】
平行线判定定理的应用
课堂练习
解：∵∠α＝109°28′，∠β＝70°32′（已知），
∴∠α＋∠β＝109°28′＋70°32′＝180°。
∴这个四边形的两组对边分别平行（同旁内角互补，两直线平行）。
1.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′。试确定这个四边形对边的位置关系，并证明你的结论。
这个四边形的两组对边分别平行。
课堂小结
当图中的角满足怎样的数量关系时，可以得到两条光线AB与CD平行？请说明理由。
（1）如果∠AGE＝∠CHG，则可得到AB与CD平行；
∵∠AGE＝∠CHG（已知），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。
（2）如果∠BGH＝∠CHG，则可得到AB与CD平行；
∵∠BGH＝∠CHG（已知），
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）。
（3）如果∠AGH＋∠CHG＝180°，则可得到AB与CD平行。
∵∠AGH＋∠CHG＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）。
布置作业
基础作业：教科书习题7.3 第1，2，3题（第3题使用一种证明方法即可）。
自我挑战：教科书习题7.3 第3，4题（第3题要求用两种及以上的证明方法）。
谢谢
