第一章 勾股定理
☆问题解决策略：反思
一、学习任务分析
本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第一章“勾股定理”问题解决专题。教学任务是以“运用勾股定理解决简单的实际问题——蚂蚁怎么走最近”为载体，经历“问题—理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思”的解题过程，感悟问题解决策略：反思。教材先给出一个学生感兴趣的问题“蚂蚁怎么走最近”，让学生通过给定的条件解决问题，在问题得到初步解决后，组织学生围绕以下几个方面开展解题后的反思：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样化的解决问题方法；思考解决方法的本质，促进方法的运用；改变问题的条件，拓展更多问题。通过引导学生对解决问题的过程、方法和变式的反思，促进学生形成问题反思这一新的问题解决策略。本节课中的情境“蚂蚁怎么走最近”对学生而言具有一定的难度，需要学生相互间开展合作探究，并在交流展示中培养学生的合作交流能力。
二、学情分析
学生知识技能基础：学生在小学和七年级已经学习了有理数、整数、方程、平行线、相交线和三角形等内容，为解决问题提供了知识保障。
学生活动经验基础：学生在学习七年级（上册）第一章时，对生活中的立体图形已经有了一定的认识，经历了正方体、圆柱等空间图形的展开与折叠的过程。在本章前面几节课中，学生又经历了探索勾股定理的过程，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题，有了一定的问题解决经验。同时，在小学和七年级的数学学习中，学生已学习并积累了一些问题解决策略，这些都是本节课学习所需的活动经验基础。
三、教学目标
1.经历“问题—理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思”的过程，提高分析问题和解决问题的能力，并养成良好的解题习惯，使问题解决的过程程序化。
2.在解决问题的过程中，体会反思策略。
教学重点：反思策略的感悟与习得。
教学难点：在不同问题中反思策略的使用。
四、教学过程设计
【第一环节】课前准备，制作学具
1.活动内容
制作学具：用矩形纸片做成高为12 cm、底面圆的周长为18 cm的圆柱。
2.活动目的
在学具的制作过程中，再次经历圆柱的展开与折叠的过程，发展空间观念；在课堂学习中，学生用自己制作的学具探索学习任务，更能激发学习的热情。
【第二环节】情境引入，提出问题
1.活动内容
如图，一个圆柱的高为12 cm、底面圆的周长为18 cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
理解问题
（1）在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？
（2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。
2.活动目的
创设拟人化的问题情况引入新课，激发学生的探究热情。通过问题串的设计，帮助学生理解问题，在回答问题（2）时，学生通过实际操作，自然想要将空间（曲）问题转化为平面（平）问题。
3.注意事项
对问题（2），要明确是沿侧面爬行，而不是沿表面爬行。学生若回答不了，也可以问：是有限条吗？如果学生对画最短路线有困难，可以提供细绳辅助，一端固定点A，另一端沿侧面拉动，使它与点B重合。
【第三环节】合作探究，解决问题
1.学习活动
拟订计划
（1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？
追问：之前遇到的都是哪些问题？如何解决？解决问题的根据是什么？这个问题与之前不同在哪里？你能利用之前求解最短路线问题的方法解决新问题吗？你打算怎么做？
（2）如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？
实施计划
（1）如图，将圆柱剪开，确定侧面展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。
（2）在图中标出点B的位置。
（3）在图中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度。
2.活动目的
通过合作探究，学生经历在曲面上画最短路线，再在平面上确定最短路线，最后回到曲面上感受最短路线（曲—平—曲）的过程，找到解决“蚂蚁怎么走最近”的方法。这个过程将曲面上的最短距离问题转化为平面上的最短距离问题，并利用勾股定理求解。在活动中体验数学建模的思维方法，增强与他人合作交流的能力，提升探究能力、操作能力、分析能力，进一步发展空间观念。
3.注意事项
学生分为4人制的活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线。组内充分讨论后，教师汇总各小组的方案，并在全班范围内讨论每种方案的路线的计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。让学生发现：将圆柱沿母线剪开后展开得到矩形，“蚂蚁怎么走最近”的问题即转化为研究矩形上两点之间的最短距离问题。这一过程引导学生体会利用数学方法解决实际问题的策略。
【第四环节】解题反思，感受策略
1.活动内容
回顾反思
解题反思一：过程与条件反思。
（1）在拟定解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。
（2）这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如，改变圆柱的形状，改变点A、点B的位置，改为沿着圆柱表面爬行......这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流。
学生在交流中可能会提出以下问题：
例1 如图，圆柱的高为13 cm，底面周长为10 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到与点A相对、离上底面1 cm的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
例2 不改变情境中圆柱的形状和A，B两点位置，将问题中沿圆柱“侧面”爬行改为沿圆柱“表面”爬行，最短路程是否发生改变？
在此基础上引导学生思考：改变圆柱的形状呢？一定是沿侧面最短吗？你能举一个沿侧面不是最短的例子吗？
解题反思二：解决问题方法的应用反思。
（3）解决这个问题的经验，还可以应用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？
（4）生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。
学生在交流中可能会提出以下问题：
例3 如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别是8 cm，8 cm，12 cm，一只蚂蚁想从盒底的点A处沿盒的外表面爬到盒顶的点B处，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁爬行的最短路程是多少？
2.活动目的
数学家乔治·波利亚说过：“数学问题的解决仅仅是一半，更重要的是解题之后的反思。”而大多数学生在得到问题的解答，并且干净利落地写下论证后，就会合上书本，去做别的事情。这种做法导致他们错失了解题过程中一个重要而又有教益的环节——反思。因此，可通过设计问题串，带领学生进行解题后的回顾反思，从而提升学生的思维深度，加深对知识的理解，提升批判思维能力，以及严谨的逻辑思维品质，同时也为学生今后独立进行问题解决提供反思方向。
3.注意事项
（1）教师可结合不同的问题，设计不同的“回顾反思”问题。通常可以从解题过程、解题方法、结论、问题、条件、解题方法的迁移、数学模型的生活化等方面进行反思。
（2）“回顾反思”中的问题（2）让学生思考影响结果的因素，尝试通过改变各因素的具体特征产生更多新的问题，发展学生解决问题后进行反思的能力。
（3）一共提供了三个题目，可根据实际教学情况选择使用，不一定都用。
【第五环节】课堂小结、强化策略
1.活动内容
对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。
引导学生提炼解决问题之后的反思策略与途径：反思解决问题的过程，强化解决问题的经验；比较解决问题的方法，形成多样的解决问题的方法；思考方法的本质，促进方法的运用；改变问题的条件，研究更多的问题。
2.活动目的
鼓励学生结合本节课的学习，交流自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励），进一步内化问题解决的策略：反思。教学中要让学生畅所欲言，谈谈自己的切身感受与实际收获，把“反思”更好的应用于今后的问题解决中。
【第六环节】布置作业，固化策略
1.活动内容
布置作业：
（1）教科书第17页问题第1，2题。
（2）请你围绕教科书第17页问题第1（2）题，写一篇解题后的反思小作文。
2.活动目的
通过课后作业让学生巩固本节课所获得的立体图形中路径最短问题的解决方法，使学生再次体会反思这一问题解决策略的意义。
五、教学反思
1.要充分利用好教材提供的素材
“蚂蚁怎么走最近”是一个生动有趣的问题，让学生充满了探究的欲望，通过经历“曲—平—曲”的路线探索过程，发展空间观念。
2.尊重教材，领会编者意图
以“蚂蚁怎么走最近”为载体，带领学生经历“问题—理解问题—拟订计划—实施计划—回顾反思”的过程，使问题解决的过程程序化。(共13张PPT)
第一章 勾股定理
☆ 问题解决策略：反思
义务教育教科书 数学 八年级上册
情境引入，提出问题
如图，一个圆柱的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
（1）在这个问题中，已知条件有哪些？你认为已知条件足够解决这个问题吗？
（2）沿侧面爬行的可能路线有哪些？什么情况下路线最短？请你用圆柱形水杯等物品实际感受一下。
理解问题
情境引入，提出问题
（1）在这个问题中，已知条件为一个圆柱的高为12 cm和底面圆的周长为18 cm。
（2）沿侧面爬行的可能路线有无数条。当把圆柱的侧面展开成一个长方形后，连接A，B两点的线段对应的是在圆柱侧面上爬行的最短路线。这是因为“两点之间，线段最短”。
理解问题
情境引入，提出问题
（1）以前研究过最短路线问题吗？这个问题与以前研究的最短路线问题有什么不同？
（2）如何将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题？各个点的位置如何确定？
拟订计划
合作探究，解决问题
（1）在之前的学习中研究过最短路线问题，“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”。
问题的不同点：此前研究对象为平面图形，此次问题涉及曲面。
（2）转化方法：将曲面展开为平面（如圆柱侧面展开为长方形）。
点的位置确定：在展开的平面图形中，按原曲面相对位置标记对应点。
拟订计划
合作探究，解决问题
（1）如图，将圆柱剪开，确定侧面展开图的形状，以及与圆柱的对应关系。
（2）在图中标出点B的位置。
（3）在图中确定A，B两点之间最短的路线，并计算它的长度。
实施计划
合作探究，解决问题
解：如图，根据“两点之间，线段最短” ，将圆柱侧面展开为长方形。
已知底面周长为18 cm，高为12 cm，所以展开后长方形的长为18 cm，宽为12 cm。
又因为点B 为点A 相对的点，所以展开后BC 的长度为底面半周长，
B
C
展示解答
即BC=9 cm，AC=12 cm。
在Rt△ABC 中，∠C=90°，
由勾股定理，
可得AB2=BC2+AC2=92+122=225，
即AB=15 cm。
因此，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm。
（1）在拟订解决问题的方案和实施方案的过程中，你获得了哪些经验？与同伴进行交流。
（2）这个问题中，影响结果的量有哪些？如果改变有关的量，你还能求解吗？例如，改变圆柱的形状，改变点A、点B的位置，改为沿着圆柱表面爬行这时又会有哪些新的问题？选择部分问题进行研究，并与同伴进行交流。
解题反思，感受策略
回顾反思
（3）解决这个问题的经验，还可以应用到哪些问题中？例如，能否解决正方体、长方体等几何体表面两点之间的最短距离问题？
（4）生活中还有哪些现实问题涉及几何体表面上的最短距离？举几个实例，并思考解决问题的方案。
解题反思，感受策略
回顾反思
课堂小结，强化策略
对于解决问题之后的回顾反思，你有哪些体会？与同伴进行交流。
1.教科书第17页问题第1，2题；
2.请你围绕教科书第17页问题第1（2）题，写一篇解题后的反思小作文。
布置作业，固化策略
谢谢<<<<<<<<
第一章勾段定理
问题解决策略：反思
课堂精要·梳理内容
几何体中，解决最短距离或者最短路径问题时，都是将立体图形展开成
图形，然后
根据“两点之间
”确定最短路线，以最短路线为一边构造直角三角形。在将立
体图形的侧面展开时，要注意立体图形与
图形之间的内在联系，熟练地将实际问
题转化为数学问题。
课堂精练·发展能力
基础巩固
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,点P是线段AB上的一个动点，
CP的最短长度是(
A.6 cm
B.8 cm
C.4.8 cm
D.10 cm
(第1题)
(第2题)
2.如图，有一个底面周长为24cm、高为5cm的圆柱，一只蚂蚁沿侧面从点A到点B所经过
的最短路线长为
3.如图，有一圆柱形油罐，底面周长为24m,高为10m,从A处环绕油罐建梯子，梯子顶端
正好到达点A正上方的点B,则梯子最短需要建
(第3题)
(第4题)
4.如图所示的是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从点A到点A'镶有
一圈金属丝，已知此三棱镜的高为5cm,底面边长为4cm,则这圈金属丝的长度至少是
5.如图，长方体的底面边长为3cm,高为5cm,若一只蚂蚁从点P开始经由四个侧面爬行
一圈到达点Q,则爬行的最短路程为
5 cm
3 cm
2 dm 3 dm
3cm P
20 dm
(第5题)
(第6题)
6.如图所示的是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm,3dm,2dm,A和B
是这个三级台阶的两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物，则蚂蚁
沿着台阶面到点B的最短路程是
强化提高
7.如图，棱柱侧面都是长为8cm、宽为4cm的长方形，点D是BC的中点，在棱柱下底面的A
处有一只蚂蚁，它想吃到上底面D处的食物，需要爬行的最短路程是scm,则s2是()。
A.84
B.100
C.128
D.196
(第7题)
(第8题)
8.如图，有一个圆柱形礼盒，高18cm,底面周长为12cm,现准备在礼盒表面粘贴彩带作为
装饰，若彩带一端粘在A处，另一端绕礼盒侧面2周后粘贴在C处(B为AC的中点)，则
彩带最短为(
)
A.15 cm
B.20 cm
C.25 cm
D.30 cm
9.为筹备晚会，同学们设计了一个圆柱形灯罩，底面漆成白色，表面缠上红色油纸，如图所
示。已知圆柱的高为108cm,其横截面的周长为36cm,如果在其表面缠上4圈油纸，最
少应裁剪多长的油纸？（油纸厚度忽略不计）
108cm
(第9题)
