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第五章 二元一次方程组
回顾与思考（第1课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
1.举出生活中利用二元一次方程组解决问题的两个例子。
2.在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？你积累了哪些经验？
3.解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明解二元一次方程组的过程。解三元一次方程组呢？
4.举例说明二元一次方程与一次函数有什么关系。
5.梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
前置作业
知识建构
交流本章的内容框架图
例1（1）下列各式中二元一次方程的个数是 。
典型例题
知识建构
1
① ；②2x－3y=5；③x+xy=2；④x+y=z－1； ⑤ 。
解：（1）①不是整式方程，故不是二元一次方程；
②是二元一次方程；
③是二元二次方程；
④含有3个未知数，不是二元一次方程；
⑤是一元一次方程。
所以，二元一次方程只有一个，故答案是1。
解得 m=－3, n＝2。
解：（2）因为 是关于x，y的二元一次方程，
（2）若 是二元一次方程，则m=________，n=________。
知识建构
－3
2
例2（1）若 是方程 的一个解，则m＝ 。
（2）已知 是方程组 的解，则a＝ ，
b＝ 。
4
解：（2）由题意得
解得
知识建构
根据题意，得 ，且 y 是整数。
所以y=1，2，3。
解：（3）①没有条件限制时，方程 x+2y=7 有无数个有理数解。
②移项得 x＝7－2y，
故正整数解有：
所以，共有3个正整数解。
（3）方程x＋2y＝7有 个实数解， 个正整数解。
3
无数
知识建构
例3 解方程组
（1）
根据y的系数特征，选择加减消元法。
消元法的目的是将二元一次方程组转化为一元一次方程。
解法提炼
解法回顾
解：（1）
①＋②，得9x=1.8，解得x=0.2。
将x=0.2代入①，得0.6＋4y=-3.4，
解得y=-1。
原方程组的解是
例3 解方程组
（2）
还有什么求解方法？
先求解m，n，再求解x，y，这是利用整体思想解题的方法。
请用这个方法，求出这个方程组的解。
解法提炼
解：设m=x＋y， n=x－y，
则原方程组变为
解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？
方法建构
消元思想
代入消元法
加减消元法
解二元一次方程组
解法提炼
如果关于x，y的方程组 的解满足 ，求 k 的值。
根据x，y的系数特征，利用整体思想解决问题。
变式拓展
解：
①＋②，得3x＋y＝15－k，
即 5＝15－k，
可得 k＝10。
所以，k的值是10。
解法提炼
教科书复习题 知识技能第1（1）（5）题，数学理解第4，6，7题。
自我检测
1.在本节课的学习中，哪些知识得到了巩固？
2.你对哪些知识有了新的认识？
3.本章蕴含了哪些数学思想方法？
课堂小结
二（三）元一次方程组的解
二（三）元一次方程组
二元一次方程的解
二元一次方程
概念
解法
代入消元法
加减消元法
化归思想
二（三）元一次方程组
与一次函数的关系
丰富的问题情境
图象法解方程组
应用
1.基础性作业：
教科书复习题第1（2）（3）（4），2，3，4，8题。
2.发展性作业：
请同学们课后收集一些实际问题（如本地的气候、节能、经济等）的有关数据，经过分析后编出可以利用二元一次方程组解决的问题，正确地表述问题，并呈现解决问题的过程。
布置作业
谢谢第五章 二元一次方程组
回顾与反思（第1课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”回顾与思考的第1课时。本章主要学习二元一次方程组及其解法，并学习如何利用二元一次方程组解决一些实际问题，体会方程（组）是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型。本章涉及的数学思想方法主要包括两个方面：一是解方程组的过程中蕴含的消元、化归思想，二是将实际问题抽象为方程组的过程中蕴含的符号化、模型化思想。
本节作为章末复习课，旨在帮助学生梳理本章的知识体系，进一步让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使其深刻地认识到方程（组）是刻画现实世界中等量关系的有效数学模型，感悟方程（组）思想，发展学生的抽象能力、运算能力、模型观念以及应用数学的能力。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已经学习了二元一次方程（组）及其相关概念，能够运用代入消元法、加减消元法求解二元一次方程组以及三元一次方程组，具备了用二元一次方程组分析与解决实际问题的基本技能。
学生活动经验基础：在根据问题中的等量关系建立方程（组）模型解决实际问题的过程中，学生感受了方程（组）模型的重要性，积累了运用方程（组）解决实际问题的数学活动经验，也体会了二元一次方程（组）在实际问题中的应用价值，并培养了运用数学知识解决实际问题的能力。同时，在前面的数学学习中，学生经历了多次合作学习和回顾与思考的过程，具有了一定的复习与回顾旧知的经验。
三、教学目标
1.熟知二元一次方程组全章的知识结构，理解二元一次方程（组）的相关概念，能熟练掌握二元及三元一次方程组的解法，并能利用二元及三元一次方程组解决实际问题，培养化归思想。
2.通过知识结构图体会数学问题从产生到解决的过程以及数学知识体系建立的过程，增强数学的应用意识，提高学习数学的热情。
教学重点：熟知二元一次方程组全章的知识结构，能用二元一次方程组解决实际问题。
教学难点：综合应用二元一次方程组解决实际问题。
四、教学过程设计
【第一环节】前置作业
1.活动内容
要求学生课前回答“回顾与思考”中的问题，自行梳理本章的知识结构，留待课上交流。
（1）举出生活中利用二元一次方程组解决问题的两个例子。
（2）在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？你积累了哪些经验？
（3）解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明解二元一次方程组的过程。解三元一次方程组呢？
（4）举例说明二元一次方程与一次函数有什么关系。
（5）梳理本章内容，用适当的方式呈现全章知识结构，并与同伴进行交流。
2.活动目的
鼓励学生独立思考，回顾所学的内容，尝试回答教材“回顾与思考”中提出的问题，然后独立构建本章的内容框架图，深化对知识的结构化理解，提升学习能力。
3.注意事项
要求学生梳理本章内容，用适当的方式呈现，课上交流。参考框图如下：
【第二环节】知识建构
1.活动内容
学生交流本章的内容框架图。
指明本课时主要涉及二元一次方程组的概念、解法及与一次函数之间的关系、三元一次方程组的概念及解法的内容复习，下一课时内容主要涉及二元一次方程组的应用。
例1（1）下列各式中二元一次方程的个数是 。
①+y=2；②2x－3y=5；③x+xy=2；④x+y=z－1；⑤=。
（2）若是二元一次方程，则= ，= 。
例2（1）若是方程的一个解，则= 。
（2）已知是方程组的解，则= ，= 。
（3）方程x+2y=7有 个有理数解， 个正整数解。
2.活动目的
在课堂上分享与交流内容框图，总览本章内容。点明本课时的复习内容。通过例题回顾二元一次方程组相关的概念，进一步帮助学生巩固对概念的理解。通过对一组概念题的方法总结，引导学生归纳此类概念题目的做法，从而达到由会做一道题到会做一类题的效果。
3.注意事项
知识梳理环节学生整体掌握较好，通过例1、例2的练习，能强化学生对方程组相关概念的理解。需重点关注的是，例2（3）中关于二元一次方程的正整数解的问题，学生的掌握可能不熟练，教师讲解时需重点关注。
【第三环节】解法提炼
1.活动内容
（1）解法回顾
例3 解方程组
① ②
（2）方法建构
解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？
（3）变式拓展
如果关于x，y的方程组的解满足，求k的值。
2.活动目的
通过两个不同类型的方程组让学生回顾解二元一次方程组的基本方法。呈现学生在解方程过程中的易错点。学生通过自主总结其中的问题，熟练掌握求解二元一次方程组的方法。
3.注意事项
引导学生提炼解二元一次方程组的关键步骤、易错点及基本方法，提高学生解二元一次方程组的能力。
【第四环节】自我检测
1.活动内容
教科书复习题知识技能第1题（1）（5）；数学理解第4，6，7题。
2.活动目的
复习题 第1题（1）（5），考查学生对二元一次方程组、三元一次方程组解法的掌握情况。
复习题 第4题，考查学生对二元一次方程组与一次函数之间关系的理解情况。
复习题 第6题 考查学生对二元一次方程组解的理解情况。
复习题 第7题 要求学生自主选择方法解方程组，并通过对方法的比较，感受方法的多样性，发展思维的灵活性。
3.注意事项
复习题第6题为开放题，答案不唯一。复习题第7题解法不唯一，既可以先去分母再消元，又可以先换元再消元。
【第五环节】课堂小结
1.活动内容
（1）回顾反思
①在本节课的学习中，哪些知识得到了巩固？
②你对哪些知识有了新的认识？
③本章蕴含了哪些数学思想方法？
（2）本课时复习内容框架如下：
2.活动目的
围绕3个问题，师生共同总结本节课的收获，积极思考建立整章的知识结构，梳理整章的知识脉络。
3.注意事项
鼓励学生畅所欲言表达自己的切身感受与实际收获，同时师生共同梳理知识结构图。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
（1）基础性作业：教科书复习题 第1（2）（3）（4），2，3，4，8题。
（2）发展性作业：请同学们课后收集一些实际问题（如本地的气候、节能、经济等）的有关数据，经过分析后编出可以利用二元一次方程组解决的问题，正确表述问题，并呈现解决问题的过程。
2.活动目的
巩固本章所学内容。
3.注意事项
复习题第8题难度较大，面对基础较为薄弱的学生时，可以通过基础性作业进行练习。
五、教学反思
1.本节复习课首先通过真实情境，让学生将实际问题中的数量关系符号化；引导学生对本章知识点进行梳理，通过对典型例题的探究，掌握常用解题方法，加深对主要思想方法的理解，构建本章知识体系。
2.在教学过程中，教师应多关注学生是否认真思考，是否积极参与相互交流与合作，以及学生对问题的理解情况；在此基础上，引导学生通过反思和交流构建合理的知识体系。同时，结合典型例题强化学生运用二元一次方程组模型解决实际问题的能力，进而提升其用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界的能力。
