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学 科 数学 年 级 八年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第十三章
课标要求 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。3.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。4.了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数，探索勾股数的简单规律。5.经历勾股定理及其逆定理的探究过程，体会“观察—猜想—验证—证明”的几何研究方法，感悟“数形结合”“从特殊到一般”等数学思想，培养几何推理能力和数学建模能力。6.了解勾股定理的悠久历史和文化价值，尤其是我国古代数学家的贡献，增强民族自豪感和数学学习兴趣。7.了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的8.通过实例体会反证法的含义
内容分析 本单元是在学生已经学习了三角形的概念、性质、全等三角形的判定与性质，以及平方根、无理数等知识的基础上进行的，是平面几何的核心内容之一，也是连接几何与代数的重要桥梁。从知识逻辑来看，勾股定理是直角三角形的核心性质，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形、圆的有关性质（如切线长定理、直径所对圆周角为直角等）、立体几何中空间距离计算等内容奠定坚实基础；勾股定理的逆定理则是判断直角三角形的重要依据，是对三角形分类的进一步完善，同时为后续学习四边形、三角函数等知识提供支撑。本单元的知识不仅在几何领域应用广泛，在物理、工程、航海等实际领域也有着重要作用。
学情分析 八年级学生已掌握直角三角形的定义、性质（如两锐角互余），能熟练计算三角形、正方形的面积，理解全等三角形的判定与性质，具备平方根、无理数的运算能力，能在方格图中分析图形的边长和面积关系。这些知识为勾股定理的探究、证明与应用提供了必要的支撑。同时学生已初步具备观察、猜想、动手操作和简单逻辑推理的能力，对几何图形的探究充满兴趣，尤其是动手拼图、实际问题解决等活动能有效激发其学习积极性。同时，学生已接触“从特殊到一般”“数形结合”等思想，为单元探究活动奠定了能力基础。
单元目标 （一）教学目标1.通过对直角三角形三边关系的观察、分析，抽象出勾股定理和逆定理的本质内涵，能用符号语言准确表示定理，抽象出勾股数的概念，识别并探索勾股数的规律。2.经历“观察特殊直角三角形—猜想一般规律—证明勾股定理—探究逆命题—证明逆定理”的完整过程，掌握“归纳推理”和“演绎推理”的方法，能模仿经典方法证明勾股定理及其逆定理，培养严谨的逻辑思维能力。3.能将折叠、测量、航海、折叠等实际问题转化为直角三角形模型，运用勾股定理及其逆定理解决问题，形成“实际问题—数学模型—求解验证”的建模思路，提升应用能力。4.通过方格图观察、动手拼图（如赵爽弦图、总统证法拼图）等活动，直观感知直角三角形三边的数量关系和图形的割补转化，建立“形”与“数”的联系，提升几何直观能力。5.能运用勾股定理准确计算直角三角形的未知边长（含无理数运算），能利用逆定理判断三角形是否为直角三角形，提升平方运算、开方运算、无理数化简的准确性和技巧性。（二）教学重点、难点重点1. 勾股定理及其逆定理的探究与证明过程，理解定理的本质内涵。2. 勾股定理及其逆定理的核心应用：①已知直角三角形两边求第三边；②判断三角形是否为直角三角形；③解决与直角三角形相关的实际问题。3. 勾股数的识别与简单规律探索。4. 实际问题与直角三角形模型的转化方法。难点1. 勾股定理的证明思路构建，尤其是“面积法”的应用（通过图形割补建立面积关系，进而推导边长关系）。2.勾股定理及其逆定理的区别与联系，明确“定理用于直角三角形的边长计算，逆定理用于直角三角形的判定”，避免应用混淆。3.复杂实际问题的建模过程：准确识别实际情境中的直角三角形，明确已知量、未知量与直角边、斜边的对应关系。4.勾股定理综合应用：结合全等三角形、折叠、最值等问题的综合求解，培养综合推理能力。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数13.1勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理、反证法313.2 勾股定理的应用最短路径问题构造直角三角形解决问题勾股定理逆定理的应用2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务13.1勾股定理及其逆定理1.体验勾股定理的探索过程.2.会用勾股定理解决简单的问题.提出问题,经历观察、猜想、探究的过程,进而归纳出勾股定理,并用以解决简单的问题.任务一：探索勾股定理.任务二：在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理.1.理解勾股定理的逆定理的证明方法.2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.通过动手操作观察,进而得出勾股定理逆定理的证明方法,体会从边的角度证明一个三角形是直角三角形.任务一：用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.任务二：勾股定理逆定理的证明.1.理解反证法.2.会用反证法证明较简单的问题.经历对反证法的思维方法及证明过程的一系列探究,提高观察、分析、归纳及逻辑思维能力.任务一：用反证法证明几何命题.任务二：反证法中渗透“正难则反”的思想.13.2勾股定理的应用1.会用勾股定理解决生活中的数学问题.2.体会数形结合及转化的思想.经历用数形结合及转化的思想方法来构造直角三角形并解决问题,感受勾股定理的应用价值.任务一：构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题.任务二：渗透数形结合及转化的思想.1.准确运用勾股定理及其逆定理。2.树立“数形结合”的思想.经历勾股定理及其逆定理的应用过程,掌握定理的应用方法,应用“数形结合”的思想来解决问题.任务一：勾股定理及其逆定理的综合运用.任务二：勾股定理的综合运用中渗透数形结合思想.
《勾股定理》 大单元教学设计
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13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十三章
课题 13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用 课时 1课时
课标要求 通过本节课的学习，能结合方格纸的直角特性，利用勾股定理构造直角三角形，画出表示常见无理数的线段，理解无理数的几何意义。经历“无理数的几何表示需求—勾股定理建模—方格纸作图实践”的完整过程，掌握“定直角边—构直角三角形—得斜边”的无理数线段作图步骤。体会“数与形”的辩证统一，深化勾股定理的应用价值，提升几何直观能力和数学建模能力。
教材分析 本节课是华师大版八年级上册第13章“勾股定理”第2节的内容，承接“勾股定理的理解与证明”“勾股定理与网格三角形”等前置知识，是勾股定理在“几何作图”领域的专项应用，也是连接“数系扩张（无理数）”与“几何直观”的关键纽带。从知识逻辑来看，学生在七年级已认识无理数的概念，但仅停留在“数”的抽象层面，缺乏直观的几何感知；而方格纸中横线与竖线垂直的特性，为构造直角三角形提供了天然载体，借助勾股定理“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”，可将无理数转化为直角三角形的斜边长度，实现“无理数—线段长度—几何图形”的转化。
学情分析 八年级学生已掌握勾股定理的核心内容（直角三角形三边平方关系），能熟练计算直角三角形的边长；已认识无理数的概念，能区分有理数与无理数，知道等常见无理数的近似值；具备方格纸作图的基本能力（如画直线、直角、正方形等），了解方格纸小正方形边长为1的默认规则，这些为“用勾股定理作无理数线段”奠定基础。
核心素养目标 1.通过将无理数转化为“两直角边平方和为n的直角三角形斜边”，抽象出“无理数—直角三角形斜边—线段”的对应模型，深化对无理数几何意义的理解。2.经历“目标无理数→确定直角边长度（依据勾股定理）→构造直角三角形→画出斜边”的推理过程，能严谨解释作图的理论依据（勾股定理），培养演绎推理能力。3.能将“画无理数线段”的问题转化为“构造直角三角形”的模型，建立“无理数n→直角边a、b（a2+b2=n）→斜边”的建模流程，能运用模型解决复杂无理数线段的作图问题。
教学重点 掌握用勾股定理在方格纸上画无理数线段的核心方法：根据目标无理数，确定两直角边长度a、b（满足a2+b2=n，a、b为正整数），在方格纸上构造直角三角形，其斜边即为表示的线段。
教学难点 直角边长度的确定：对于复杂无理数（如等），能快速找到满足a2+b2=n的正整数a、b，突破“逆向运用勾股定理”的思维障碍。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 【想一想】我们学过的无理数有哪些？这些无理数是无限不循环小数，你能在纸上画出一条长度恰好为的线段吗？如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，我们能画出长度为1、2、3的线段，那么长度为的线段怎么画？ 回顾无理数的概念和勾股定理的内容，明确有理数线段可通过数方格直接画出，但无理数线段无法直接数出，产生认知困惑。 通过“有理数线段与无理数线段的作图对比”，制造认知冲突，激发学生探究“无理数线段作图方法”的兴趣；结合预习反馈，自然引出“勾股定理转化”的核心思路，为新知探究铺垫。
二、探究 【思考】是无理数，如何用勾股定理将其转化为几何线段？勾股定理是“a2+b2=c2 ”，若斜边c=，则c2 =5，那么两直角边a、b满足什么关系？a2+b2=5结合方格纸特点(直角边长度为正整数)，a和b分别是多少？a=1，b=2，因为12+22=5.【画一画】根据上面的推导，在方格纸上画一画.第一步：定直角顶点。在方格纸的格点上取一点A作为直角顶点。第二步：画直角边。从A点出发，沿水平方向向右画1个单位长度，标记点B；沿竖直方向向上画2个单位长度，标记点C。第三步：连斜边。用直尺连接B、C两点，线段BC即为长度为的线段。【想一想】为什么BC的长度是？在Rt△ABC中，由勾股定理，可得总结归纳结合的作图过程，想一想“用勾股定理在方格纸上画无理数线段的一般步骤是什么？”第一步：定目标。明确要画的无理数，计算n的值(即斜边的平方)。第二步：找直角边。确定两直角边长度a、b，满足a2+b2=n(a、b可为正整数或已画出的无理数线段)。第三步：构直角。在方格纸上取格点作为直角顶点，画出长度为a、b的两条垂直直角边。第四步：连斜边。连接两直角边的另一个端点，斜边即为表示 的线段。【例3】如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为的线段；如图，AB、AC、AE、AD的长度均为（2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形.如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形.【例4】如图，已知CD= 6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.求图中着色部分的面积.分析：着色部分的面积=△ABC的面积-△ADC的面积，因此需要求出两个三角形的面积即可解决问题。解：在Rt△ADC中，∵ AC2= AD2+ CD2=82+62=100(勾股定理)，∴AC=10.∵ AC2+ BC2= 102+ 242= 676 = 262 = AB2，∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理). 跟随教师的逆向推理过程，明确对应的直角边为1和2，理解“数→形”的转化逻辑。小组内互相检查作图结果，用勾股定理互相讲解BC长度为的依据，强化理解。根据选定的组合，在方格纸上规范作图，标记直角顶点、直角边长度和斜边（标注无理数）。动手设计并画出等腰三角形，在小组内讲解作图依据 从正整数直角边到无理数直角边”的探究顺序，逐步突破难点；通过“自主作图—展示交流—总结步骤”的流程，让学生在实践中提炼方法，强化“数—形”转化的核心思路。基础练习巩固定理的核心应用，强化“直角边组合探究”和“作图规范性”；提升练习将无理数线段作图与三角形设计结合，培养知识综合运用能力和创新思维；小组互评促进学生间的交流，深化对作图依据的理解。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题：1.如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，则图中长度为的线段是( D ).A.ABB.ACC.ADD.CD2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点在格点上，则△ABC中，边长是无理数的边有__2___条.3.如图，∠A=∠OCD=90°，OA=2，OD= ，AB=BC=CD=1，则△OBC的形状是____直角三角形___________.4.如图所示的一块地，已知∠ADC= 90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为___96___m2.【知识技能类作业】选做题：5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长是( B ).A.B.C. 17D. 296.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为___7___.【综合拓展类作业】7. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，若AB=6cm，BC=10cm，求EC的长.解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm，DC=AB=6cm，∠B=90°，由题意得AF=AD=10cm，设DE=EF=x，EC=6-x，由勾股定理得BF2=102 - 62=64(cm)，∴BF=8cm，CF=10-8=2cm，在△ECF中，由勾股定理得x2=22+(6-x)2，解得x= ， 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸1.用勾股定理在方格纸上画无理数线段的步骤：第一步：定目标。第二步：找直角边。第三步：构直角。第四步：连斜边。2.勾股定理及其逆定理的综合运用. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统地认识。
板书设计 13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用1.用勾股定理在方格纸上画无理数线段2.勾股定理及其逆定理的综合运用3.例题讲解 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题：1.如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（ C ）.A. B. C. D. 52.如图，△ABC中，AB=1，BC=2，AC=，AD是BC边上的中线，则AD的长为 .3. 如图，在4×4的网格图中，小正方形的边长为1，则图中用字母表示的四条线段中长度为线段是 AE .4.如图，∠A=∠OBC=∠OCD =∠ODE = 90°，OA=AB=BC=CD=DE=1，则下列线段首尾顺次连结能组成直角三角形的是( C ).A.OC，OD，OEC.OB，OC，OEB.OB，OD，OED.OB，OC，OD【综合拓展类作业】5.如图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图，现测得AB=CD=60cm，BC=30 cm，AD=90cm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连结(即∠ABD =90°)，根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准.解：∵∠ABD =90°，AB=60 cm，AD =90 cm，∴BD2=AD2 - AB2=902 - 602=4500.∵BC=30cm，CD =60 cm ,∴BC2+CD2=302 + 602=4500，∴BC2 + CD2 = BD2,∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，∴BC⊥CD. ∴该车符合安全标准.
教学反思 本节课以“用勾股定理在方格纸上画无理数线段”为核心，遵循“情境导入—探究新知—应用巩固—小结作业”的教学流程，注重“数—形”结合和动手实践，基本达成预设的核心素养目标。本节课通过动手实践有效突破了“无理数线段作图”的核心难点，深化了“数—形结合”思想，但在细节规范和个体差异关注方面仍需改进。后续教学中，将更加注重“细节规范”和“分层指导”，提升教学的精准性和有效性。
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第十三章 勾股定理
13.2.2 勾股定理及其逆定理的综合运用
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
通过将无理数转化为“两直角边平方和为n的直角三角形斜边”，抽象出“无理数—直角三角形斜边—线段”的对应模型，深化对无理数几何意义的理解。
01
经历“目标无理数→确定直角边长度（依据勾股定理）→构造直角三角形→画出斜边”的推理过程，能严谨解释作图的理论依据（勾股定理）。
02
能将“画无理数线段”的问题转化为“构造直角三角形”的模型，能运用模型解决复杂无理数线段的作图问题。
03
02
新知导入
【想一想】我们学过的无理数有哪些
这些无理数是无限不循环小数，你能在纸上画出一条长度恰好为 的线段吗
02
新知导入
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，我们能画出长度为1、2、3的线段，那么长度为 的线段怎么画？
03
新知探究
【思考】 是无理数，如何用勾股定理将其转化为几何线段
勾股定理是“a2+b2=c2 ”，若斜边c= ，则c2 =5，那么两直角边a、b满足什么关系
结合方格纸特点(直角边长度为正整数)，a和b分别是多少
a2+b2=5
a=1，b=2，因为12+22=5.
03
新知探究
【画一画】根据上面的推导，在方格纸上画一画.
A
·
第一步：定直角顶点。在方格纸的格点上取一点A作为直角顶点。
第二步：画直角边。从A点出发，沿水平方向向右画1个单位长度，标记点B；沿竖直方向向上画2个单位长度，标记点C。
B
C
第三步：连斜边。用直尺连接B、C两点，线段BC即为长度为 的线段。
03
新知探究
A
·
B
C
【想一想】为什么BC的长度是 ？
在Rt△ABC中，由勾股定理，可得
总结归纳
结合 的作图过程，想一想“用勾股定理在方格纸上画无理数线段
的一般步骤是什么 ”
第一步：定目标。明确要画的无理数 ，计算n的值(即斜边的平方)。
第二步：找直角边。确定两直角边长度a、b，满足a2+b2=n(a、b可为正整数或已画出的无理数线段)。
第三步：构直角。在方格纸上取格点作为直角顶点，画出长度为a、b的两条垂直直角边。
第四步：连斜边。连接两直角边的另一个端点，斜边即为表示 的线段。
03
新知探究
【例3】如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）画出所有从点A出发，另一个端点在格点(即小正方形的顶点)上，且长度为 的线段；
B
C
E
D
如图，AB、AC、AE、AD的长度均为
03
新知探究
【例3】如图，在3×3的方格图中，每个小方格的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（2）画出所有以小题（1）中所画线段为腰的等腰三角形.
B
C
E
D
如图，△ABC、△ABE、△ABD、△ACE、△ACD、△AED 就是所要画的等腰三角形.
03
新知探究
【例4】如图，已知CD= 6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.求图中着色部分的面积.
分析：着色部分的面积=△ABC的面积-△ADC的面积，因此需要求出两个三角形的面积即可解决问题。
03
新知探究
【例4】如图，已知CD= 6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.求图中着色部分的面积.
解：在Rt△ADC中，
∵ AC2= AD2+ CD2=82+62=100(勾股定理)，
∴AC=10.
∵ AC2+ BC2= 102+ 242= 676 = 262 = AB2，
∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
03
新知探究
【例4】如图，已知CD= 6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m.求图中着色部分的面积.
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，每个小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，则图中长度为 的线段是( ).
A.AB
B.AC
C.AD
D.CD
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点在格点上，则△ABC中，边长是无理数的边有_____条.
2
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，∠A=∠OCD=90°，OA=2，OD= ，AB=BC=CD=1，则△OBC的形状是_______________.
直角三角形
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.如图所示的一块地，已知∠ADC= 90°，AD=12m，CD=9m，AB=25m，BC=20m，则这块地的面积为______m2.
96
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长是( ).
A.
B.
C. 17
D. 29
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为______.
7
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，若AB=6cm，BC=10cm，求EC的长.
解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10cm，DC=AB=6cm，∠B=90°，
由题意得AF=AD=10cm，
设DE=EF=x，EC=6-x，
由勾股定理得BF2=102 - 62=64(cm)，
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7. 如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE，若AB=6cm，BC=10cm，求EC的长.
∴BF=8cm，CF=10-8=2cm，
在△ECF中，由勾股定理得
x2=22+(6-x)2，解得x= ，
05
课堂小结
本节课你学到了什么？
1.用勾股定理在方格纸上画无理数线段的步骤：
第一步：定目标。
第二步：找直角边。
第三步：构直角。
第四步：连斜边。
2.勾股定理及其逆定理的综合运用.
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则AC的长度为（ ）.
A.
B.
C.
D. 5
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，△ABC中，AB=1，BC=2，AC= ，AD是BC边上的中线，则AD的长为 .
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3. 如图，在4×4的网格图中，小正方形的边长为1，则图中用字母表示的四条线段中长度为 的线段是 .
AE
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
4.如图，∠A=∠OBC=∠OCD =∠ODE = 90°，OA=AB=BC=CD=DE=1，则下列线段首尾顺次连结能组成直角三角形的是( ).
A.OC，OD，OE
C.OB，OC，OE
B.OB，OD，OE
D.OB，OC，OD
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.如图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图，现测得AB=CD=60cm，BC=30 cm，AD=90cm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连结(即∠ABD =90°)，根据安全标准需满足BC⊥CD，通过计算说明该车是否符合安全标准.
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5.解：∵∠ABD =90°，AB=60 cm，AD =90 cm，
∴BD2=AD2 - AB2=902 - 602=4500.
∵BC=30cm，CD =60 cm ,
∴BC2+CD2=302 + 602=4500，
∴BC2 + CD2 = BD2,
∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，
∴BC⊥CD. ∴该车符合安全标准.
Thanks!
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