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第四章 一次函数
回顾与思考
义务教育教科书 数学 八年级上册
前置学习，绘制框图
1.请你举出现实生活中有关一次函数的几个例子。
2.举例说明一次函数的几种表示方式。你能通过它的一种表示方式获得其他表示方式吗？
复习回顾
前置学习，绘制框图
3.正比例函数 y＝kx 的图象、一次函数 y＝kx＋b 的图象有什么特征？两者之间有什么联系？
4. k 和 b 对一次函数的图象有什么影响？你能根据图象设法确定 k 和 b 吗？
5.一元一次方程与一次函数有什么联系？请举例说明。
6.你能应用一次函数解决哪些问题？请举例说明。
复习回顾
前置学习，绘制框图
自主梳理
本章是第一次系统地研究一个具体的函数，梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
前置学习，绘制框图
自主梳理
以下全章知识框图供参考
应
用
变化的世界
函 数
选择方案
再认识
建立数学模型
一元一次方程
与实际问题的综合
一次函数
（正比例函数）
与数学问题的综合
概 念
表示方法
性 质
图 象
概 念
列表法
解析法
图象法
前置学习，绘制框图
函数 解析式 特殊点的坐标 k，b的符号 大致图象 增减性
正比例函数
一次函数 自主梳理
自学自悟，夯实基础
根据图1，你能获取到哪些信息？
O
y
x
图1
活动探究
l
自学自悟，夯实基础
如图2，在图1的基础上添加 A(2，0)，B(0，－4) ，你又能获取到哪些信息呢？
图2
活动探究
l
互动探究，思维进阶
如图3，在图2的基础上，再添加一条直线 CD，与直线 AB 交于点 P，其中C(0，3)，D( ，0)。请在下面的关键词中选择若干个设置问题。
关键词： 解析式、交点坐标、图形面积、方程的解。
注意：
1.请在此图的基础上设置问题，不再添加其他线段和点；
2.可以选择一个或几个关键词进行问题的设置。
图3
l
互动探究，思维进阶
如图4，在图2的基础上，以A为直角顶点构造等腰直角三角形ABN。
①求直线 BN 的解析式；
②若将“如图4”去掉，直线 BN 的解析式是唯一的吗？还有哪些情况？
③若 H 为第一象限内一个点，且 H 的纵坐标为8，当 S△ABN＝S△ABH 时，求点 H 的坐标。
图4
l
反思小结
通过本节内容的学习：
1.一次函数是我们系统研究的第一个函数，本章我们是通过哪些具体问题和活动展开探究的？
2.你对一次函数中的哪些知识有了更深的认识？
3.你对数形结合有哪些进一步的认识？
谢谢第四章 一次函数
回顾与思考
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第四章“一次函数”回顾与思考。函数是刻画现实世界变化规律的一个重要模型，而一次函数是我们学习的第一个基础函数模型，其结构相对简单且应用广泛。一次函数的研究过程和研究方法都非常重要。因此，进行章末回顾来梳理研究一次函数的基本思路和具体过程是重要且必要的。同时，一次函数中“形”与“数”的关系对于培养学生的数形结合能力，发展几何直观也有着重要的价值。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：在七年级上册“整式及其加减”一章的学习中，学生通过结合具体情境列出代数式，这一过程实质上已经渗透了初步的函数思想。在七年级下册“变量之间的关系”一章，学生则认识到变量之间相依关系的普遍性，通过表格、关系式、图象几种变量之间关系的表达形式，进一步体会函数思想并初步认识函数的三种表达形式。以上的准备和铺垫为学生学习本章“一次函数”奠定了坚实基础，也使学生做好了充分的知识准备。
学生活动经验基础：学生通过七年级的学习，已初步养成了自主梳理学习主题、构建思维导图的习惯，也掌握了一些基本的梳理方法，这为本节课内容的展开提供了经验。同时，在之前的数学学习过程中，学生经历了自主学习、合作交流、分享展示等过程，具备了一定的自主探究能力与合作交流经验。
三、教学目标
1.通过回顾一次函数的学习过程，厘清重点，形成思维导图，提升归纳提炼能力，初步形成对学习主题的结构化感知。
2.通过一题多设问（开放式问题），在自主学习、合作交流中巩固全章基础知识和基本技能，提升提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展应用意识和创新意识。
3.通过互动探究学会对解题方法进行梳理归纳，体会转化、数形结合的数学思想，发展模型意识。
教学重点：梳理本章的知识结构，形成知识结构框架图，建构对一次函数的认知体系。
教学难点：一次函数知识的灵活、综合应用。
四、教学过程
【第一环节】前置学习，绘制框图
1.活动内容
（1）复习回顾
①请你举出现实生活中有关一次函数的几个例子。
②举例说明一次函数的几种表示方式。你能通过它的一种表示方式获得其他表示方式吗？
③正比例函数y＝kx的图象、一次函数y＝kx＋b的图象有什么特征？两者之间有什么联系？
④k和b对一次函数的图象有什么影响？你能根据图象设法确定k和b吗？
⑤一元一次方程与一次函数有什么联系？请举例说明。
⑥你能应用一次函数解决哪些问题？请举例说明。
（2）自主梳理
①本章是第一次系统地研究一个具体的函数，梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
②填表：
函数 解析式 特殊点的坐标 k，b的符号 大致图象 增减性
正比例函数
一次函数
2.活动目的
通过本章中的几个典型问题引导学生回顾一次函数的相关知识，梳理一次函数的学习过程，在此基础上构建自己的全章知识框架，再通过课堂协作及分享，进一步完善一次函数的知识结构，并在此过程中将知识框架内化。
3.注意事项
学生通过完成前置性学习材料，迅速回忆了本章的重点内容，结合对学习过程的梳理，都能绘制出全章的基本知识框图。但由于不同学生对各课时之间关系的认识有差异，部分同学最初完成的思维导图中各知识点较为分散，但经过课堂中的分享交流与协作，最终都能将本章内容梳理成结构化的知识体系。
以下全章知识框图供参考：
【第二环节】自学自悟，夯实基础
1.活动内容
提出两个问题:
（1）根据图1，你能获取到哪些信息？
（2）如图2，若在上图的基础上添加A（2，0），B（0，－4），你又能获取到哪些信息呢？
2.活动目的
通过开放的问题设计，一方面提升学生的学习兴趣，引导学生主动回忆一次函数的图象和性质、一次函数解析式的确定等重点知识和方法；同时，也强化学生对于一次函数从“形”到“数”的理解。
3.注意事项
学生在较为开放的问题设计中能够主动回顾一次函数中的重点内容，比如在问题（1）中，学生能够发现此图象中一次函数的k＞0，b＜0；函数图象过一、三、四三个象限；一次函数y随x的增大而增大等信息。在问题（2）中学生能快速得到lAB的解析式，能求出lAB与坐标轴围成的三角形面积，并且只有少部分学生能得到，此直线lAB：y＝kx＋b中，kx＋b＝0时，x＝2。由此可见，部分学生对于一次函数与一元一次方程的认识并不深刻，还需通过进一步设计活动去帮助学生加深理解。
【第三环节】互动探究，思维进阶
1.活动内容
（1）如图3，在图2的基础上，再添加一条直线CD，与直线AB交于点P，其中C（0，3），D（，0）。请在下面的关键词中选择若干个设置问题。
关键词：解析式、交点坐标、图形面积、方程的解。
注意：①请在此图的基础上设置问题，不再添加其他线段和点；
②可以选择一个或几个关键词进行问题的设置。
（2）如图4，在图2的基础上，以A为直角顶点构造等腰直角三角形ABN。
①求直线BN的解析式；
②若将“如图4”去掉，直线BN的解析式是唯一的吗？还有哪些情况？
③若H为第一象限内一个点，且H的纵坐标为8，当S△ABN＝S△ABH 时，求点H的坐标。
2.活动目的
问题（1）让学生自主设计问题，并分析解决问题，目的在于着重强化学生对典型问题的掌握，如运用待定系数法求一次函数解析式，求直线交点坐标、图形面积、方程的解等，以此夯实基础知识与基本技能。
问题（2）中的三个小问题是一次函数中的难点问题，此处因学生能力的限制，不再设置为开放式问题。主要培养学生分析问题和解决问题并提炼基本方法的能力。此处主要通过问题引导学生提炼方法，包括求点的坐标的基本方法、运用“割补法”表示三角形面积的技巧、将面积关系转化为底和高的关系的解题思路等，同时在第（2）②题中体现分类讨论的数学思想。通过连续、进阶的问题设计促进学生深度思考，实现思维进阶。
3.注意事项
问题（1）基于一题多变、开放式的问题设计，让学生自主设计问题并解决问题，激发了学生的学习兴趣和学习动力。学生普遍能够根据题目设计典型的问题并快速解决，充分调动了学生的学习主动性。
对于第（2）①题，大多数学生都会想到求直线BN的解析式，进而想到先求点N的坐标，求点坐标的一般方法是向坐标轴作垂线，又联系到等腰直角三角形ABN，则可过N点向x轴作垂线，构造“K型全等”；学生在阅读第（2）②题时，发现原来通过删除题干条件后，会涉及分类讨论解决问题，学生通过第（2）②题体会到数学的严谨性；对于第（2）③题，学生完成起来难度较大，而且方法多样，其本质为割补法或等积变换的应用，在实际操作中应发动学生先独立思考，再合作交流、分享展示方法，教师最后归纳和提炼，基本达成了学生深度思考，发展数学素养的目的。
【第四环节】反思小结
1.活动内容
通过本节内容的学习：
（1）一次函数是我们系统研究的第一个函数，本章我们是通过哪些具体问题和活动展开探究的？
（2）你对一次函数中的哪些知识有了更深的认识？
（3）你对数形结合有哪些更进一步的认识？
2.活动目的
鼓励学生结合本节课的学习，谈谈自己的收获与感受，对于罗列的三个问题，学生的理解程度不同，回答也会有较大差异，这里教师对敢于说出自己想法的同学都应给予积极的评价和鼓励。
3.注意事项
反思小结的问题设计具有开放性，因此学生的回答会出现较大差异。对于问题（1），学生单独回答时能想到要先了解它的表达式，然后用五点作图法绘制函数图象，通过图象分析函数性质，最后再运用函数的图象和性质解决实际问题，对函数这一基本模型的研究思路是清晰的；对于问题（2），学生的回答差异可能会比较大，有说割补法的，有说要注意分类讨论的，有说函数和方程的关系的……从学生的回答中我们也感受到在本节课中，学生有较好的获得感。
【第五环节】布置作业
1.活动内容
（1）知识技能：第1，2，3，5题。
（2）数学理解：第10题。
（3）问题解决：第13题。
2.活动目的
通过课后作业，学生进一步巩固一次函数相关知识，提高运用一次函数解决问题的能力。
五、教学反思
1．突破难点策略——搭梯子
一次函数作为学生系统研究的第一个函数，全章内容较为丰富，学生自主梳理全章基本知识并构建知识框图存在一定困难。为此，我们采取“搭梯子”策略，通过精心设计前置性学习材料，先唤起学生对全章重点知识的回忆，引导其思考知识间的相互联系，再构建全章知识框图；继而通过课堂分享交流，逐步完善知识结构，最终帮助学生达成对“一次函数”全章内容的结构化认识。
2．提升复习课效能——一题多设问
为了提升复习课效率，本节课采用一题多设问的设计形式：以基础背景为依托，通过不断丰富条件生成子问题。这种设计可缩短学生熟悉新问题背景的时间，同时将本章的核心知识、技能以及思想方法融入各子问题中，有效提升了复习课的效率。
3．激发学习兴趣——开放的问题设计
复习课通常给人以习题课的刻板印象，容易导致学生学习兴趣与动力不足。本节课在第二、三环节尝试通过开放式的问题设计来改善这一状况，适时调整学生角色，让其从单纯的做题者转变为命题者、批改者与评价者。特别是在第三环节的问题（1），放手让学生自主设计问题，再通过交换解题、批改订正等环节，既有效激发了学生的学习兴趣，又巩固了其对核心问题与方法的掌握。
4．注意改进的方面
本节课中开放式的问题设计，让学生根据限制条件自主设计问题的形式，使部分学生感到吃力。分析其原因，主要是在这之前学生都是以解决现成的问题为主，缺乏“提出问题”的经验，导致少数学生以“设计别人都解决不了的难题”为目标，不仅花费了较多时间，且难以提出典型有效的问题。
同时，第三环节的部分问题难度较大，在有限的课堂时间内对学生要求偏高。因此，对于一般班级，建议删减第三环节的第（2）②③题，或仅删除第（2）③题。
