位似（含习题及答案）
图片预览
文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
教案示例
位似(1)
一、教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
3．难点的突破方法
（1）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
（2）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．
（3）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
（4）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意：①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．
三、课堂引入
1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？
这样的放大或缩小，没有改变图形的形状，经过放大或缩小的图形与原图形是相似的
图27.3-2每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．利用位似可以将一个图形放大或缩小
问：已知：如图，多边形ABCD，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
我们可以在四边形外任取一点O，如图，分别在直线OA、OB、OC、OD上取点A’、B’、C’、D’，使得OA’= 2OA，OB’= 2OB，OC’= 2OC，OD’= 2OD，顺次连接点A’、B’、C’、D’，所得四边形A’B’C’D’就是所要求的图形．
四、例题讲解
例1、如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A，图(2)中的点P和图(4)中的点O．图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图（5）也不是位似图形
例2、把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2．
作法一：①在四边形ABCD外任取一点O；
②过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
③分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′s，
使得；
④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：①在四边形ABCD外任取一点O；
②过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；
③分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；
④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
教学反思
位似(2)
一、教学目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
二、重点、难点
1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．难点的突破方法
（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．
（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k．
（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，0)，C(6，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×( 2)，3×( 2)），即A′′（ 2， 6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．
（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．
三、课堂引入
1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，①将△ABC向左平移三个单位得到△A1B 1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；
②写出△ABC关于x轴对称的△A2B 2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；
③将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．
2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示．
3．探究：
①如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
②如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
[①A’(2，1)，B’(2，0)；A’’( 2， 1)，B’’( 2，1)；
②A’( 4， 6)，B’( 4， 2)，C’( 12， 4)]
【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k．
四、例题讲解
例1、
分析：略（见教材P63的例题分析）
解：略（见教材P63的例题解答）
问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！
解法二：点A的对应点A′′的坐标为（ 6×，6×），即A′′（3， 3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）
例2、在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？
分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．
解：答案不惟一，略．
教学反思
典型例题
例题：
1．如果四边形ABCD与四边形A’B’C’D’是位似图形，且位似比为k，则下列各式错误的是( )
A．= B．ΔABC与ΔA’B’C’相似
C．= k D．=
答案：D
说明： AC、BD为四边形ABCD的对角线，A’C’与B’D’为四边形A’B’C’D’的对角线，由已知可知四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似，因此，不难得知ΔABC与ΔA’B’C’相似(两组对应边的比相等且它们的夹角相等)，则有=，同样道理有ΔBCD与ΔB’C’D’相似，=，所以=，A、B中的式子都正确；选项C，式子左边即两四边形的周长比，因此，该式子也成立；选项D，两个四边形的面积比应该是相似比的平方，也即位似比的平方，= k2，所以D中的式子错误，答案为D．
2．如图，以原点O为位似中心，将ΔABC扩大到原来的2倍，则与点A对应的点A’的坐标可以为( )
A．(4， 2) B．( 2，4)
C．(2，4) D．(4，2)
答案：B
说明：从图中不难看出，点A的坐标为( 1，2)，所以点A’的坐标为( 2，4)或(2， 4)，因此，答案为B．
3．已知ΔABC，如图所示，
①作ΔABC关于直线l的对称图形ΔA1B1C1
②以点O为旋转中心，按逆时针方向将ΔABC旋转180 ，作出旋转后的图形ΔA2B2C2
③以点O为位似中心，将ΔABC放大2倍，作出放大后的图形ΔA3B3C3
答案：
分析：①作点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，连接A1B1、B1C1，C1A1，即ΔABC关于直线l的对称图形ΔA1B1C1．
②作点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2，连接A2B2、B2C2、C2A2得ΔA2B2C2，ΔABC按逆时针方向旋转180 后的图形ΔA2B2C2．
③作射线AO、BO、CO，在射线AO、BO、CO上分别取点A3、B3、C3，使得OA3：OA = OB3：OB = OC3：OC= 2；连接A3B3、B3C3、C3A3，所得ΔA3B3C3为以点O为位似中心，将ΔABC放大2倍的图形ΔA3B3C3．
解：①如图所示，ΔA1B1C1是ΔABC关于直线l的对称图形．
②如图所示，ΔA2B2C2是ΔABC以点O为旋转中心，按逆时针方向旋转180 所得的图形．
③如图所示，ΔA3B3C3是ΔABC以点O为位似中心，放大2倍的图形．
点拨：本题考查了四种变换中的三种(轴对称、旋转、位似)变换，其中位似变换图形不是唯一的．
4．如图，已知ΔABC的顶点坐标分别为A( 2， 1)，B(4，2)，C( 1，4)．
①以原点O为位似中心，将ΔABC放大2倍，作出放大后的图形ΔA1B1C1
②过A1、B1、C1三点作抛物线，求出抛物线的解析式．
分析：①利用位似变换中对应点的坐标变化规律，将ΔABC以原点O为位似中心，放大2倍的对应坐标为A1( 4， 2)，B1(8，4)，C1( 2，8)，连接A1B1，B1C1，C1A1，即可得到ΔA1B1C1．
②设抛物线解析式为y = ax2+bx+c，再把ΔA1B1C1三顶点坐标代入解析式得到三元一次方程解之即可．
解：①如图所示，ΔA1B1C1为以原点O为位似中心，将ΔABC放大2倍的图形ΔA1B1C1，坐标分别为A1( 4， 2)，B1(8，4)，C1( 2，8)．
②设过A1( 4， 2)，B1(8，4)，C1( 2，8)三点的抛物线解析式为y = ax2+bx+c
则，解得a = ，b =，c =
∴过A1、B1、C1三点的抛物线的解析式为y = x2+x+
点拨：由于位似变换的图形不是唯一的，所以ΔA1B1C1的坐标不是唯一的，则过这三点的抛物线的解析式也
习题精选
选择题：
1．用作位似图形的方法可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在( )
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
答案：D
说明：根据图形位似变换的概念可知，把一个图形放大或缩小与位似中心无关，与相似比有关，所以，答案为D．
2．下列说法正确的是( )
A．相似的两个五边形一定是位似图形
B．两个大小不同的正三角形一定是位似图形
C．两个位似图形一定是相似图形
D．所有的正方形都是位似图形
答案：C
说明：位似图形是一种特殊的相似图形，位似图形的对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，而一般的相似图形不一定满足对应顶点的连线相交于一点，以及对应边互相平行这两个条件，所以正确答案为C．
3．如图，在每个小正方形边长都为1个单位长度的正方形网格中有编号①②③④四个小三角形，这四个小三角形能相互成为位似变换图形的有( )．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
答案：B
说明：由位似图形的定义，通过判断对应边是否互相平行，对应顶点连线是否在同一条直线上，不难得出①与③是位似图形，②与④是位似图形，答案为B．
4．如图，在每个小正方形边长都为一个单位长度的正方形网格中，点P是△ABC三个顶点经过以原点O为位似中心，作位似变换后得到的对应点，则与点P对应的点是( )．
A．顶点A
B．顶点B
C．顶点C
D．A、B、C三点都可以
答案：A
说明：由题意知点A坐标为(1，1)，点P坐标为( 3， 3)，根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，即对应点连线经过位似中心，知点P与点A对应，答案为A．
5．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长是( )．
A．cm B．cm C．cm D．1cm
答案：D
说明：因为小孔成像原理是图形位似变换，所以由相似比得CD =×2 = 1(cm)，答案为D．
6．如图，表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，则它们的相似比(即新图形与原图形的相似比)为( )．
A．2 B． 2 C． D．
答案：C
说明：位似图形是相似图形，所以它们的相似比等于它们对应边的比，即OD：OB = 2：4 = 1：2，因此，正确答案为C．
7．下列是ΔABC位似图形的几种画法，如图，其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
说明：根据位似图形的定义，不难看出②③④中的两个图形都是位似图形，只有①中的不符合对应边互相平行的条件，所以答案为C．
解答题：
1．已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)，D(2，3)，四边形A’B’C’D’是以四边形ABCD所在坐标平面的原点O为位似中心，相似比为2的位似图形，求四边形A’B’C’D’四个顶点的坐标．
解：顶点A(1，1)对应点A’的坐标为(2，2)或( 2， 2)
B(4，2)的对应点B’的坐标为(8，4)或( 8， 4)
C(3，4)的对应点C’的坐标为(6，8)或( 6， 8)
D(2，3)的对应点D’的坐标为(4，6)或( 4， 6)
所以四边形ABCD四个顶点坐标为(2，2)，(8，4)，(6，8)，(4，6)或者是( 2， 2)，( 8， 4)，( 6， 8)，( 4， 6)
2．如图，已知五角星ABCDE；
(1)以点O为位似中心，将五角星缩小
(2)以点D为位似中心，将五角星缩小
解答：(1)答案如图①，红色五角星即为所求；(2)答案如图②，红色五角星即为所求
图① 图②
单元测试
一．选择题
1．在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离25cm，则甲，乙的实际距离是( )
A．1250km B．125km C． 12.5km D．1.25km
2．已知，则的值为( )
A． B． C．2 D．
3．已知ΔABC的三边长分别为，，2，ΔA′B′C′的两边长分别是1和，如果ΔABC与ΔA′B′C′相似，那么ΔA′B′C′的第三边长应该是( )
A． B． C． D．
4．在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为( )
A．20米 B．18米 C．16米 D．15米
5．如图，∠ACB =∠ADC = 90 ，BC = a，AC = b，AB = c，要使ΔABC与ΔCAD相似，只要CD等于( )
A． B． C． D．
6．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30cm和 50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( )
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
7．用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( )
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
8．如图，□ABCD中，EF//AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长( )
A． B． 8 C．10 D．16
9．如图，一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC = 30 ，窗户的高在教室地面上的影长MN = 2米，窗户的下檐到教室地面的距离BC = 1米(点M、N、C在同一直线上)，则窗户的高AB为( )
A．米 B．3米 C． 2米 D．1.5米
10．某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在△ABC的边BC上，△ABC中边BC = 60m，高AD = 30m，则水池的边长应为( )
A 10m B 20m C 30m D 40m
二．填空题
11．已知，则
12．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC∶AB= ．
13．把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为 ．
14．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2 = BD DC，则∠BCA的度数为____________．
15．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是 8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网 4米的位置，则球拍击球的高度h为 米．
16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积之比是 ．
17．大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍，小矩形的面积是 5cm2，大矩形的长为5cm，则大矩形的宽为 cm．
18．斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B1= 80m，最短的钢索A4B4= 20m，那么钢索A2B2= m，A3B3= m
19．已知△ABC周长为1，连结△ABC三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为
三．解答题
20．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为 10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大？
21．如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC = 20米，斜坡坡面上的影长CD = 8米，太阳光线AD与水平地面成30 角，斜坡CD与水平地面BC成30 的角，求旗杆AB的高度（精确到 1米）．
22．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A、B两点，A(3，0)，且∠BAO = 30 ，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若S梯形OBCD＝，求点C的坐标；
(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、C 10、B
11、－1/4 12、 13、 14、65° 15、 2.4米
16、1：3 17、4 18、60，40 19、
20、 21、20
22、(1)利用一个锐角为30 的直角三角形的性质及勾股定理，不难求得OB =，即B(0，)，由此不难得出，直线AB解析式为：y=x+．
(2)设点C坐标为(x，x+)，那么OD＝x，CD＝x+．
∴S梯形OBCD＝＝ x2+．
由题意： ＝，解得x1 = 2，x2 = 4(舍去)，∴C(2，)
方法二：∵SΔAOB =OA OB =，S梯形OBCD =，∴SΔACD =
由∠BAO＝30 ，AD=CD．
∴SΔACD＝CD AD＝CD2 ＝．可得CD＝．
∴AD = 1，OD = 2．∴C(2，）．
(3)当∠OBP为直角时，如图
①若△BOP与△OBA相似，则∠BOP＝∠BAO=30 ，BP=OB=3，
∴P1(3，)．
②若△BPO与△OBA相似，则∠BPO＝∠BAO=30 ，OP=OB=1．
∴P2(1，)．
当∠OPB为直角时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO与△OBA相似，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴P3(，)．
方法二：设Ｐ(x，x+)，得OM＝x ，PM＝x+
由∠BOP＝∠BAO，得∠POM＝∠ABO．
===．
∴x+＝x，解得x＝．此时，P3(，)．
④若△POB与△OBA相似(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴PM＝OM＝．
∴ (，)（由对称性也可得到点的坐标）．
当∠POB为直角时，点P在ｘ轴上，不符合要求．
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
P1(3，)，P2(1，)，P3(，)，P4(，)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网
教案示例
位似(1)
一、教学目标
1．了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．
2．掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．
二、重点、难点
1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．
2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小．
3．难点的突破方法
（1）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．
（2）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比）．
（3）两个位似图形的主要特征是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．
（4）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题．作图时要注意：①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．
三、课堂引入
1．观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们有什么特征？
这样的放大或缩小，没有改变图形的形状，经过放大或缩小的图形与原图形是相似的
图27.3-2每幅图中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．利用位似可以将一个图形放大或缩小
问：已知：如图，多边形ABCD，把它放大为原来的2倍，即新图与原图的相似比为2．应该怎样做？你能说出画相似图形的一种方法吗？
我们可以在四边形外任取一点O，如图，分别在直线OA、OB、OC、OD上取点A’、B’、C’、D’，使得OA’= 2OA，OB’= 2OB，OC’= 2OC，OD’= 2OD，顺次连接点A’、B’、C’、D’，所得四边形A’B’C’D’就是所要求的图形．
四、例题讲解
例1、如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．
解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A，图(2)中的点P和图(4)中的点O．图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图（5）也不是位似图形
例2、把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．
分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2．
作法一：①在四边形ABCD外任取一点O；
②过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
③分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′s，
使得；
④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．
问：此题目还可以如何画出图形？
作法二：①在四边形ABCD外任取一点O；
②过点O分别作射线OA， OB， OC，OD；
③分别在射线OA， OB， OC， OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；
④顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，
使得；
（4）顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．
（当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）
教学反思
位似(2)
一、教学目标
1．巩固位似图形及其有关概念．
2．会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并能在复杂图形中找出这些变换．
二、重点、难点
1．重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．
2．难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．
3．难点的突破方法
（1）相似与轴对称、平移、旋转一样，也是图形之间的一个基本变换，因此一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．
（2）带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k．
（3）在平面直角坐标系中，用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换的关键是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的．如：已知：△ABC三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，0)，C(6，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，根据前面（2）总结的变化规律，点A的对应点A′的坐标为（1×2，3×2），即A′（2，6），或点A的对应点A′′的坐标为（1×( 2)，3×( 2)），即A′′（ 2， 6）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．
（4）本节课的最后要给学生总结（或让学生自己总结）平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小（位似变换）之后是相似的．并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换．
三、课堂引入
1．如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，①将△ABC向左平移三个单位得到△A1B 1C1，写出A1、B1、C1三点的坐标；
②写出△ABC关于x轴对称的△A2B 2C2三个顶点A2、B2、C2的坐标；
③将△ABC绕点O旋转180°得到△A3B3C3，写出A3、B3、C3三点的坐标．
2．在前面几册教科书中，我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示．
3．探究：
①如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6，3)，B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
②如图，△ABC三个顶点坐标分别为A(2，3)，B(2，1)，C(6，2)，以点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
[①A’(2，1)，B’(2，0)；A’’( 2， 1)，B’’( 2，1)；
②A’( 4， 6)，B’( 4， 2)，C’( 12， 4)]
【归纳】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 k．
四、例题讲解
例1、
分析：略（见教材P63的例题分析）
解：略（见教材P63的例题解答）
问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！
解法二：点A的对应点A′′的坐标为（ 6×，6×），即A′′（3， 3）．类似地，可以确定其他顶点的坐标．（具体解法与作图略）
例2、在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？
分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是4∶3∶2∶1的位似图形，……．
解：答案不惟一，略．
教学反思
典型例题
例题：
1．如果四边形ABCD与四边形A’B’C’D’是位似图形，且位似比为k，则下列各式错误的是( )
A．= B．ΔABC与ΔA’B’C’相似
C．= k D．=
答案：D
说明： AC、BD为四边形ABCD的对角线，A’C’与B’D’为四边形A’B’C’D’的对角线，由已知可知四边形ABCD与四边形A’B’C’D’相似，因此，不难得知ΔABC与ΔA’B’C’相似(两组对应边的比相等且它们的夹角相等)，则有=，同样道理有ΔBCD与ΔB’C’D’相似，=，所以=，A、B中的式子都正确；选项C，式子左边即两四边形的周长比，因此，该式子也成立；选项D，两个四边形的面积比应该是相似比的平方，也即位似比的平方，= k2，所以D中的式子错误，答案为D．
2．如图，以原点O为位似中心，将ΔABC扩大到原来的2倍，则与点A对应的点A’的坐标可以为( )
A．(4， 2) B．( 2，4)
C．(2，4) D．(4，2)
答案：B
说明：从图中不难看出，点A的坐标为( 1，2)，所以点A’的坐标为( 2，4)或(2， 4)，因此，答案为B．
3．已知ΔABC，如图所示，
①作ΔABC关于直线l的对称图形ΔA1B1C1
②以点O为旋转中心，按逆时针方向将ΔABC旋转180 ，作出旋转后的图形ΔA2B2C2
③以点O为位似中心，将ΔABC放大2倍，作出放大后的图形ΔA3B3C3
答案：
分析：①作点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1，连接A1B1、B1C1，C1A1，即ΔABC关于直线l的对称图形ΔA1B1C1．
②作点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2，连接A2B2、B2C2、C2A2得ΔA2B2C2，ΔABC按逆时针方向旋转180 后的图形ΔA2B2C2．
③作射线AO、BO、CO，在射线AO、BO、CO上分别取点A3、B3、C3，使得OA3：OA = OB3：OB = OC3：OC= 2；连接A3B3、B3C3、C3A3，所得ΔA3B3C3为以点O为位似中心，将ΔABC放大2倍的图形ΔA3B3C3．
解：①如图所示，ΔA1B1C1是ΔABC关于直线l的对称图形．
②如图所示，ΔA2B2C2是ΔABC以点O为旋转中心，按逆时针方向旋转180 所得的图形．
③如图所示，ΔA3B3C3是ΔABC以点O为位似中心，放大2倍的图形．
点拨：本题考查了四种变换中的三种(轴对称、旋转、位似)变换，其中位似变换图形不是唯一的．
4．如图，已知ΔABC的顶点坐标分别为A( 2， 1)，B(4，2)，C( 1，4)．
①以原点O为位似中心，将ΔABC放大2倍，作出放大后的图形ΔA1B1C1
②过A1、B1、C1三点作抛物线，求出抛物线的解析式．
分析：①利用位似变换中对应点的坐标变化规律，将ΔABC以原点O为位似中心，放大2倍的对应坐标为A1( 4， 2)，B1(8，4)，C1( 2，8)，连接A1B1，B1C1，C1A1，即可得到ΔA1B1C1．
②设抛物线解析式为y = ax2+bx+c，再把ΔA1B1C1三顶点坐标代入解析式得到三元一次方程解之即可．
解：①如图所示，ΔA1B1C1为以原点O为位似中心，将ΔABC放大2倍的图形ΔA1B1C1，坐标分别为A1( 4， 2)，B1(8，4)，C1( 2，8)．
②设过A1( 4， 2)，B1(8，4)，C1( 2，8)三点的抛物线解析式为y = ax2+bx+c
则，解得a = ，b =，c =
∴过A1、B1、C1三点的抛物线的解析式为y = x2+x+
点拨：由于位似变换的图形不是唯一的，所以ΔA1B1C1的坐标不是唯一的，则过这三点的抛物线的解析式也
习题精选
选择题：
1．用作位似图形的方法可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在( )
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
答案：D
说明：根据图形位似变换的概念可知，把一个图形放大或缩小与位似中心无关，与相似比有关，所以，答案为D．
2．下列说法正确的是( )
A．相似的两个五边形一定是位似图形
B．两个大小不同的正三角形一定是位似图形
C．两个位似图形一定是相似图形
D．所有的正方形都是位似图形
答案：C
说明：位似图形是一种特殊的相似图形，位似图形的对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，而一般的相似图形不一定满足对应顶点的连线相交于一点，以及对应边互相平行这两个条件，所以正确答案为C．
3．如图，在每个小正方形边长都为1个单位长度的正方形网格中有编号①②③④四个小三角形，这四个小三角形能相互成为位似变换图形的有( )．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
答案：B
说明：由位似图形的定义，通过判断对应边是否互相平行，对应顶点连线是否在同一条直线上，不难得出①与③是位似图形，②与④是位似图形，答案为B．
4．如图，在每个小正方形边长都为一个单位长度的正方形网格中，点P是△ABC三个顶点经过以原点O为位似中心，作位似变换后得到的对应点，则与点P对应的点是( )．
A．顶点A
B．顶点B
C．顶点C
D．A、B、C三点都可以
答案：A
说明：由题意知点A坐标为(1，1)，点P坐标为( 3， 3)，根据位似变换中对应点的坐标的变化规律，即对应点连线经过位似中心，知点P与点A对应，答案为A．
5．如图，是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长是( )．
A．cm B．cm C．cm D．1cm
答案：D
说明：因为小孔成像原理是图形位似变换，所以由相似比得CD =×2 = 1(cm)，答案为D．
6．如图，表示△AOB和把它缩小后得到的△COD，则它们的相似比(即新图形与原图形的相似比)为( )．
A．2 B． 2 C． D．
答案：C
说明：位似图形是相似图形，所以它们的相似比等于它们对应边的比，即OD：OB = 2：4 = 1：2，因此，正确答案为C．
7．下列是ΔABC位似图形的几种画法，如图，其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
说明：根据位似图形的定义，不难看出②③④中的两个图形都是位似图形，只有①中的不符合对应边互相平行的条件，所以答案为C．
解答题：
1．已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)，D(2，3)，四边形A’B’C’D’是以四边形ABCD所在坐标平面的原点O为位似中心，相似比为2的位似图形，求四边形A’B’C’D’四个顶点的坐标．
解：顶点A(1，1)对应点A’的坐标为(2，2)或( 2， 2)
B(4，2)的对应点B’的坐标为(8，4)或( 8， 4)
C(3，4)的对应点C’的坐标为(6，8)或( 6， 8)
D(2，3)的对应点D’的坐标为(4，6)或( 4， 6)
所以四边形ABCD四个顶点坐标为(2，2)，(8，4)，(6，8)，(4，6)或者是( 2， 2)，( 8， 4)，( 6， 8)，( 4， 6)
2．如图，已知五角星ABCDE；
(1)以点O为位似中心，将五角星缩小
(2)以点D为位似中心，将五角星缩小
解答：(1)答案如图①，红色五角星即为所求；(2)答案如图②，红色五角星即为所求
图① 图②
单元测试
一．选择题
1．在比例尺为1：5000的地图上，量得甲，乙两地的距离25cm，则甲，乙的实际距离是( )
A．1250km B．125km C． 12.5km D．1.25km
2．已知，则的值为( )
A． B． C．2 D．
3．已知ΔABC的三边长分别为，，2，ΔA′B′C′的两边长分别是1和，如果ΔABC与ΔA′B′C′相似，那么ΔA′B′C′的第三边长应该是( )
A． B． C． D．
4．在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为( )
A．20米 B．18米 C．16米 D．15米
5．如图，∠ACB =∠ADC = 90 ，BC = a，AC = b，AB = c，要使ΔABC与ΔCAD相似，只要CD等于( )
A． B． C． D．
6．一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为 30cm和 50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，则不同的截法有( )
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
7．用位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可以选在( )
A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置
8．如图，□ABCD中，EF//AB，DE∶EA = 2∶3，EF = 4，则CD的长( )
A． B． 8 C．10 D．16
9．如图，一束平行光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC = 30 ，窗户的高在教室地面上的影长MN = 2米，窗户的下檐到教室地面的距离BC = 1米(点M、N、C在同一直线上)，则窗户的高AB为( )
A．米 B．3米 C． 2米 D．1.5米
10．某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在△ABC的边BC上，△ABC中边BC = 60m，高AD = 30m，则水池的边长应为( )
A 10m B 20m C 30m D 40m
二．填空题
11．已知，则
12．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则AC∶AB= ．
13．把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为 ．
14．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且AD2 = BD DC，则∠BCA的度数为____________．
15．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是 8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网 4米的位置，则球拍击球的高度h为 米．
16．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，那么△ADE与四边形DBCE的面积之比是 ．
17．大矩形的周长是与它位似的小矩形的2倍，小矩形的面积是 5cm2，大矩形的长为5cm，则大矩形的宽为 cm．
18．斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩，（如图所示），其中A1B1、A2B2、A3B3、A4B4是斜拉桥上互相平行的钢索，若最长的钢索A1B1= 80m，最短的钢索A4B4= 20m，那么钢索A2B2= m，A3B3= m
19．已知△ABC周长为1，连结△ABC三边中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2006个三角形的周长为
三．解答题
20．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为 10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处，且DE∥AB，那么小玻璃管口径DE是多大？
21．如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC = 20米，斜坡坡面上的影长CD = 8米，太阳光线AD与水平地面成30 角，斜坡CD与水平地面BC成30 的角，求旗杆AB的高度（精确到 1米）．
22．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A、B两点，A(3，0)，且∠BAO = 30 ，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若S梯形OBCD＝，求点C的坐标；
(3)在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、B 5、A 6、B 7、D 8、C 9、C 10、B
11、－1/4 12、 13、 14、65° 15、 2.4米
16、1：3 17、4 18、60，40 19、
20、 21、20
22、(1)利用一个锐角为30 的直角三角形的性质及勾股定理，不难求得OB =，即B(0，)，由此不难得出，直线AB解析式为：y=x+．
(2)设点C坐标为(x，x+)，那么OD＝x，CD＝x+．
∴S梯形OBCD＝＝ x2+．
由题意： ＝，解得x1 = 2，x2 = 4(舍去)，∴C(2，)
方法二：∵SΔAOB =OA OB =，S梯形OBCD =，∴SΔACD =
由∠BAO＝30 ，AD=CD．
∴SΔACD＝CD AD＝CD2 ＝．可得CD＝．
∴AD = 1，OD = 2．∴C(2，）．
(3)当∠OBP为直角时，如图
①若△BOP与△OBA相似，则∠BOP＝∠BAO=30 ，BP=OB=3，
∴P1(3，)．
②若△BPO与△OBA相似，则∠BPO＝∠BAO=30 ，OP=OB=1．
∴P2(1，)．
当∠OPB为直角时
③ 过点P作OP⊥BC于点P(如图)，此时△PBO与△OBA相似，∠BOP＝∠BAO＝30°
过点P作PM⊥OA于点M．
方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝．
∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30°，
∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴P3(，)．
方法二：设Ｐ(x，x+)，得OM＝x ，PM＝x+
由∠BOP＝∠BAO，得∠POM＝∠ABO．
===．
∴x+＝x，解得x＝．此时，P3(，)．
④若△POB与△OBA相似(如图)，则∠OBP=∠BAO＝30°，∠POM＝30°．
∴PM＝OM＝．
∴ (，)（由对称性也可得到点的坐标）．
当∠POB为直角时，点P在ｘ轴上，不符合要求．
综合得，符合条件的点有四个，分别是：
P1(3，)，P2(1，)，P3(，)，P4(，)．
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网