第二章 实数
回顾与思考（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”回顾与思考第2课时。本课时将进一步明晰实数与数轴上点的一一对应关系；通过问题情境及实例，对二次根式的基本概念，加、减、乘、除运算法则及应用进行复习巩固；借助二次根式运算，解决与几何图形相关的问题，感悟数形结合的思想。通过小组合作交流、展示分享等多种学习方式，深化学生对知识和方法的理解。通过课堂测验，总结和反思学习情况，完善自己的知识系统。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已初步构建了“实数”这一章的知识体系，对实数的基本概念及性质等有了较好的理解，能够运用实数解决一些基础性的数学问题，包括实数的分类、平方根与立方根的求解、实数的大小比较、实数的运算以及方程的求解等。然而，仍有部分学生未能熟练掌握这些概念和技能，在解决实际问题时容易出现错误。
学生活动经验基础：学生在解决涉及实数相关知识的问题时，通常会先尝试将问题转化为已掌握的实数问题模型，进而运用所学的法则、公式及方法求解。但学生在这个过程中容易遇到困难，需要教师适时引导。
三、教学目标
1.熟悉实数的基本性质，并能运用实数和二次根式运算解决相关问题，提高解决问题的能力。
2.经历知识系统的建构过程，养成回顾反思的习惯，获得知识系统的自主建构能力。
3.通过回顾实数学习过程中的趣味性和实用性，激发对数学学习的兴趣和热情，同时增强学习数学的自信心。
教学重点：通过回顾与思考，进一步加深对实数相关内容的理解，自主建构知识体系。
教学难点：灵活运用实数知识解决问题。
四、教学过程设计
【第一环节】回顾旧知
1.活动内容
再次展示本章内容结构框图，回忆上节课的内容，引入本课时的复习内容。
（1）有理数能不能覆盖整个数轴？
（2）如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为OB的直角三角形，点A在数轴上点O的左边，且OA＝OB，则点A表示的实数是________。
【复习知识点1】实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是一一对应的。
①每个实数可以用数轴上的一个点来表示。
②数轴上的每个点都表示一个实数。
2.活动目的
通过提问的方式，引导学生理解无理数能够在数轴上表示，进一步明确实数与数轴上的点之间存在着一一对应的关系。
3.注意事项
初中阶段无法严格说明“实数与数轴上的点是一一对应的”。教学时，可引导学生结合具体例子对此有所感受、了解，不要深究。
【第二环节】典例分析
（一）二次根式的相关概念
1.活动内容
例1 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________。
变式1 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________。
【复习知识点2】二次根式：形如的式子叫作二次根式。
有意义的条件：被开方数。
双重非负性：。
例2 下列式子中，是最简二次根式的是（ ）。
A. B. C. D.
例3 若最简二次根式和是同类二次根式，求x，y的平方和的算术平方根。
【复习知识点3】（1）将分母化为有理数。
（2）最简二次根式应满足的条件：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。
（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式；化简时，同类二次根式要合并。
2.活动目的
例1旨在复习二次根式有意义的条件，明确二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零是解题的关键。例2、例3意在回顾并巩固最简二次根式、同类二次根式以及算术平方根的基本概念。
3.注意事项
解答此题的核心是准确理解同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫作同类二次根式。
（二）实数与几何知识
1.活动内容
例4 一个长方形的长和宽分别是cm与cm，则这个长方形的周长等于________cm，面积等于___________cm2。
例5 如图，长方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上点F处。求FC，EC的长。
2.活动目的
两个例题的设置，意在指导学生运用实数和勾股定理的知识，解决几何图形中周长与面积的相关问题，从而提升学生在解决数学问题的过程中运用数形结合与转化思想的能力。
3.注意事项
在第一章学习完勾股定理后，有些涉及无理数的问题当时还无法解决，现在学习完实数后，这些问题就可以解决了。我们可以发现一些有关实数的实际问题常与勾股定理的相关知识相联系。
【第三环节】课堂检测
1.活动内容
练习
（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）。
A． B． C． D．
（2）的值在（ ）。
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
（3）二次根式有意义的条件是___________。
（4）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝，CD＝，BC＝8，求四边形ABCD的面积。
（5）如图，小区A到公路l的距离AC为200 m，小区B到公路l的距离BD为400 m，已知AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，其中CD长为800 m。
①政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使得Q到A，B两个小区的路程相等，求CQ的长。
②现要在公路边建造一个超市P，使P到A，B两小区的路程之和最短，求PA＋PB的最小值，并求CP的长度。
2.活动目的
通过一系列练习活动，检验学生对所学知识的掌握程度与应用能力。在此过程中，密切关注学生的完成情况，及时提供必要的指导与反馈。学生独立完成练习后，可以组织小组合作的活动，让学生通过交流进一步加深对知识的理解。
3.注意事项
此环节可以根据授课时间、学生实际水平灵活调整，酌情删减或补充。
【第四环节】交流提升
1.活动内容
请同学们认真思考并交流：
（1）应用二次根式的运算法则进行计算时，需要注意哪些问题？
（2）你能构建二次根式的知识框架吗？
（3）通过本节课的学习，你收获了什么？
（4）通过本节课的学习，你还有哪些困惑？
2.活动目的
通过之前具体题目训练，帮助学生复习二次根式相关内容，这里设置较为抽象的问题，希望通过问题的梳理，明晰二次根式的知识框架。
3.注意事项
使用两分钟的时间让学生深入思考以上四个问题，随后请学生分享他们的见解。对于学生的回答，应及时通过评价给予鼓励，并对其收获进行归纳与总结。同时，针对学生在思考过程中可能产生的困惑进行解答。在此基础上，协助学生完成二次根式知识框架的构建。
【第五环节】布置作业
1.活动内容
必做：完善第二章“实数”知识框架。
选做：教科书复习题第17，18，20，21题。
2.活动目的
进一步加强学生对实数相关概念的理解，以及运算能力的提升。
3.注意事项
学生完善知识框架后，可以通过展板的形式组织课下进一步展示交流。
五、教学设计反思
1.从课堂实施来看
通过引导学生积极参与课堂讨论、合作探究及练习活动，使学生能够深入理解二次根式的相关概念、运算法则、性质及其规律，并在此过程中培养学生的独立思考的能力、分析问题的能力和解决问题的能力。
2.从能力提升来看
通过回顾与反思实数的相关知识体系，激发学生对数学学习产生更为浓厚的兴趣和热情。在此过程中，着重培养学生的严谨性、细致性和数学思维习惯，并以提升其数学素养为最终目标。同时，在学习的过程中重视渗透数形结合的思想方法，以助力学生构建直观且深刻的数学感知能力。
3.从教学评价来看
通过课堂观测、练习完成情况以及学生反馈等多元化手段，对学生的学业进展进行综合评估。在此过程中，积极倡导学生主动提出疑问与见解，促进其与教师及同学之间的沟通与探讨。同时，重视学生在探索新知识及解决具体问题过程中的表现，并给予充分的鼓励与认可。
课后，教师应当对本节课的教学流程进行深入反思与全面总结，细致分析教学目标的实际达成状况、教学方法的实际应用效果以及学生在课堂上的具体表现等方面的问题。在此基础上，针对存在的不足之处与问题点，教师应提出切实可行的改进措施与合理化建议，以期为未来的教学活动提供有益的参考与借鉴。(共17张PPT)
第二章 实数
回顾与思考（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
再次展示本章内容结构的框架图，回忆上节课的内容。
无理数的产生
不能表示为整数之比的数
无理数的小数表示
实数及其相关概念
无限不循环小数
数的开方
二次根式
相反数
倒数
绝对值
数轴表示
比较大小
运算
算术平方根
平方根
立方根
估算
化简
运算
回顾旧知
1. 有理数能不能覆盖整个数轴？
2. 如图，在原点为O的数轴上，作一个两直角边长分别是1和2，斜边为OB的直角三角形，点A在数轴上点O的左边，且OA＝OB，则点A表示的实数是 。
【复习知识点1】实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是一一对应的。
变式1 代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 。
例1 代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 。
【复习知识点2】二次根式：形如(a≥0)的式子叫作二次根式。
（1）有意义的条件：被开方数a≥0；
（2）双重非负性：≥0（a≥0）。
典例分析
二次根式的相关概念
1
例2 下列式子中，是最简二次根式的是（ ）。
A． B． C． D．
【复习知识点3】
（1）将分母化为有理数。
（2）最简二次根式应满足的条件：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式。
典例分析
B
二次根式的相关概念
1
（3）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式；化简时，有同类二次根式要合并。
典例分析
二次根式的相关概念
1
例3 若最简二次根式 和 是同类二次根式，求x，y的平方和的算术平方根。
解：依题意，得 解得
3x-10=2，
x-3y+11=2x+y-5。
x=4，
y=3。
因为x，y的平方和为x2+y2=16+9=25，
所以x，y的平方和的算术平方根为 。
例4 一个长方形的长和宽分别是 cm与 cm，则这个长方形的周长等于 cm，面积等于 cm2。
典例分析
实数与几何知识
2
典例分析
例5 如图，长方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上点F处。求FC，EC的长。
实数与几何知识
2
F
A
E
C
D
B
解：根据题意，得BC=AD=AF=10cm，DE=EF。
在△ABF中，∠ABF =90°，
由勾股定理，得 cm。
可得FC=BC-BF=10-6=4cm。
设EC=xcm，则EF=DE=(8-x)cm，
因为∠C =90°，
所以CF2+CE2=EF2，即42+x2=(8-x)2，
解得x=3cm。
因此，FC的长为4cm，EC的长为3cm。
典例分析
实数与几何知识
2
F
A
E
C
D
B
课堂检测
B
B
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）。
A. B. C. D.
2. 的值在（ ）。
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
3. 二次根式 有意义的条件是 。
课堂检测
4.如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，若AB＝，CD＝4，BC＝8，求四边形ABCD的面积。
解：在Rt△ ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD＝，
∴ ，
由CD＝4，BC＝8，可得BC2＝82＝64。
又可知 ，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴∠BDC＝90°，
因此，S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD 。
课堂检测
5. 如图，小区A到公路l 的距离AC为200m，小区B到公路l的距离BD为400m，已知AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，其中CD长为800m。
（1）政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使得Q到A，B两个小区的路程相等，求CQ的长。
（2）现要在公路边建造一个超市P，使P 到A，B 两小区的路程之和最短，求PA＋PB 的最小值，并求CP 的长度。
l
A
C
D
B
课堂检测
（1）解：如图，AQ＝BQ，
设CQ＝x，则DQ＝800-x。
∴2002+x2＝4002+(800-x)2，
解得：x＝475，
因此， CQ的长为475m。
l
A
C
D
B
Q
巩固提升
l
A
C
D
B
E
P
（2）如图，作点A关于直线l 的对称点 ，
连接 ，交直线l 于点P，
则 ， ,
此时AP+BP最小。
过 作 交BD的延长线于E。
易知 ＝800m，BE＝600m，
根据勾股定理，得 ，
因此，PA+PB的最小值为1000m。
交流提升
请同学们认真思考并交流:
1.应用二次根式的运算法则进行计算时，需要注意哪些问题？
2.你能构建二次根式的知识框架吗？
3.通过本节课的学习， 你收获了什么？
4.通过本节课的学习，你还有哪些困惑？
布置作业
必做：完善第二章“实数”知识框架。
选做：教科书复习题第17，18，20，21题。
谢谢
