第五章 二元一次方程组
☆问题解决策略：逐步确定
一、学习任务分析
教材在“二元一次方程组”这一章的最后编排了“逐步确定”的问题解决策略，旨在将“通过求二元一次方程的公共解得出二元一次方程组的解”拓展为“探究满足多个条件的公共解”。这一设计是将求交集思想从解决单一数学问题回归到解决实际问题的过程，意在培养学生逻辑推理能力的同时，养成理论联系实际的习惯，发展学生的实践能力，培养应用意识。
二、学生起点分析
1.学生知识技能基础：学生在前面的学习中已经学习了求解二元一次方程组及运用二元一次方程组解决实际问题的知识，对满足多个条件求解的过程已有一定的学习经验。同时，作为八年级的学生，也具备一定的逻辑推理能力，能够运用所学的数学知识解决问题。
2.学生活动经验基础：学生在以往的数学学习中已经经历了很多合作学习的过程，积累了丰富的合作学习经验，具备一定合作与交流的能力。
三、教学目标
1.通过对古典问题的探究，经历用“逐步确定”策略解决问题的过程，体会该策略与求解二元一次方程组的联系，培养逻辑推理能力。
2.再次经历理解问题、拟订计划、实施计划、回顾反思、迁移应用的解决问题过程，发展实践能力。
3.能应用“逐步确定”策略解决一些简单的问题，发展应用意识和创新意识。
教学重点：经历理解问题、拟订计划、实施计划、回顾反思的探索过程，在过程中感悟“逐步确定”策略。
教学难点：对“逐步确定”策略的理解和应用。
四、教学过程设计
【第一环节】游戏引入
1.活动内容
“猜猜他是谁”
我们班有位同学，他头发短短的，个子不高也不矮，喜欢运动，热心班级事务，你知道他是谁吗？你是怎么确定的？
2.活动目的
以游戏引入激发学生的学习兴趣，学生通过对人物特点的判别，逐步确定老师描述的同学，在分析、判断、描述的过程中，初步体验“逐步确定”的过程，为后面的探究活动奠定基础。
3.注意事项
在具体操作中，教师可根据本班学生的特点进行描述，需注意每个特点应对应多位同学，避免使用特别突出的特征描述，否则学生容易根据一个特点确定描述对象，难以体会“逐步确定”的过程。此外，教师可让多名学生阐述确定描述对象的推理过程，因为这个逻辑推理的过程就是根据每个特点逐步确定的过程。
【第二环节（一）】问题解决
问题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问：物几何？（选自《孙子算经》）
你知道物品最少有多少个吗？
1.活动内容
理解问题
（1）你能用自己的语言叙述一下这个问题吗？
有若干个物品，若三个三个地数，则多2个；若五个五个地数，则多3个；若七个七个地数，则多2个；求物品的个数。
（2）所求物品的个数应同时满足哪些条件？
该物品的个数满足三个条件：①三个三个地数，多2个；②五个五个地数，多3个；③七个七个地数，多2个。
2.活动目的
通过对问题条件的梳理、加工，提高学生理解问题的能力，为寻找解决问题的策略奠定基础。
3.注意事项
在分析条件时，应培养学生用笔标出关键条件的习惯，避免学生在分析问题时漏掉某些关键条件。
【第二环节（二）】问题解决
1.活动内容
拟订计划
（1）解决这个问题你有什么困难？
如何用数学语言来表达条件？
将这些条件用数学语言来表达则是：①除以3余2；②除以5余3；③除以7余2。
（2）怎样逐步满足每个条件呢？写出你的方案，并与同伴进行交流。
方案一：先列举出满足条件①的整数，再列出满足条件②的整数，然后列出满足条件③的整数，最后求出它们的公共部分，公共部分最小的整数即为所求的物品个数。
方案二：先列举出满足条件①的整数，再在满足条件①的所有整数中找出满足条件②的整数，最后在满足条件①和②的所有整数中找出满足条件③的整数，其中最小的整数即为所求的物品个数。
方案三：因为这个数除以3的余数与除以7的余数都是2，所以这个数减2就一定既能被3整除，又能被7整除，所以这个数是21的倍数加2，同时满足除以5余3的最小的整数即为所求的物品个数。
2.活动目的
该环节通过小组合作探究的方式展开，学生充分分析条件，列举满足每一个条件的正整数，从而得到满足所有条件的公共解。学生经历“逐步确定”的探究过程，体会“逐步确定”与二元一次方程组求公共解的联系，培养解决问题的能力。
3.注意事项
对于学生可能存在的困难，教学设计中预设了一种回答，若课堂教学中学生提出了其他的困难，教师应帮助学生解决困难，帮助学生探寻解决问题的思路。在探究过程中，教师要鼓励学生用不同的方案解决此问题。本教学设计中预设了三种不同思路的方案，学生可能会交换条件的顺序，或是有其他的方案，只要言之有理都应给予肯定。
【第二环节（三）】问题解决
1.活动内容
实施计划
按照以上分析梳理解决问题的步骤是：
（1）找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数，需要符合三个条件：①除以3余2；②除以5余3；③除以7余2。
（2）逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。符合条件①的正整数有：
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…（A）
在（A）中，符合条件②的正整数有：8，23，38，…（B）
在（B）中，符合条件③的正整数有：23，…
因此，同时满足三个条件的最小正整数是23。所以，物品最少有23个。
2.活动目的
该环节将方案二具体落实为实施的步骤，帮助学生进一步理清思路，同时规范学生书写过程，提高学生的数学表达能力。
3.注意事项
作为范例，教学设计只选择了方案二，教学过程中教师可以在此范例后书写其他方案的实施步骤，进一步落实过程的书写。
【第二环节（四）】问题解决
1.活动内容
回顾反思
（1）通过解决上述问题，你对“逐步确定”的策略有怎样的认识？
（2）在以往的学习中，还有哪些问题的解决实际上采用了“逐步确定”的策略？
总结：采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程：根据题意找出问题的解需要满足的各个条件；按照某个顺序，逐步满足这些条件，最终确定问题的解。
在以往的学习中，以下问题可以采用“逐步确定”的策略来解决：
（1）用尺规作图作已知线段的垂直平分线；
（2）在三角形中找出一点，使之到三角形三个顶点（三边）的距离相等；
（3）两条直线的交点问题；
（4）求二元一次方程组的解的问题；
……
2.活动目的
通过梳理以上解决问题的步骤，得出“逐步确定”策略的内涵，培养学生归纳总结、提炼升华的能力。
通过对以往知识的回顾，判断学生是否能用本节课所学，将以往学习中可以用“逐步确定”策略解决的问题提取出来，帮助学生进一步理解“逐步确定”策略的内涵。
3.注意事项
此环节应让学生先自主归纳，再通过师生交流、生生交流，最后归纳出用“逐步确定”策略解决问题的一般步骤。对于学生在归纳过程中的亮点，教师应及时给予肯定，对于其中不准确之处，应通过追问引导学生不断完善。如果学生回答此问题存在困难，也可以先完成后面的迁移应用，待其对此策略的认识更深刻后再举例。
【第三环节】迁移应用
1.活动内容
（1）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB＝CD，AD＝10，BC＝30。梯形内有一点P，使得△APB≌△DPC，面积S△APD＝S△BPC。试描述点P的位置，并说明理由。
（2）若四位数能被15整除，则这个数最小是多少
（3）如图，已知线段a，b，h（h＜b），用尺规作锐角三角形ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的高AD＝h。
2.活动目的
应用“逐步确定”策略解决各类问题。本环节设定的问题不仅涉及代数问题，还涉及几何问题。通过例题练习，强化用此策略解决问题的过程，同时体会此方法作为解决问题的策略的好处。
3.注意事项
对于问题（1）中条件的顺序不同，对应的做法会有些许变化，但都应给予学生展示、表达的机会，并及时予以肯定。
对于问题（2），可以根据具体的教学进度进行选用。在具体操作中，学生可能会出现没有分析a，b是不超过9的自然数，仍然得出最后的解的情况，此时教师可以对学生忽略的条件进行补充。
对于问题（3），可以根据具体的教学进度进行选用。该问题存在两个难点，一是对条件AD＝h的转化，二是如何用尺规作与BC距离为h的平行线。针对难点一，可以引导学生思考点A满足什么条件。针对难点二，可以通过倍长h后作中垂线得到，也可以通过两点来确定这条平行线。当然，此处确定平行线的方法较多，教师可以给予学生足够的时间来思考其他解决方法。
【第四环节】课堂小结
1.活动内容
（1）经过本节课的学习，你有哪些收获？
（2）“逐步确定”的策略与解二元一次方程组有何联系？
①系统性：“逐步确定”的策略强调解决问题的系统性，这与解二元一次方程组时按步骤进行的方法相吻合。
②有序性：无论是制订策略还是解方程组，都需要按照一定的顺序进行。在解方程组时，需要先选择解法，然后按照解法的步骤逐步求解；同样，在制订策略时，也需要明确各个步骤的先后顺序。
③聚焦与排除：在“逐步确定”的策略中，经常需要聚焦关键要素并排除干扰因素。在解二元一次方程组时，也需要通过消元法等方法排除一个未知数，从而将问题简化为一元一次方程进行求解。
④验证与反馈：无论是制订策略还是解方程组，最后都需要进行验证和反馈。在解方程组时，需要验证求得的解是否满足原方程组；在制订策略时，也需要根据实施效果进行反馈和调整。
2.活动目的
通过总结，体会“逐步确定”的策略与解二元一次方程组之间的联系，感知无论是在解决复杂的实际问题还是在解决简单的一般性问题时，都需要遵循一定的逻辑和方法论原则来确保问题的有效解决。
3.注意事项
在此环节中，教师引导学生对本节课解决问题的过程进行回顾，对于学生的回答，教师要及时鼓励，并帮助学生完善。
【第五环节】作业布置
1.活动内容
（1）基础性作业：在以往的学习中，还有哪些问题可以采用“逐步确定”的策略来解决？请你描述一个问题，并写出解决方案。
（2）拓展性作业：设计一个用“逐步确定”策略解决问题的游戏规则。
（以上作业根据自己的情况选择其中一个完成。）
2.活动目的
本环节设计了两个不同层次的作业，考查学生对“逐步确定”策略的理解，培养学生的应用意识与创新意识，学生可以根据自己的情况选择一项完成。
3.注意事项
本题为开放性问题，对于学生提交的作业，可能存在语言不规范、逻辑不严密等问题，教师应及时给予帮助。对学生收集到的、比较典型的问题，教师可以在班级进行推广，并带领学生进行归纳提升；对设计得较好的游戏，教师可以带领学生在班级开展活动，一方面能给予学生足够的肯定和鼓励，另一方面也能再次培养学生的逻辑推理能力、解决问题能力，让学生体会数学与实际生活的紧密联系。
五、教学反思
1.形成解决问题的一般策略
本节课学生再次经历理解问题、拟订计划、实施计划、回顾反思这一解决问题的过程，形成解决问题的一般策略。在这个过程中，学生深入分析条件与问题，提出解决的方案并尝试实施，从而提高逻辑推理能力及实践能力，培养应用意识。
2.发展用数学思想解决实际问题的意识
在课堂小结中，教师通过有意识地引导学生思考“逐步确定”策略与求解二元一次方程组的联系，帮助学生理解“逐步确定”策略的本质是求满足所有条件的公共解。从而帮助学生了解数学的价值，体会数学与生活的联系，养成理论联系实际的习惯，发展实践能力。
3.培养学生的核心素养
在解决问题的过程中，教师引导学生将实际情境中的条件用数学语言进行表达，再从条件推导出满足条件的解，帮助学生用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界。同时，较为开放的作业设计能够启发学生用数学的眼光观察现实世界。最终本节课的落脚点回归到发展学生的核心素养上。<<<<<<<<第五章二元一R方程组
问题解决策略：逐步确定
课堂精要·梳理内容
采用“逐步确定”解决问题的一般过程：
1.根据题意找出问题的解需要满足的
2.按照某个顺序，逐步满足这些条件，最终确定
爱研练·发及能刀
基础巩固
1.若(4x-3y-5)°无意义，且3x十2y=8,则x=
，y
[ax-by=4,
(ax+by=2,
2.已知关于x,y的方程组
与
的解相同，则a十b的值为
2x十3y=4
4x-3y=2
3.173是个四位数。数学老师说：“我在这个中先后填入3个数字，所得到的3个四
位数，依次可被9,11,6整除。”则数学老师先后填人的3个数字的和是
4.《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十；
乙得甲太半而亦钱五十。问甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱。
如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50：如果乙得到甲所有钱的号，那么乙也共有
钱50。问甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x,y,则可列方程组
为
5.【数学应用】某中学七(1)班、七(2)班两班同学积极参加全民健身活动，为此两班同学到
同一商店买体育用品。已知七(1)班购买了3个篮球和8副羽毛球拍共用了442元，七
(2)班购买了同样的5个篮球和6副羽毛球拍共用了480元，则每个篮球和每副羽毛球拍
的价格各为多少元？
么 人年级上
强化提高
6.今有物不知其数，三三数之余一；五五数之余三。则物品最少有
个。
7.已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成6cm和15cm的两部分，则这个三
角形的腰和底边的长度分别为
8.a是一个三位数。它的百位上的数字是4，a十9能被7整除，a一7能被9整除，则a
是
9.某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为12元/辆，小型汽车的停车费为5元/辆。
现在停车场内停有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费390元，中、小型汽车各有多
少辆？
10.李大伯家养鸡、鸭、鹅三种家禽，所养的鸡和鸭的只数和比鹅的只数多19，养鸭和鹅共
20只，养鸡和鹅共23只，请你算一算李大伯家养鸡、鸭、鹅各多少只。
”
课堂延伸·提升素养
11.【数学应用】为进一步打造宜居城市，某区拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷
泉，要求音乐喷泉P到广场的两个人口A,B的距离相等，且到广场管理处C的距离等
于A和B之间的距离的一半，A,B,C的位置如图所示。请利用尺规作出音乐喷泉P的
位置。并说明理由。
B
(第11题)
一2(共13张PPT)
第五章 二元一次方程组☆问题解决策略：逐步确定
义务教育教科书 数学 八年级上册
游戏引入
“猜猜他是谁”
我们班有位同学，他头发短短的，个子不高也不矮，喜欢运动，热心班级事务，你知道他是谁吗？你是怎么确定的？
问题解决
今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问：物几何？（选自《孙子算经》）
你知道物品最少有多少个吗？
问题
问题解决
1.你能用自己的语言叙述一下这个问题吗？
有若干个物品，若三个三个地数，则多2个；若五个五个地数，则多3个；若七个七个地数，则多2个；求物品的个数。
2.所求物品的个数应同时满足哪些条件？
该物品的个数满足三个条件：(1)三个三个地数，多2个；(2)五个五个地数，多3个；(3)七个七个地数，多2个。
理解问题
问题解决
1.解决这个问题你有什么困难？
2.怎样逐步满足每个条件呢？写出你的方案，并与同伴进行交流。
语言表达：（1）除以3余2；（2）除以5余3；（3）除以7余2。
方案 第一步：列举出满足条件（1）的整数；
第二步：在满足条件（1）的所有整数中找出满足条件（2）的整数；
第三步：在满足条件（1）和（2）的所有整数中找出满足条件（3）的整数，其中最小的数即为所求的物品个数。
拟订计划
（1）找出物品的个数应同时满足的条件。物品的个数为正整数，需要符合三个条件：①除以3余2；②除以5余3；③除以7余2。
（2）逐步确定满足以上三个条件的最小正整数。符合条件①的正整数有：
2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…（A）
在（A）中，符合条件②的正整数有：8，23，38，… （B）
在（B）中，符合条件③的正整数有：23，…
因此，同时满足三个条件的最小正整数是23。所以，物品最少有23个。
问题解决
请按照以下格式，写出其他方案的实施步骤。
实施计划
问题解决
1.解决上述问题经历了哪些步骤
第一步：整理需要满足的条件，并用数学语言进行表达；
第二步：逐步满足这些条件，缩小范围；
第三步：确定满足条件的解，问题得以解决。
采用“逐步确定”策略解决问题的一般过程：根据题意找出问题的解需要满足的各个条件；按照某个顺序，逐步满足这些条件，最终确定问题的解。
3.在以往的学习中，还有哪些问题的解决实际上采用了“逐步确定”的策略？
回顾反思
2.通过解决上述问题，你对“逐步确定”的策略有怎样的认识
E
F
l
1.如图，在梯形ABCD中，已知 AD∥BC，AB＝CD，AD＝10，BC＝30。梯形内有一点 P，使得 △APB≌△DPC，面积 S△APD＝S△BPC。试描述点 P 的位置，并说明理由。
解：点 P 满足的条件为：
①点 P 在 AD（或者BC）的垂直平分线上；
②点 P 在梯形的内部；
③△APD 的高是△BPC 的高的 3 倍。
迁移应用
P
2.若四位数能被15整除，则这个数最小是多少
解：该四位数要满足的条件为：
①能被3整除，即9，8，a，b的和是3的倍数，且a，b为不超过9的自然数。
②能被5整除，即b为0或者5。
迁移应用
符合条件①的关系式有：a＋b＝1；a＋b＝4；a＋b＝7；a＋b＝10；
a＋b＝13；a＋b＝16。（A）
在（A）中，符合条件②的a，b的值有：a＝1，b＝0；a＝4，b＝0；a＝7，b＝0；a＝2，b＝5；a＝5，b＝5；a＝8，b＝5。
因此，满足条件的最小数是9 180。所以，这个数最小是9 180。
3.如图，已知线段 a，b，h（h＜b），用尺规作锐角三角形 ABC，使BC=a，AC=b，BC 边上的高 AD=h。
解：锐角三角形 ABC 满足的条件为：
①BC＝a；
②BC边上的高 AD＝h，即点A到BC的距离为h；
③AC＝b，即点 A 到点 C 的距离为 b。
迁移应用
课堂小结
1.经过本节课的学习，你有哪些收获？
2.“逐步确定”的策略与解二元一次方程组有何联系？
逐步确定的策略与解二元一次方程组在系统性、有序性等方面存在方法的一致性。
五、作业布置
1.基础性作业：
在以往的学习中，还有哪些问题可以采用“逐步确定”的策略来解决？请你描述一个问题，并写出解决方案。
2.拓展性作业：
设计一个用“逐步确定”策略解决问题的游戏规则。
（作业要求：以上作业根据自己的情况选择其中一个完成。）
谢谢
