2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（鲁教版）提升一（含解析）

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2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（鲁教版）
提升一（含解析）
一、单选题
1．如图，，与是对应角，与是对应边．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．
3．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
4．一个三角形的三条边的长分别是5，8，9，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
5．如图，把等腰直角三角形的直角顶点和另外一个顶点分别放在矩形纸片的两条对边上，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，真命题的个数为（　　）
①已知关于x的一无二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数根，则k的取值范围是k＞2，
②若代数式有意义，则x的取值范围是x≥3．
③不等式1的非正整数解有7个．
④若，则代数式的值为
A．0 B．1 C．2 D．3
7．关于式子，下列说法正确（ ）
A．当时，其值为 B．当时，其值为
C．当时，其值为正数 D．当时，其值为负数
8．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
9．如图，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在腰长为6的等腰中，，，点D是内一点，连接，且，E是的中点，连接，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
11．已知两个多项式，（为实数），以下结论中正确的个数是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则关于的方程无实数根；
④若为整数，且的值为整数，则的取值个数为5．
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，中，，于点，，是线段上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．若分式有意义，则a的取值范围是 ．
14．若在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
15．分式方程的解为 ．
16．如图，在中，，，BC是半圆的直径，图中阴影部分的面积为4，则半圆的面积是 ．
三、解答题
17．如图，已知点，分别在，上，，求证．
18．如图，在中，D是边上一点，，，，求证：．
19．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知两条公路、交于点，小明家位于点处，小刚家位于经过点垂直的公路和经过点与平行的公路的交汇处，请作出小刚家所在的位置．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，，以为直径作交于点，交于点，连接并延长交的切线于点，连接．
求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
22．如图，在和中，，．E是中点，，垂足为点F
求证：；
(2)若，求的长．
23．为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的．
(1)求航空和航海模型的单价；
(2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
《2025-2026学年数学八年级上册期中测试试题（鲁教版）提升一（含解析）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C C C A D A D
题号 11 12
答案 C D
1．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质，可得，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：C
2．B
【分析】本题主要考查分式有意义，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：代数式有意义，
，
即．
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键．解分式方程的基本方法是去分母，将方程转化为整式方程求解，之后需检验所得解是否使原方程的分母为零．
【详解】解：
方程两边同乘，得：，
解得：，
检验：当时，分母，
∴是原方程的解，
故选：C．
4．C
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等得，或，，求出解即可．
【详解】解：∵这两个三角形全等，
∴，或，，
解得，或，，
则或，
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．根据等腰直角三角形的性质得到，由三角形外角的性质，得到，再根据平行线的性质即可得出结果．
【详解】解：如图，
是等腰直角三角形，
，
，
，
矩形纸片的两条对边平行，
，
故选：C．
6．C
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分式和二次根式有意义的条件，不等式的解集，比例的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①若关于x的一无二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数根，则Δ＝22﹣4（k﹣1）＜0且k≠1，解得k＞2且k≠1，
故本命题不是真命题；
②若代数式有意义，则2x﹣6＞0，解得x＞3，
故本命题不是真命题；
③解不等式1得x≥﹣6，则x的非正整数解有﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0共7个，
故本命题是真命题；
④∵，
∴，
∴11，
故本命题是真命题；
综上所述，为真命题的有③④共2个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，代数式求值，分式和二次根式有意义的条件，不等式的解集，比例的性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．
7．A
【分析】根据分式的乘除法法则.平方差公式.完全平方公式对分式进行化简，再根据化简后的分式对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：
，
A.当时，原式，故该说法正确，符合题意；
B.当时，分母，原式没有意义，不能计算求值，故该说法不正确，不符合题意；
C.当时，则，
∴，故该说法不正确，不符合题意；
D.当时，则，
∴，故该说法不正确，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对分式进行化简．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘．
8．D
【分析】解分式方程用k表示出x，根据解为正数及分式有意义的条件得到关于k的不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】
通分得：，
∴x=2-k，
∵的解为正数，且分式有意义，
∴，
解得：且，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程与不等式的综合应用，解分式方程得到关于k的不等式组是解题关键，注意分式有意义的条件，避免漏解．
9．A
【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理与三角形的外角，根据等边对等角，结合三角形的外角的性质以及三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
10．D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短．取的中点，连接、，求出，证明，得出，即可得出，当点、、在同一直线上时，最小，为的长，即可得解．
【详解】解：如图，取的中点，连接、，
则，
∵在等腰中，，，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当点、、在同一直线上时，最小，为的长，即，
故选：D．
11．C
【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由，可得或，再验证这两个方程是否有实数根；④列代数式，再化简，直接代数验证即可．
【详解】解：①∵，
∴，
解得：，
∴①不正确；
②∵，
∴，
∴，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
当时，恒成立，
当时，，
解得（不符合题意，舍去），
∴②正确；
③∵，
∴，
∴或，
当时，，该方程无实数根，
当时，，该方程无实数根，
∴若，关于的方程无实数根，
∴③正确；
④∵
，
∵为整数，且值为整数，
∴，，，
又∵
∴的取值个数为个，
∴④不正确．
正确的个数是2
故选：C．
12．D
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G，由勾股定理可求BE=4，根据AAS可证△AEB≌△AGC，得CG=BE=4，易证△BDF∽△BAE，得出=，得出DF=，求最小值，即求DF+CD的最小值，由垂线段最短求解即可.
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB于点G
又于点
∴∠AEB=90°，∠DFB=90°，∠AGC=90°
又∠ABE为公共角
∴△BDF∽△BAE
∴=
又，
∴DF=
∴=DF+CD
∵DF+CD≥CG
∴≥CG
即的最小值为CG的长
在Rt△ABE中
BE===4
∵，∠AEB=90°，∠AGC=90°
又∠A为公共角
∴△AEB≌△AGC（AAS）
∴CG=BE=4
∴的最小值为4
故选：D
【点睛】本题主要考查最短路径中的垂线段最短问题，解决本题借助了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形以及勾股定理求边长，综合性较强，难度较大.
13．
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解．
【详解】解：若分式有意义，
则，
解得，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零”是解本题的关键．
根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得到，再求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．方程两边同乘，将分式方程化为整式方程，然后求解即可．
【详解】解：，
方程两边同乘得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解，
故答案为：
16．
【分析】连接OD，设半径为r，根据圆周角定理得到∠DOC=90°，分别可求得、半圆及非阴影部分的面积，再根据，即可求得r2，据此即可求得结果．
【详解】解：如图：连接OD，设半圆的半径为r，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠DOC=90°，
∴图中非阴影部分的面积，
∵AC=BC=2r，
，，
，
，
得，
解得，
半圆的面积为：，
故答案为：2π．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
17．见解析
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键．由，，，根据“”证明，则．
【详解】证明：在和中，
，
，
．
18．见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先由三角形外角的性质和已知条件证明，再利用证明，即可证明．
【详解】证明：，
．
在和中，
，
．
19．见解析
【分析】根据题意，结合垂线的作图方法、平行线的判定画图即可．
本题考查作图—应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：如图，先过点作直线，再在直线的上方作，交射线于点，
则点即为所求．
20．，
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简分式，再代值求解即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．(1)见解析
(2)8
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）根据等边对等角可得出，则可证出，根据平行线的性质和等边对等角可得出，根据证明，得出，根据切线的性质可得出，然后根据切线的判定即可得证；
（2）在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明∶连接，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
又是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，
在中，，，，，
∴，
解得，
即的半径为8．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）欲证明，只要证明即可．
（2）由E是中点，，推出，由，得到，即可解决问题．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵E是中点，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
23．(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
(2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可；
（2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，
由题意得，，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元；
（2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得，
，
∵，
∴y随m增大而增大，
∴当时，y有最小值，最小值为，
此时有，
答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少．
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