勾股定理（一）（含习题及答案）
文档属性
| 名称 | 勾股定理（一）（含习题及答案） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 150.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2010-04-07 06:25:00 | ||
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文档简介
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教案示例
勾股定理（一）
一、教学目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明．
2．难点：勾股定理的证明．
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要．在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志．水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积．几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具．本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．
三、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长．
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5．
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长．
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
四、例习题分析
例1、已知：在△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．求证：a2＋b2=c2．
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋(b－a)2=c2，化简可证．
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．
⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．
例2、已知：在△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．
求证：a2＋b2=c2．
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等．
左边S=4×ab＋c2，右边S= (a+b)2
左边和右边面积相等，即4×ab＋c2= (a+b)2，化简可证．
勾股定理（二）
一、教学目标
1．会用勾股定理解决较综合的问题．
2．树立数形结合的思想．
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的综合应用．
2．难点：勾股定理的综合应用．
3．难点的突破方法：
⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．
⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．
⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．
三、课堂引入
复习勾股定理的内容．本节课探究勾股定理的综合应用．
四、例习题分析
例1、已知：在Rt△ABC中，∠C = 90 ，CD⊥BC于D，∠A = 60 ，CD =，求线段AB的长．
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2 BD2=AC2 AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30 或45 特殊角的特殊性质等．
要求学生能够自己画图，并正确标图．引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1．或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6．
“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2 BD2=AC2 AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30 或45 特殊角的特殊性质等．
例2、已知：如图，△ABC中，AC = 4，∠B = 45 ，∠A = 60 ，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB = 75 ．在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC．让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．并指出如何作辅助线？
让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角．让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．使学生清楚作辅助线不能破坏已知角．
解：过C点作CD⊥AB于D，RtΔBDC中，∵∠B = 45 ，∴∠BCD = 45
即ΔBDC为等腰直角三角形，BD = CD
由勾股定理可知，BD2+CD2 = BC2
类似地，在RtΔADC中，可得∠ACD = 30 ，AD2+CD2 = AC2
由直角三角形30 角所对直角边是斜边的一半知，2AD = AC，即AD = 2
∴22+CD2 = 42，CD2 = 12，∴CD = 2，BD = 2，AB = AD+DB = 2+2
12+12 = BC2，∴BC = 2
SΔABC =CD AB = 2(2+2) = 2+6
例3、已知：如图，∠B =∠D = 90 ，∠A = 60 ，AB = 4，CD = 2．求：四边形ABCD的面积．
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单．教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会．
解：延长AD、BC交于E．
∵∠A =∠60 ，∠B = 90 ，∴∠E = 30 ．
∴AE = 2AB = 8，CE = 2CD = 4，
∴BE2 = AE2 AB2 = 82 42 = 48，BE ==．
∵DE2 = CE2 CD2 = 42 22 = 12，∴DE ==．
∴S四边形ABCD = S△ABE S△CDE =AB·BE CD·DE=
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．
让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．在转化的过程中注意条件的合理运用．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力．
变式训练：在数轴上画出表示 1，2 的点．
典型例题
例题：
1．下列命题是真命题的个数有( )
①直角三角形的最大边长为，短边长为1，则另一条边长为
②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为
③在直角三角形中，若两条直角边长为n2 1和2n，则斜边长为n2+1
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
说明：①因为另一条直角边长的平方为()2 12 = 3 1 = 2，所以另一条边长为是正确的；②设两直角边为k和2k，而由已知 k 2k = 2，所以k =，故两直角边长为，2，所以斜边长为=，故②正确；③因为(n2 1)2+(2n)2 = n4 2n2+1+4n2 = n4+2n2+1 = (n2+1)2，故③正确；④由面积、底边上的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为= 5，故④正确；所以答案为D．
2．如图，在ΔABC中，若AB>AC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB2 AC2 = 2BC·EF
证明：因为AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB2 = AF2+BF2
在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC2 = AF2+FC2
所以AB2 AC2 = BF2 FC2 = (BF+FC)(BF FC) = BC (BF FC)
因为BF = BE+EF，FC = EC EF，BE = EC
所以BF FC = 2EF
所以AB2 AC2 = BC 2EF = 2BC EF
3．如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
解答：RtΔACB中，利用勾股定理有
AC2+CB2 = AB2，即AC2+1.52 = 2.52
可得AC2 = 4，求出AC=2米
在RtΔECD中，利用勾股定理有
EC2+CD2 = ED2，即EC2+(CB+BD)2 = 2.52，得
EC2+(1.5+0.5)2 = 2.52，化简可得EC2 = 2.25，即CE=1.5米
所以AE = AC CE = 2 1.5 = 0.5米
4．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
解答：由已知可知，CD = DE，AC = AE
在RtΔACB中，利用勾股定理，可知
AB2 = AC2 +CB2 = 62+82 = 100，所以AB = 10
SΔABC =BC AC = 24
又SΔABC = SΔDCA+SΔDBA =CD AC+DE AB =CD(AC+AB) =CD(6+10) = 8CD
所以8CD = 24，即CD = 3
习题精选
1．等边三角形的高是h，则它的面积是( )
A．h2 B．h2
C．h2 D．h2
答案：B
说明：如图，ΔABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD = h，因为∠B = 60 ，AD⊥BC，所以∠BAD = 30 ；设BD = x，则AB = 2x，且有x2+h2 = (2x)2，解之得x =h，因为BC = 2BD =h，所以SΔABC =BC AD = h h =h2，所以答案为B．
2．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( )
A．12cm2 B．10cm2
C．8cm2 D．6cm2
答案：D
说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：
由(1)得x+y = 7(3)，由(3)得(x+y)2 = 72，即x2+y2+2xy = 49，因为x2+y2 = 25，所以25+2xy = 49，即xy = 12，这样就有S =xy =×12 = 6，所以答案为D．
3．如图，△ABC中，∠ACB=90 ，AC＝12，CB＝5，AM＝AC，BN＝BC，则MN的长是（ ）
A．2 B．2.6
C．3 D．4
答案：D
说明：RtΔACB中，利用勾股定理有AB2 = AC2+BC2 = 122+52 = 169，因此得，AB = 13，由已知得AM = AC = 12，BN = BC = 5，所以AM+BN = AM+BM+MN = AB+MN = 17，所以MN = 17 AB = 17 13 = 4，答案为D．
4．直角三角形的面积为S，斜边长为2m，则这个三角形的周长是( )
A．+2m
B．+m
C．2(+m)
D．2+m
答案：C
说明：如图，设AC = x，BC = y，则xy = S；因为CD为中线，且CD = m，所以AB = 2CD = 2m，所以x2+y2 = ( 2m)2 = 4m2，(x+y)2 = x2+2xy+y2 = (x2+y2)+2xy = 4m2+4S，即x+y =，所以ΔABC的周长为：AC+BC+AB = x+y+ 2m =+ 2m = 2(+m)，答案为C．
5．如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )
A．10 15
B．10 5
C．5 5
D．20 10
答案：D
说明：设DC = x，因为∠C = 60 ，ED⊥BC，所以EC = 2x；
因为ΔAEF≌ΔDEF，所以AE = DE = 5 2x；
由勾股定理得：x2+(5 2x)2 = (2x)2，即x2 20x+25 = 0，解得x == 10±5；
因为DC 6．如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：C
说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42 = a2，可得a = 2；②若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2 = 42，可得a = 2，所以a的取值可以有2个，答案为C．
7．小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米
A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0
答案：A
说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为=== 0.7，答案为A．
8．一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案：C
说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62 = (x+2)2，解之得x = 8，所以斜边长为8+2 = 10，答案为C．
9．小明有一根70cm长的木棒，现有一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm的木箱，这个木箱能够容下小明的这根木棒吗？请你说明理由．
答案：能容下
理由：如图，利用勾股定理不难求得长方体木箱下底面的对角线长为= 50
而木箱能容纳下的最大长度则是=>= 70
所以，这个木箱能容下小明的这根木棒．
10．如图，ΔABC中，∠A = 90 ，E是AC的中点，EF⊥BC，F为垂足，BC = 9，FC = 3，求AB．
解：如图，作AD⊥BC
因为EF⊥BC，所以AD//EF
因为E为AC中点，所以F为DC的中点
因为FC = 3，所以DF = 3，DC = 3+3 = 6
因为BC = 9，所以BD = 9 6 = 3
设EC = x，则AC = 2x
由勾股定理得：AC2 = AD2+DC2，AB2 = AD2+BD2
所以AC2 AB2 = DC2 BD2①
即AC2 AB2 = 62 32 = 27
因为∠A = 90 ，由勾股定理得AB2+AC2 = BC2 = 81②
由② ①得2AB2 = 81 27 = 54，所以AB2 = 27，即AB == 3
扩展资料
从勾股数到勾股定理
苍天茫茫，深邃而遥远；大地辽阔，厂袤而无垠．从古时候起，人们就想知道，到底天有多高，地有多大？大约在公元前1100年，周武王的弟弟周公姬旦就曾向当时的一位学者商高求教：“……去天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”意思是说，没有台阶供你上天，又没有一种尺子可以让你用来大量大地，那么怎样才能得到天高地大的数值呢？
商高所提供的测量方法是“勾股术”：“……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．……”意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长(后来也称弦长)便是五．据说，在大禹治水的时候，就已经运用“勾三股四弦五”的特殊情形进行测量．
周公与商高的这段有趣的对话载于我国古代数学著作《周髀算经》(公元前1世纪)．经过历代数学家的完善，便形成了勾股定理(也称商高定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边C的平方，即a2＋b2＝c2
满足勾股定理的数组称为勾股数(或商高数)．在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为毕达哥拉斯数．
但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前l600年之间．这些勾股数组中有些是很大的数，即使在今天也往往是人们所熟悉的．
这个数表使人们有理由相信，古巴伦人早已掌握了勾股定理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点．毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：
后来，另一个古希腊学者柏拉图(Plato，约前427前347)也给出了类似的式子．被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图(Diophantus，约246330)也在研究二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨．他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：如果m、n是两个正整数，且2mn是完全平方数，则是一级勾股数．
丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓．重要的是，这组式子包含了全部的勾股数组！值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：
与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方法对这组公式进行了严格的论证．这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一．
关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测．有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》(公元前3世纪)之中．欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，如图1所示．有人把这个图形叫做“僧人的头巾”，也有人把它称为“新娘的轿椅”．我们这里给出证明的概述：AC=2△JAB=2△CAD=ADKL，类似地BC2＝BEKL等等．有兴趣的读者不妨自己考虑一下，完成证明的细节．
我国数学家赵爽在《周髀算经注》(公元3世纪初)中，给出了勾股定理的一般形式，并且给出了一个几何证明（如图2）：图中有4个直角三角形和一个小正方形，它们的面积之和应该正好等于正方形ABCD的面积，即4×ab+(b a)2=c2，化简便得：a2+b2=c2
印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形(如图3)．但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图4中给出的两个相似三角形，我们有=和=，即cm=b2和cn=a2，相加便得：a2+b2=c(m+n)=c2
勾股定理是数学中最重要的定理之一．也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理．卢米斯(Loomis)在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的370种证明并对它们进行了分类．
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线．
正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了．尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理．甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者所识别！
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教案示例
勾股定理（一）
一、教学目标
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理．
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力．
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习．
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明．
2．难点：勾股定理的证明．
3．难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要．在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志．水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积．几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具．本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明．其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．
三、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等．我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的．这个事实可以说明勾股定理的重大意义．尤其是在两千年前，是非常了不起的成就．
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长．
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五．”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3，长的直角边(股)的长是4，那么斜边(弦)的长是5．
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长．
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
四、例习题分析
例1、已知：在△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．求证：a2＋b2=c2．
分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明．
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
4×ab＋(b－a)2=c2，化简可证．
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明．
⑷勾股定理的证明方法，达300余种．这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手．激发学生的民族自豪感，和爱国情怀．
例2、已知：在△ABC中，∠C=90 ，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．
求证：a2＋b2=c2．
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等．
左边S=4×ab＋c2，右边S= (a+b)2
左边和右边面积相等，即4×ab＋c2= (a+b)2，化简可证．
勾股定理（二）
一、教学目标
1．会用勾股定理解决较综合的问题．
2．树立数形结合的思想．
二、重点、难点
1．重点：勾股定理的综合应用．
2．难点：勾股定理的综合应用．
3．难点的突破方法：
⑴数形结合，正确标图，将条件反应到图形中，充分利用图形的功能和性质．
⑵分类讨论，从不同角度考虑条件和图形，考虑问题要全面，在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力．
⑶作辅助线，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法，在做辅助线的过程中，提高学生的综合应用能力．
⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度．
三、课堂引入
复习勾股定理的内容．本节课探究勾股定理的综合应用．
四、例习题分析
例1、已知：在Rt△ABC中，∠C = 90 ，CD⊥BC于D，∠A = 60 ，CD =，求线段AB的长．
分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2 BD2=AC2 AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30 或45 特殊角的特殊性质等．
要求学生能够自己画图，并正确标图．引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1．或欲求AB，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=6．
“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用．目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2 BD2=AC2 AD2，两对相等锐角，四对互余角，及30 或45 特殊角的特殊性质等．
例2、已知：如图，△ABC中，AC = 4，∠B = 45 ，∠A = 60 ，根据题设可知什么？
分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB = 75 ．在学生充分思考和讨论后，发现添置AB边上的高这条辅助线，就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC．让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？
小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．并指出如何作辅助线？
让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角．让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题．使学生清楚作辅助线不能破坏已知角．
解：过C点作CD⊥AB于D，RtΔBDC中，∵∠B = 45 ，∴∠BCD = 45
即ΔBDC为等腰直角三角形，BD = CD
由勾股定理可知，BD2+CD2 = BC2
类似地，在RtΔADC中，可得∠ACD = 30 ，AD2+CD2 = AC2
由直角三角形30 角所对直角边是斜边的一半知，2AD = AC，即AD = 2
∴22+CD2 = 42，CD2 = 12，∴CD = 2，BD = 2，AB = AD+DB = 2+2
12+12 = BC2，∴BC = 2
SΔABC =CD AB = 2(2+2) = 2+6
例3、已知：如图，∠B =∠D = 90 ，∠A = 60 ，AB = 4，CD = 2．求：四边形ABCD的面积．
分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单．教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会．
解：延长AD、BC交于E．
∵∠A =∠60 ，∠B = 90 ，∴∠E = 30 ．
∴AE = 2AB = 8，CE = 2CD = 4，
∴BE2 = AE2 AB2 = 82 42 = 48，BE ==．
∵DE2 = CE2 CD2 = 42 22 = 12，∴DE ==．
∴S四边形ABCD = S△ABE S△CDE =AB·BE CD·DE=
小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．
让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差．在转化的过程中注意条件的合理运用．让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力．
变式训练：在数轴上画出表示 1，2 的点．
典型例题
例题：
1．下列命题是真命题的个数有( )
①直角三角形的最大边长为，短边长为1，则另一条边长为
②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为
③在直角三角形中，若两条直角边长为n2 1和2n，则斜边长为n2+1
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：D
说明：①因为另一条直角边长的平方为()2 12 = 3 1 = 2，所以另一条边长为是正确的；②设两直角边为k和2k，而由已知 k 2k = 2，所以k =，故两直角边长为，2，所以斜边长为=，故②正确；③因为(n2 1)2+(2n)2 = n4 2n2+1+4n2 = n4+2n2+1 = (n2+1)2，故③正确；④由面积、底边上的高可得底边为6，故底边的一半为3，所以斜边长为= 5，故④正确；所以答案为D．
2．如图，在ΔABC中，若AB>AC，AE为BC上的中线，AF为BC边上的高，求证：AB2 AC2 = 2BC·EF
证明：因为AF⊥BC，所以在RtΔAFB中，由勾股定理得：AB2 = AF2+BF2
在RtΔAFC中，由勾股定理得：AC2 = AF2+FC2
所以AB2 AC2 = BF2 FC2 = (BF+FC)(BF FC) = BC (BF FC)
因为BF = BE+EF，FC = EC EF，BE = EC
所以BF FC = 2EF
所以AB2 AC2 = BC 2EF = 2BC EF
3．如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
解答：RtΔACB中，利用勾股定理有
AC2+CB2 = AB2，即AC2+1.52 = 2.52
可得AC2 = 4，求出AC=2米
在RtΔECD中，利用勾股定理有
EC2+CD2 = ED2，即EC2+(CB+BD)2 = 2.52，得
EC2+(1.5+0.5)2 = 2.52，化简可得EC2 = 2.25，即CE=1.5米
所以AE = AC CE = 2 1.5 = 0.5米
4．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
解答：由已知可知，CD = DE，AC = AE
在RtΔACB中，利用勾股定理，可知
AB2 = AC2 +CB2 = 62+82 = 100，所以AB = 10
SΔABC =BC AC = 24
又SΔABC = SΔDCA+SΔDBA =CD AC+DE AB =CD(AC+AB) =CD(6+10) = 8CD
所以8CD = 24，即CD = 3
习题精选
1．等边三角形的高是h，则它的面积是( )
A．h2 B．h2
C．h2 D．h2
答案：B
说明：如图，ΔABC为等边三角形，AD⊥BC，且AD = h，因为∠B = 60 ，AD⊥BC，所以∠BAD = 30 ；设BD = x，则AB = 2x，且有x2+h2 = (2x)2，解之得x =h，因为BC = 2BD =h，所以SΔABC =BC AD = h h =h2，所以答案为B．
2．直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( )
A．12cm2 B．10cm2
C．8cm2 D．6cm2
答案：D
说明：设直角三角形的两条直角边长分别为xcm、ycm，依题意得：
由(1)得x+y = 7(3)，由(3)得(x+y)2 = 72，即x2+y2+2xy = 49，因为x2+y2 = 25，所以25+2xy = 49，即xy = 12，这样就有S =xy =×12 = 6，所以答案为D．
3．如图，△ABC中，∠ACB=90 ，AC＝12，CB＝5，AM＝AC，BN＝BC，则MN的长是（ ）
A．2 B．2.6
C．3 D．4
答案：D
说明：RtΔACB中，利用勾股定理有AB2 = AC2+BC2 = 122+52 = 169，因此得，AB = 13，由已知得AM = AC = 12，BN = BC = 5，所以AM+BN = AM+BM+MN = AB+MN = 17，所以MN = 17 AB = 17 13 = 4，答案为D．
4．直角三角形的面积为S，斜边长为2m，则这个三角形的周长是( )
A．+2m
B．+m
C．2(+m)
D．2+m
答案：C
说明：如图，设AC = x，BC = y，则xy = S；因为CD为中线，且CD = m，所以AB = 2CD = 2m，所以x2+y2 = ( 2m)2 = 4m2，(x+y)2 = x2+2xy+y2 = (x2+y2)+2xy = 4m2+4S，即x+y =，所以ΔABC的周长为：AC+BC+AB = x+y+ 2m =+ 2m = 2(+m)，答案为C．
5．如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )
A．10 15
B．10 5
C．5 5
D．20 10
答案：D
说明：设DC = x，因为∠C = 60 ，ED⊥BC，所以EC = 2x；
因为ΔAEF≌ΔDEF，所以AE = DE = 5 2x；
由勾股定理得：x2+(5 2x)2 = (2x)2，即x2 20x+25 = 0，解得x == 10±5；
因为DC
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
答案：C
说明：①若a为斜边长，则由勾股定理有22+42 = a2，可得a = 2；②若a为直角边长，则由勾股定理有22+a2 = 42，可得a = 2，所以a的取值可以有2个，答案为C．
7．小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米
A．0.7 B．0.8 C．0.9 D．1.0
答案：A
说明：因为墙与地面的夹角可看作是直角，所以利用勾股定理，可得出梯脚与墙脚的距离为=== 0.7，答案为A．
8．一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案：C
说明：设直角边长为x，则斜边为x+2，由勾股定理得x2+62 = (x+2)2，解之得x = 8，所以斜边长为8+2 = 10，答案为C．
9．小明有一根70cm长的木棒，现有一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm的木箱，这个木箱能够容下小明的这根木棒吗？请你说明理由．
答案：能容下
理由：如图，利用勾股定理不难求得长方体木箱下底面的对角线长为= 50
而木箱能容纳下的最大长度则是=>= 70
所以，这个木箱能容下小明的这根木棒．
10．如图，ΔABC中，∠A = 90 ，E是AC的中点，EF⊥BC，F为垂足，BC = 9，FC = 3，求AB．
解：如图，作AD⊥BC
因为EF⊥BC，所以AD//EF
因为E为AC中点，所以F为DC的中点
因为FC = 3，所以DF = 3，DC = 3+3 = 6
因为BC = 9，所以BD = 9 6 = 3
设EC = x，则AC = 2x
由勾股定理得：AC2 = AD2+DC2，AB2 = AD2+BD2
所以AC2 AB2 = DC2 BD2①
即AC2 AB2 = 62 32 = 27
因为∠A = 90 ，由勾股定理得AB2+AC2 = BC2 = 81②
由② ①得2AB2 = 81 27 = 54，所以AB2 = 27，即AB == 3
扩展资料
从勾股数到勾股定理
苍天茫茫，深邃而遥远；大地辽阔，厂袤而无垠．从古时候起，人们就想知道，到底天有多高，地有多大？大约在公元前1100年，周武王的弟弟周公姬旦就曾向当时的一位学者商高求教：“……去天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”意思是说，没有台阶供你上天，又没有一种尺子可以让你用来大量大地，那么怎样才能得到天高地大的数值呢？
商高所提供的测量方法是“勾股术”：“……故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五．……”意思是说，在方尺上截取勾宽为三，股长为四，则这端到那端的径长(后来也称弦长)便是五．据说，在大禹治水的时候，就已经运用“勾三股四弦五”的特殊情形进行测量．
周公与商高的这段有趣的对话载于我国古代数学著作《周髀算经》(公元前1世纪)．经过历代数学家的完善，便形成了勾股定理(也称商高定理)：直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边C的平方，即a2＋b2＝c2
满足勾股定理的数组称为勾股数(或商高数)．在西方，人们把这个定理的发现与证明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为毕达哥拉斯数．
但是1945年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上面竟然刻有15组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前1900年到公元前l600年之间．这些勾股数组中有些是很大的数，即使在今天也往往是人们所熟悉的．
这个数表使人们有理由相信，古巴伦人早已掌握了勾股定理并很可能找到了一种求得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点．毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式：
后来，另一个古希腊学者柏拉图(Plato，约前427前347)也给出了类似的式子．被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图(Diophantus，约246330)也在研究二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨．他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子，都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：如果m、n是两个正整数，且2mn是完全平方数，则是一级勾股数．
丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓．重要的是，这组式子包含了全部的勾股数组！值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也提出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于：
与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方法对这组公式进行了严格的论证．这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一．
关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测．有据可查的最早证明见于欧几里得的《几何原本》(公元前3世纪)之中．欧几里得用几何的方法，作出了一个巧妙的证明，如图1所示．有人把这个图形叫做“僧人的头巾”，也有人把它称为“新娘的轿椅”．我们这里给出证明的概述：AC=2△JAB=2△CAD=ADKL，类似地BC2＝BEKL等等．有兴趣的读者不妨自己考虑一下，完成证明的细节．
我国数学家赵爽在《周髀算经注》(公元3世纪初)中，给出了勾股定理的一般形式，并且给出了一个几何证明（如图2）：图中有4个直角三角形和一个小正方形，它们的面积之和应该正好等于正方形ABCD的面积，即4×ab+(b a)2=c2，化简便得：a2+b2=c2
印度的数学家兼天文学家婆什迦罗，也给出了与赵爽相同的几何图形(如图3)．但是婆什迦罗在画出这个图形之后，并没有进一步解释和证明，只是说：“正好！”婆什迦罗还给出了这个定理的另外一个证明，即画出斜边上的高，由图4中给出的两个相似三角形，我们有=和=，即cm=b2和cn=a2，相加便得：a2+b2=c(m+n)=c2
勾股定理是数学中最重要的定理之一．也许在数学中还找不到这样一个定理，其证明方法之多能够超过勾股定理．卢米斯(Loomis)在他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中，收集了这个定理的370种证明并对它们进行了分类．
勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线．
正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了．尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理．甚至还有人提出过这样的建议：在地球上建造一个大型装置，以便向可能会来访的“天外来客”表明地球上存在有智慧的生命，最适当的装置就是一个象征勾股定理的巨大图形，可以设在撒哈拉大沙漠、苏联的西伯利亚或其他广阔的荒原上，因为一切有知识的生物都必定知道这个非凡的定理，所以用它来做标志最容易被外来者所识别！
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