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第五章 二元一次方程组
回顾与思考（第2课时）
义务教育教科书 数学 八年级上册
复习引入
我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数物价各几何？大意是：若干人共同购买物品，每人出8元时多出3元，每人出7元时差4元，求人数和物品价格。
问题1：用二元一次方程组解决实际问题，通常需要经历哪些步骤？
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
①审；②找；③设；④列；⑤解；⑥验；⑦答。
复习引入
用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
①审；②找；③设；④列；⑤解；⑥验；⑦答。
我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数物价各几何？大意是：若干人共同购买物品，每人出8元时多出3元，每人出7元时差4元，求人数和物品价格。
解：设有x人，该物品价值y元。
解得
答：有7人，该物品价值53元。
根据题意，得
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
问题1：要把这块土地分为两个小长方形，可以如何分？
问题2：如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？
总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关。
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
①可假设将长方形土地的长划分为x m，y m；
②可假设甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a。
问题3：
①要表示种植面积需假设哪些量？
②要表示单位面积产量需假设哪些量？
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
问题4：若假设将长方形土地的长划分为xm，ym，假设甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a。那么根据题意能找到哪些相等关系，并列出方程？
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
解：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE，设AE，BE 的长分别为xm，ym，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a。根据题意，得
所以，过长方形土地长边上距离一端120 m处，作这条长边的垂线，把这块土地分成两个小长方形。较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物。
解这个方程组， 得
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
问题5：若按如图所示的方式划分土地，请你算一算，如何划分？
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
解：甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形DEFC和ABFE，设CF，BF的长分别为xm，ym，甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a。根据题意，得
解这个方程组，得
所以，过长方形土地短边上距离一端60m处，作这条短边的垂线，把这块土地分成两个小长方形。较大一块土地种甲种作物，较小一块土地种乙种作物。
探索应用
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
解：设AE＝a m，BF＝b m，
则ED＝(200－a) m，FC＝(200－b) m。
当梯形ABFE区域种植甲种作物，梯形EFCD区域种植乙种作物时，根据题意得
，
解得 a+b＝240。
即AE+BF＝240 m时，甲、乙两种作物的总产量之比是3:4 。
问题6：如果把原题中“分为两个小长方形”改为“分割成如图所示的两个梯形”，其他条件不变。这样划分这块土地，还能使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4吗？
探索应用
解法延伸
平面直角坐标系中，两条直线的交点坐标就是对应方程组的解。
问题1：若直线l1与l2交于点P，则点P的坐标是否是方程组 的解 ？
方程组的解
“数”
函数的交点坐标“形”
例2 在如图所示的平面直角坐标系中分别画出方程y＝9x－4的图象l1与方程y＝8x＋5的图象l2 。
两条直线重合→方程组①有无数组解
问题2：借助图象法求解下列方程组。
① ②
两条直线平行→方程组②无解
解法延伸
问题3：直线l1 ：y1=k1x+b1与直线l2 ：y2=k2x+b2 (k1，b1，k2，b2是常数且k1，k2 ≠ 0) 的位置关系与系数的关系。
（1）直线l1 与直线l2之间可能有怎样的位置关系？
（2）如果二元一次方程组 (a1，a2，b1，b2均不为0) 有唯一解，系数应满足怎样的条件？
解法延伸
（1）直线l1与直线l2可能平行，可能相交，可能重合；
（2） 变形得
①－② 得(b1a2－b2a1)y＝c1a2－c2a1。
由于二元一次方程组 (a1，a2，b1，b2均不为0 ) 有唯一解，
解法延伸
问题3：直线l1 ：y1=k1x+b1与直线l2 ：y2=k2x+b2 (k1，b1，k2，b2是常数且k1，k2 ≠ 0) 的位置关系与系数的关系。
变式：
（1）已知关于x，y的二元一次方程组 的解是
则一次函数 和 的图象交点坐标为_________。
（2）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）。
则所解的二元一次方程组是______________。
(－4，2)
解法延伸
拓展应用
例3 （1）用两种方法求二元一次方程2x＋3y＝12的正整数解；
解：法一 由2x＋3y＝12得 。
因为x，y为正整数，所以 则有0＜x＜6。
又 为正整数，则 为正整数，所以x为3的倍数。
又因为0＜x＜6 ，可得x＝3，代入，得 。
所以，2x＋3y＝12的正整数解为
代数法
优点：准确
法二 如图，
观察可知，2x＋3y＝12的正整数解为
图象法
优点：直观
例3 （1）用两种方法求二元一次方程2x＋3y＝12的正整数解；
拓展应用
例3 （2）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元，钢笔的单价为5元。请问有几种购买方案？
解：设购买了笔记本x本，钢笔y支。根据题意，得3x＋5y＝35。
代数法
优点：准确
图象法
优点：直观
由（1）中的方法得出x=5，y=4或x=10，y=1，
所以，有两种购买方案：购买笔记本5本，钢笔4支；购买笔记本10本，钢笔1支。
拓展应用
解：两式相加消去z，得5x＋2y＝22，
由上题方法可得 或
将 代入方程2x＋y＋z＝10，得z＝0。（不合题意舍去）
将 代入方程2x＋y＋z＝10，得z＝1。
原方程组的解为
例3 （3）试求方程组 的正整数解。
拓展应用
总结归纳，形成联结
1. 解决现实问题的思路概括如下：
实际问题
实际问题
的答案
数学问题
[方程（组）]
数学问题的解
设未知数、找等量关系、列方程（组）
解方程（组）
双检验
2.解决现实问题通常按“审、找、设、列、解、验、答”的基本步骤展开。
3.二元一次方程组与一次函数的关系。
方程组的解
一次函数图象
方程的解
点坐标
两个一次
函数图象
交点坐标
二元一次
方程组
二元一次方程
总结归纳，形成联结
二元一次方程组的定义
丰富的问题情境
二元一次方程的定义
二元一次方程（组）的认识
二元一次方程组
三元一次方程组
二元一次方程（组）的求解
二元一次方程（组）的应用
二元一次方程的解
加减消元法
图象法
代入消元法
简单问题中的数量关系
复杂问题中的数量关系
4.本章的思维导图。
总结归纳，形成联结
布置作业
1.基础性作业
教科书复习题第5，7，16，17，18题。
2.发展性作业
通过本章的学习，你对二元一次方程组及其应用有哪些感悟？请以此为主题写一篇小短文。
谢谢第五章 二元一次方程组
回顾与思考（第2课时）
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第五章“二元一次方程组”中的“回顾与思考”。本章主要学习二元一次方程组及其解法，通过运用二元一次方程组解决实际问题，体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效模型。主要数学思想方法包括：一是解方程组的过程中蕴含的消元、化归思想，它们在解方程组中发挥着核心指导作用；二是从实际问题抽象出方程组的过程中蕴含的符号化、模型化思想。
本节课是“回顾与思考”的第2课时，是在学生复习并掌握了二元一次方程组解法的基础上，进一步在实际情境和几何背景下，运用二元一次方程组解决具体问题，使学生加深对二元一次方程组与一次函数之间关系的理解，为后续函数和方程（组）的学习奠定基础。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：学生已经学习了二元一次方程（组）及其相关概念，掌握了用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组以及三元一次方程组，不仅具备了用二元一次方程组解决实际问题的基本技能，还在此基础上掌握了用方程（组）模型解决实际问题的一般化方法。
学生活动经验基础：在二元一次方程组的学习中，学生经历了“感知—认识—运用”的完整过程。在此过程中，他们不仅能够根据问题中的等量关系建立方程（组）模型解决实际问题，深刻感受到方程（组）模型的重要性，积累了用方程（组）解决实际问题所必需的数学活动经验，还进一步体会到二元一次方程（组）在实际问题中的应用价值，提高了运用数学知识解决实际问题的能力。
三、教学目标
1.能在现实问题或几何背景中，找到等量关系，并把它们转化成二元一次方程组；能运用二元一次方程组解决实际问题，提高抽象能力与计算能力，培养模型观念。
2.体会二元一次方程组与一次函数之间的关系。
3.能够掌握各知识点之间的联系，进一步感受方程（组）模型的重要性，加深对方程思想的理解。
教学重点：熟知“二元一次方程组”全章的知识结构，能运用二元一次方程组与一次函数之间的关系解决相关问题。
教学难点：综合应用二元一次方程组解决问题。
四、教学过程设计
【第一环节】复习引入
1.活动内容
我国古代数学名著《九章算术》中记载了一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数物价各几何？大意是：若干人共同购买物品，每人出8元时多出3元，每人出7元时差4元，求人数和物品价格。
问题：用二元一次方程组解决实际问题，通常需要经历哪些步骤？
2.活动目的
以《九章算术》中记载的估算题为开篇，在解决该问题的同时，提出问题1：用二元一次方程组解决实际问题，通常需要经历哪些步骤？为本课时的复习拉开帷幕。
3.注意事项
学生能通过直接设未知数，依据问题中的两个等量关系列出对应的两个二元一次方程，组成方程组，并将二元一次方程组转化成一元一次方程解决问题。自然引入课题，引导学生回顾用二元一次方程组解决实际问题的步骤。
（1）审题：弄清题意。
（2）找等量关系：找出题目中的等量关系。
（3）设未知数：用字母表示题目中的未知数。
（4）列方程组：根据两个等量关系列出方程组。
（5）解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值。
（6）检验：检验所求的解是否符合实际意义。
（7）作答。
【第二环节】探索应用
1.活动内容
例1 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量之比是1:2，现要在一块长200 m、宽100 m的长方形土地上种植这两种作物，怎样将这块土地分为两个小长方形，能使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4？
问题1：要把这块土地分为两块小长方形，可以如何分？
问题2：如果是按如图所示方案来划分，两种作物的总产量大小与哪些量有关系？（总产量的大小与种植面积、单位面积的产量有关）。
问题3：①要表示种植面积需假设哪些量？②要表示单位面积产量需假设哪些量？
预设：①可假设将长方形土地的长划分为x m，y m；②可假设甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a。
问题4：若假设将长方形土地的长划分为x m，y m，假设甲种作物每平方米产量为a，则乙种作物每平方米产量为2a。那么根据题意能找到哪些相等关系，并列出方程？
问题5：若按如图所示的方式划分土地，请你算一算，应如何划分？
问题6：如果把原题中“分为两个小长方形”改为“分割成如图所示两个梯形”，其他条件不变。这样划分这块土地，还能使甲、乙两种作物的总产量之比是3∶4吗？
2.活动目的
通过问题串的设置，先引导学生厘清问题中的数量关系，形成建立方程组的清晰策略，再帮助其发展运用二元一次方程组解决问题的主动意识；同时，在探究过程中渗透分类讨论的数学思想方法，引导学生体会多角度思考问题的重要性，最终切实提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.注意事项
以生活中的实际问题为背景，学生能在已有知识经验的基础上，自主开展对图形基本分割的探索。从长方形逐步过渡到梯形，在持续运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，学生的抽象能力、运算能力、模型观念等核心素养得到了有效发展。
【第三环节】解法延伸
1.活动内容
例2 在如图所示的平面直角坐标系中分别画出方程y＝9x－4的图象l1与方程y＝8x＋5的图象l2。
问题1：若直线与交于点，点的坐标是否是方程组的解？
问题2：借助图象法求解下列方程组。
① ②
问题3：直线与直线，，，是常数且，的位置关系与系数的关系。
（1）直线与直线之间可能有怎样的位置关系？
（2）如果二元一次方程组（a1，，，均不为0）有唯一解，系数应满足怎样的条件？
变式：（1）已知关于x，y的二元一次方程组的解是则一次函数和的图象交点坐标为 。
用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图）。则所解的二元一次方程组是 。
2.活动目的
通过例2能从“形”的角度理解二元一次方程及二元一次方程组的解与一次函数的关系。在解决具体问题的过程中，建立起二元一次方程与一次函数图象之间的对应关系，引导学生感知数形结合的思想方法，发展几何直观。
3.注意事项
判断二元一次方程组解的情况，既可以根据代数法计算分析，也可以根据函数图象直观观察。两种方法的核心关联是：方程组的解与对应两条直线交点坐标之间的关系。从二元一次方程组“有解→无数解→无解”的代数特征，逐步过渡到其对应函数图象“有交点→重合→平行”的位置关系，形成“数”与“形”的对应关系。在两种方法的对应与优选过程中，感知从特殊到一般、转化与化归等数学思想方法，实现抽象能力、推理能力、模型观念的有效发展。
【第四环节】拓展应用
1.活动内容
例3 （1）用两种方法求二元一次方程的正整数解；
（2）九年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元，钢笔的单价为5元。请问有几种购买方案？
（3）试求方程组的正整数解。
2.活动目的
例3聚焦二元一次方程组特殊解的求解问题，通过梯度化的三个问题层层深入，不断转化：先讲求正整数解的基本方法，再延伸至实际应用场景，最后进阶到三元一次方程组的正整数解。二元一次方程组特殊解的求解思路为将二元一次方程转化为对应的一次函数，通过函数求解正整数解。作为例2的良好延续，例3既能让学生体会转化的数学思想方法，又能培养其运算能力与推理能力。
3.注意事项
处理问题（1）时，需引导学生从“数”与“形”两方面突破，进一步感知一次函数与二元一次方程的内在关联；处理问题（2）时，需重点引导学生根据题意列出二元一次方程；处理问题（3）时，需指导学生通过消元将方程组转化为单一方程，进而解决问题。
【第五环节】总结归纳，形成联结
1.活动内容
交流小结本课的知识结构与方法体系。
（1）解决现实问题的思路概括如下：
（2）解决现实问题通常按“审、找、设、列、解、验、答”的基本步骤展开。
（3）二元一次方程组与一次函数的关系：
（4）本章的思维导图：
2.活动目的
建立整章的知识结构，厘清整章的知识脉络及解决问题的常用方法。
3.注意事项
通过总结环节，引导学生理解建构知识结构的方法，养成主动梳理知识的定义、易错点，并思考知识间关系的习惯；同时帮助学生将新的知识纳入已有的知识体系，进一步丰富学生的认知结构，为运用知识解决综合问题奠定基础。
【第六环节】布置作业
1.活动内容
（1）基础性作业：教科书复习题第5，7，16，17，18题。
（2）发展性作业：通过本章的学习，你对二元一次方程组及其应用有哪些感悟？请以此为主题写一篇小短文。
2.活动目的
从思想方法层面理解本章内容和涉及的思想方法。
3.注意事项
针对基础薄弱的学生，可以从基础性作业中删去第18题，补做第14题。
五、教学反思
1.尊重教材，挖掘教材，延伸教材
本节为“回顾与思考”第2课时，教学以教材为基础，先立足教材帮助学生回顾本章核心知识，再在此基础上深入挖掘知识，设计变式问题实现内容延伸。在教学过程中，通过持续的启发引导与交流合作，让学生逐步形成对本章核心知识点的清晰认识；同时鼓励学生自主建构本章知识结构体系，最终实现对本章内容的整体把握。
2.关注基础知识、基本技能的应用及基本数学思想方法的渗透
本节内容旨在通过丰富的问题情境加深对二元一次方程组的理解和应用。在解决实际问题的过程中，积累基本活动经验。此外，解二元一次方程组的核心方法——代入消元法和加减消元法，其本质均深刻体现了转化的数学思想。本节课在巩固二元一次方程组两种解法的基础上，引导学生再次感知用图象法解方程，体会数形结合思想的应用价值。
