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第一章 勾股定理
回顾与思考
义务教育教科书 数学 八年级上册
如图，在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，a2+ b2=c2。
知识结构梳理
（1）直角三角形的边、角之间分别存在怎样的关系？
下列各组数中，是勾股数的是（ ）。
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，12 D．10，20，24
已知，在△ABC中，AB=k，AC=k 1，BC=3，当k= 时，∠C=90°。
知识结构梳理
（2）举例说明如何判断一个三角形是否为直角三角形。
知识结构梳理
（3）请你举出一个生活中的实际问题，并运用勾股定理解决它。
如图，有一个长、宽都是4 m，高为6 m的长方体形纸盒，一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么这只蚂蚁爬行的最短路程为（ ）。
A．6 m B．8 m
C．10 m D．12 m
（4）你了解勾股定理的历史吗？请查阅资料，并与同伴进行交流。
知识结构梳理
（5）梳理探索勾股定理的方法，你积累了哪些经验？
知识结构梳理
以下是本章内容结构的一个参考框图。
知识结构梳理
例1 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1cm，一只蚂蚁沿图中所示的折线由点A处爬到了点D处，它一共爬行了多少厘米？
典例分析
例2 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。已知大正方形的边长为10，直角三角形的两条直角边的比是3：4，求小正方形的边长。
解：设直角三角形的两条直角边的长分别为3x和4x，大正方形边长为10，即直角三角形斜边的长为10。
由勾股定理，可得102＝(3x)2+(4x)2。
解得x＝2。
所以，直角三角形的两条直角边分别是6，8。
可得8 6＝2。
因此，小正方形的边长为2。
典例分析
变式1 在△ABC 中，∠C=90°，BC:AC=3:4，AB=10，求△ABC 的面积。
变式2 在△ABC 中，∠C=90°，BC:AC=3:4， △ABC 的周长为12，求△ABC 的面积。
变式3 在△ABC 中，三条边长度的比3:4:5， △ABC 的周长为48，求△ABC 的面积。
典例分析
例3 如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）装有水，点A是圆柱下底面外壁的一点，点B是上底面外壁与点A相对的一点，在点B正下方的水面紧贴内壁G 处有一食物。
（1）若圆柱高为9 cm，底面半径为6 cm，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度。
（2）若圆柱高为9 cm，底面半径为 cm，水深2 cm，一只蚂蚁在点A处。
① 蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处，求它爬行的最短路程；
② 蚂蚁从点A处出发，求它吃到食物需要爬行的最短路程。
典例分析
解：（1）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=9 cm， AC=2×6=12 cm，根据勾股定理，可得AB2=AC2+BC2=122+92=225=152。
所以AB=15 cm。
因此，该容器内能放入木棒的最大长度是15 cm。
典例分析
例3 如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）装有水，点A是圆柱下底面外壁的一点，点B是上底面外壁与点A相对的一点，在点B正下方的水面紧贴内壁G 处有一食物。
（1）若圆柱高为9 cm，底面半径为6 cm，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度。
解：画出圆柱体的侧面展开图。如图，AC长为底面半周长。
① 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9 cm，AC==12 cm。
根据勾股定理，可得
AB2=AC2+BC2=122+92=225=152。
所以AB=15 cm。
因此，蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处的最短路程是15 cm。
（2）若圆柱高为9 cm，底面半径为 cm，水深2 cm，一只蚂蚁在点A处。
① 蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处，求它爬行的最短路程。
典例分析
解：如图，作点A关于BD的对称点A′，连接A′G，交BD于点Q，可知蚂蚁沿着A→Q →G 的路线爬行时，路程最短。
在Rt△A′EG 中，A′E=18 2=16 cm，EG= =12 cm，
根据勾股定理，可得
A′G2 =A′E2+EG2 =162+122 =400=202，即A′G=20 cm。
所以AQ+QG=A′Q+QG =A′G =20 cm。
因此，蚂蚁吃到食物需要爬行的最短路程是20 cm。
典例分析
② 蚂蚁从点A处出发，求它吃到食物需要爬行的最短路程。
（2）若圆柱高为9 cm，底面半径为 cm，水深2 cm，一只蚂蚁在点A处。
例4 勾股定理的证明方法多样，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理。下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程。
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2。
拓展提升
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a(b a) ，
∴b2+ab＝c2+a(b a) 。∴a2+b2＝c2。
图1
图2
请参照上述证法，完成下面的证明。
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°。
求证：a2+b2＝c2。
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b a，
∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABE+S△ADE＝ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED＝S△ACB+S△ABD+S△BDE＝abc2+a(b a)，
∴ ab+b2+ab＝abc2+a(b a)。
∴ a2+b2＝c2。
拓展提升
图2
F
1. 你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？
2. 你在梳理本章知识的过程中，积累了哪些经验？与同伴进行分享。
交流小结
1.教科书复习题第2，6，9，11题。
2. 补充题：如图，在△ABC中，AB=13 cm，AC=5 cm，BC 边上的中线AD=6 cm，求以BC为边长的正方形的面积。
3.查阅资料，完成一份关于勾股定理的历史的报告。
课后作业
D
B
C
A
谢谢第一章 勾股定理
回顾与思考
一、学习任务分析
勾股定理作为古代智慧的结晶和现代数学的重要基石，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数紧密联系起来，是几何学中的一颗璀璨明珠。勾股定理的应用蕴含着丰富的文化价值，更是后续有关几何度量运算和代数学习必要的基础，具有学科基础性与广泛的应用性，在现代科学和日常生活中发挥着举足轻重的作用。
本节课是复习课，以学生自主探索为主，通过小组之间的合作与交流，增强学生应用意识，培养学生多方面的能力。
二、学生起点分析
学生知识技能基础：通过本章的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及其逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，具备解决本课问题所需的知识基础。
学生活动经验基础：在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有一定的合作学习的经验，具备一定的合作与交流的能力。八年级学生已初步建立几何直观、空间观念，有一定的推理能力，但还需进一步发展模型观念、应用意识，增强耐挫折能力和解决问题的信心。
三、教学目标
1.回顾本章知识，尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用，同时构建本章知识体系。
2.在回顾与思考的过程中，建立模型观念，提高解决问题、反思问题的能力。
3.在反思和交流的过程中，体验学习的乐趣。通过对勾股定理历史的再认识，感受中华优秀传统文化。
教学重点：自主梳理本章的知识，构建自己的认知结构。
教学难点：勾股定理及其逆定理的综合运用。
四、教学过程设计
【第一环节】知识结构梳理
1.活动内容
（1）直角三角形的边、角之间分别存在怎样的关系？
回答问题：
①如图，在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，a2+b2=c2。
②下列各组数中，是勾股数的是（ ）。
A．1，2，3 B．0.3，0.4，0.5
C．6，8，12 D．10，20，24
（2）举例说明如何判断一个三角形是否为直角三角形。
回答问题：
已知，在△ABC中，AB=k，AC=k 1，BC=3，当k= 时，∠C=90°。
（3）请你举出一个生活中的实际问题，并运用勾股定理解决它。
回答问题：
如图，有一个长、宽都是4 m，高为6 m的长方体形纸盒，一只蚂蚁沿盒的外表面从点A处爬到点B处，那么这只蚂蚁爬行的最短路程为（ ）。
A．6 m B．8 m
C．10 m D．12 m
（4）你了解勾股定理的历史吗？请查阅资料，并与同伴进行交流。
（5）梳理探索勾股定理的方法，你积累了哪些经验？
以下是本章内容结构的一个参考框图。
2.活动目的
通过问题引导学生复习回顾与直角三角形有关的知识，避免枯燥的问答式分析，让学生的复习更具针对性。加强知识的前后联系，把勾股定理及其逆定理融入直角三角形的知识体系中，使知识系统化。学生通过回顾本章内容，梳理知识结构，形成知识系统，养成回顾与反思的习惯，获得知识系统的自主建构能力。
3.注意事项
在学生充分交流的基础上，教师引导学生形成本章的内容框架图。练习阶段，要留给学生独立思考的时间，使学生能够高效地合作交流。
【第二环节】典例分析
1.活动内容
例1 如图，方格纸中每个小方格的边长均为1 cm，一只蚂蚁沿图中所示的折线由点A处爬到了点D处，它一共爬行了多少厘米？
例2 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）。已知大正方形的边长为10，直角三角形的两条直角边的比是3∶4，求小正方形的边长。
变式1：在△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，AB=10，求△ABC的面积。
变式2：在△ABC中，∠C=90°，BC∶AC=3∶4，△ABC的周长为12，求△ABC的面积。
变式3：在△ABC中，三条边长度的比为3∶4∶5，△ABC的周长为48，求△ABC的面积。
例3 如图，一个透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）中装有水，点A是圆柱下底面外壁的一点，点B是上底面外壁与点A相对的一点，在点B正下方的水面紧贴内壁G处有一食物。
（1）若圆柱高为9 cm，底面半径为6 cm，将一根木棒放入该容器，使木棒完全在容器中，求该容器内能放入木棒的最大长度。
（2）若圆柱高为9 cm，底面半径为cm，水深2 cm，一只蚂蚁在点A处。
①蚂蚁从点A处沿圆柱侧面外壁爬行到点B处，求它爬行的最短路程。
②蚂蚁从点A处出发，求它吃到食物需要爬行的最短路程。
2.活动目的
通过不同情境的问题，让学生进一步体会勾股定理及其逆定理的应用，提高解决问题的能力。
3.注意事项
在应用勾股定理及其逆定理解决问题的过程中，渗透数形结合思想，借助图形分析数量关系。教学中，可先让学生独立思考，再进行交流，教师给予必要的指导。
【第三环节】拓展提升
1.活动内容
例4 勾股定理的证明方法多样，其中的“面积法”给了小聪灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理。下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程。
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2。
证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b a，
∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab，
又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a(b a)，
∴b2+ab＝c2+a(b a)。
∴a2+b2＝c2。
请参照上述证法，完成下面的证明。
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°。
求证：a2+b2＝c2。
2.活动目的
让学生通过例子举一反三，运用数形结合思想用两种方法表示出五边形ACBED的面积，建立方程解决问题，发展几何直观和模型观念。
3.注意事项
该问题有一定的难度，可以根据班级学生的实际情况有选择地开展。
【第四环节】交流小结
1.活动内容
师生交流总结：
（1）你在学习过程中是否积极参与？是否与同伴进行了有效的合作交流？
（2）你在梳理本章知识的过程中，积累了哪些经验？与同伴进行分享。
2.活动目的
鼓励学生结合本节课的学习谈谈自己的收获和感想，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用。
3.注意事项
要让学生畅所欲言，表达自己的切身感受与实际收获，总结解决问题的思路与方法。
【第五环节】课后作业
1.活动内容
（1）教科书复习题第2，6，9，11题。
（2）补充题：如图，在△ABC中，AB=13 cm，AC=5 cm，BC边上的中线AD=6 cm，求以BC为边长的正方形的面积。
（3）查阅资料，完成一份关于勾股定理的历史的报告。
2.活动目的
通过作业，进一步巩固所学知识。通过查阅资料，进一步完善知识体系，形成自己的认知结构。
3.注意事项
作业（3）可以作为长作业在本节课后完成，也可以在本节课课前完成。如果课前完成，可以在本节课开始时，让学生进行交流。
五、教学设计反思
本节课是复习课，主要是利用勾股定理及其逆定理来解决实际问题。勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，而勾股定理的逆定理作用是判定某一个三角形是否是直角三角形。针对八年级学生的知识基础和心理特征，本节课的设计思路是引导学生“‘做’数学”，编排上由浅入深，让学生在自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念。本节课注重发展学生几何直观，培养学生的模型观念和应用意识，增强学生学好数学的愿望和信心。让学生自己绘制本章知识思维导图，进一步体会所学知识之间的联系，在形成个性化知识结构的同时，提高总结和反思的能力。设计的练习题既考查了学生对基本知识的掌握情况，又注重培养学生综合运用所学知识的能力。
