课件15张PPT。第一章 特殊平行四边形单元复习(一) 特殊平行四边形一、选择题．
1．在平面中，下列命题为真命题的是( )
A．四边相等的四边形是正方形
B．对角线相等的四边形是菱形
C．四个角相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形C2．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．梯形A3．(2015·南京)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是(3，4)，则A，B的坐标分别是( )
A．(4，0)(7，4) B．(4，0)(8，4)
C．(5，0)(7，4) D．(5，0)(8，4)
4．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AD＝BC，使四边形ABCD为正方形，下列条件中：①AC＝BD；②AB＝AD；③AB＝CD；④AC⊥BD.需要满足( )
A．①② B．②③
C．②④ D．①②或①④DDA6．(2016·东营模拟)如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF.其中正确的有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个B二、填空题．
7．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为____．
8．如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连接AE，若AE＝6.5，AD＝5，则AC＝____，△ABE的周长是____．206.5251010．如图，正方形的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一个动点，则DN＋MN的最小值是_______．
11．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为__ __．5三、解答题．
12．如图，已知点P为正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，求证：PA＝EF.
证明：连接PC，易证△DPA≌△DPC得PA＝PC，又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC＝EF，∴PA＝EF13．如图，将矩形ABCD折叠，使点A和C重合，留下折痕EF，EF分别交AD，BC于E，F.
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)若AB＝6 cm，BC＝8 cm，求折痕EF的长．14．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED.点G是BC，AE的延长线的交点，AG与CD相交于点F.求证：四边形ABCD是正方形．
证明：∵∠AED＝∠CED，∴∠AEB＝∠CEB，∵∠BAE＝∠BCE，BE＝BE，∴△ABE≌△CBE，∴AB＝CB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形15．(2016·盐城模拟)如图①，已知A，B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC，BC，分别以AC，BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.
(1)如图②，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1＝AB；
(2)在图①中，当D，E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1，EE1，AB之间的数量关系．(不需要证明)解：(1)由AAS可证得△ADD1≌△CAB
(2)DD1＋EE1＝AB.理由过点C作CH⊥l，垂足为H，由(1)知：△ADD1≌△CAH，△BEE1≌△CBH，DD1＝AH，EE1＝BH，∴DD1＋EE1＝AH＋BH＝AB
(3)DD1－EE1＝AB第一章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2015·宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是( B )
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
2．已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为( B )
A．45°，135° B．60°，120° C．90°，90° D．30°，150°
3．下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( B )
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB＝BC，AD＝CD且AC⊥BD
C．AB＝BC＝CD＝DA D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD
4．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE＝15°，则∠BOE等于( D )
A．30° B．45° C．60° D．75°
,第5题图) ,第6题图)
5．如图，在△ABC中，点E，D，F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，不正确的是( D )
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形
D．如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
6．(2015·玉林)如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下：
甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形；
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断( C )
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
7．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M，N分别在边AD，BC上，连接BM，DN.若四边形MBND是菱形，则等于( C )
A. B. C. D.
,第7题图) ,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
8．点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A，B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于( C )
A．75° B．60° C．45° D．30°
9．(2015·梅州)如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为( C )
A．60° B．30° C．45° D．90°
10．如图①所示，将长为20 cm，宽为2 cm的长方形白纸条，折成图②所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为( B )
A．34 cm2 B．36 cm2 C．38 cm2 D．40 cm2
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(2015·潍坊)如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件__OA＝OC或AD＝BC__，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)
,第11题图) ,第12题图) ,第13题图) ,第14题图)
12．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为__(2＋，)__．
13．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为____．
14．如图，△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别是△ABC边AB，BC，AC的中点，连接DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需增加条件：__∠A＝90°__．
15．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠AFC＝__112.5__度．
,第15题图) ,第16题图) ,第17题图) ,第18题图)
16．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，使A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形的边长是____．
17．(2015·山西)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为____．
18．(2015·济南)如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③BE＋DF＝EF.其中正确的序号是__①②__．
三、解答题(共66分)
19．(7分)如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且BO＝2AE，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC.
证明：△AOB为等边三角形，∵矩形ABCD，∴AO＝OB，而BO＝2AE，
∴AE＝OE，∴BE⊥AC
20．(8分)如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M，N分别是AC，BD的中点，求证：
(1)MD＝MB；
(2)MN⊥BD.
证明：(1)∵AD⊥DC，AB⊥BC，M为AC中点，∴DM＝AC，
BM＝AC，∴MD＝MB
(2)由(1)知DM＝MB，∵N为BD的中点，∴MN⊥BD
21．(8分)如图，正方形ABCD，EFGH的边长都等于1，点E恰好是AC，BD的交点，求两个正方形的重叠部分(阴影部分)的面积．
解：易证△EQC≌△EPD，则S△EQC＝S△EPD，S阴影＝S△EQC＋S△ECP＝
S△EPD＋S△ECP＝S△ECD＝S正方形ABCD＝
22．(8分)(1)任意四边形四边中点围成的四边形是__平行四边形__；
(2)对角线相等的四边形四边中点围成的四边形是__菱形__；
(3)对角线垂直的四边形四边中点围成的四边形是__矩形__；
(4)对角线相等且垂直的四边形四边中点围成的四边形是__正方形__，并证明．
证明略
23．(8分)如图所示，在菱形ABCD中，AB＝4，E，F分别为BC，CD的中点，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，CG∥AE交AD于G，交AF于H.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求∠CHA的度数．
解：(1)连接AC.∵AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝BC.∴△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，即∠BCD＝120°，∴BE＝2，AE＝2，∴SABCD＝4×2＝8
(2)∠EAH＝60°.∵CG∥AE，∴∠AHC＝180°－60°＝120°
24．(9分)如图，在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∵EA＝EC，∴BE⊥AC，∴?ABCD是菱形
(2)∵∠ADO＝EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，从而得AC＝BD，∴菱形ABCD是正方形
25．(9分)如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F，G，求证：PF＋PG＝AB.
证明：S△BED＝DE·AB……①，连接EP，有S△BED＝S△EPD＋S△BEP，S△EDP＝ED·PG，S△BEP＝BE·PF，∵BE＝ED，∴S△BEP＝ED·PF，∴S△BED＝S△EDP＋S△BEP＝ED·(PG＋PF)……②.
综合①②可得AB＝PG＋PF
26．(9分)(2015·湘潭)在数学活动中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图①，他连接AD，CF，经测量发现AD＝CF.
(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图②，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图③，请你求出CF的长．
解：(1)AD＝CF.证△ADO≌△CFO
(2)连接DF交EO于点M，易得DM＝OM＝1，在Rt△ADM中，AD＝＝，
∴CF＝AD＝
课件6张PPT。第一章 特殊平行四边形专题课堂(一) 正方形中有关计算与证明 利用正方形的性质，证三角形全等，从而探究线段之间的关系．
例1 (2014·广东梅州)如图所示，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.
(1)求证：CE＝CF.
(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？
解：(1)在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF，∴△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF.
(2)GE＝BE＋GD成立．理由：由(1)，得△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF，CE＝CF.∵∠GCE＝45°，∴∠BCE＋∠DCG＝45°.∴∠GCF＝∠DCF＋∠DCG＝45°.在△ECG与△FCG中，∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG(SAS)．∴GE＝GF.∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD正方形的旋转问题
例2 已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，点G，E分别在线段AD，AB上．
(1)如图①，连接DF，BF，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，则下列说法“在旋转过程中线段DF与BF的长始终相等”是否正确？若正确，请说明理由；如不正确，请举反例说明；
(2)如图②，若将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，连接DG，在旋转的过程中，你能否找到一条线段与DG始终相等，并以图为例说明理由．解：(1)根据图形的对称性，本来DF和BF相等，但是“在正方形AEFG绕点A旋转的过程中，线段DF与BF始终相等”不正确．例如，当点F旋转到AB上时，BF最短(小于AB)，而这时DF大于AD，即DF大于BF.
(2)可以找到一条线段BE与DG始终相等．理由如下：如图②，连接BE.在正方形ABCD和正方形AEFG中，AE＝AG，AD＝AB，且∠DAB＝∠GAE＝90°，∴∠DAB－∠GAB＝∠GAE－∠GAB，即∠DAG＝∠BAE.∴△ADG绕点A顺时针旋转90°后能和△ABE重合．∴DG＝BE1．如图，P为正方形ABCD的BC边上一点，AQ平分∠DAP交CD于点Q.
(1)求证：AP＝BP＋DQ；
(2)若将AQ平分∠DAP与AP＝BP＋DQ互换，其他条件不变，结论是否仍然成立？说明理由．
解：(1)延长PB至E，使BE＝DQ，连接AE，易证△ABE≌△ADQ，∴∠BAE＝∠DAQ，∠E＝∠AQD，∵AB∥CD，∴∠BAQ＝∠AQD，∴∠E＝∠BAQ＝∠BAP＋∠PAQ＝∠BAP＋∠DAQ＝∠BAP＋∠BAE＝∠PAE，∴AP＝PE＝BP＋DQ.
(2)仍然成立，证法可参见(1)2．如图，正方形ABCD的边长为10，在各边上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝7，则四边形EFGH的面积是______．
3．(2015·上海)已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，如图所示，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F，C两点的距离为________．581或5课件9张PPT。第一章 特殊平行四边形易错课堂(一) 特殊平行四边形易错点一：混淆特殊平行四边形的边或对角线的性质而致错
例1 判断下列说法是否正确：
(1)四条边相等的四边形是正方形；
(2)两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；
(3)两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形；
(4)两条对角线互相垂直的矩形是正方形．
错解：(1)正确． (2)正确． (3)正确． (4)错误．错因分析：(1)虽有四条边相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件是：有一个角是直角，或对角线相等；(2)此题的错误是识别方法不清楚，对角线相等且互相垂直，但对角线并不一定互相平分，只有对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形；(3)片面应用了正方形的特征，虽然正方形的每一条对角线都平分一组对角，但反过来就不成立，据此只能判定它是菱形，还需要再加上“对角线相等”这一条件才能判定它是正方形．
正解：(1)错误 (2)错误 (3)错误 (4)正确易错点二：混淆矩形、菱形、正方形的判定方法而出错
例2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，请判断四边形CEDF的形状，并说明理由．
错解：四边形CEDF是矩形．
理由如下：
∵DE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠CED＝90°，∠CFD＝90°.
又∵∠ACB＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．错因分析：由于思考不严密，只考虑判断这个四边形是矩形，而没有进一步思考是否还能判断这个四边形是正方形，从而造成判断错误．
正解：四边形CEDF是正方形理由如下：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠CED＝90°，∠CFD＝90°.又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形．又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF.∴矩形CEDF是正方形1．(2015·扬州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是( )
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是正方形DC 3．如图，分别以△ABC的三边为边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
(1)当△ABC满足条件_______________时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在；
(2)四边形ADEF是________四边形；
(3)当△ABC满足条件______________时，四边形ADEF是矩形；∠BAC＝60°平行∠BAC＝150°(4)当△ABC满足条件____________________时，四边形ADEF是菱形；
(5)当△ABC满足条件_____________________时，四边形ADEF是正方形．AB＝AC，∠BAC≠60°AB＝AC且∠BAC＝150°课件13张PPT。第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质知识点1：矩形的性质
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对边相等
C．对角相等 D．对角线互相平分AB3．如图，矩形ABCD中，ABA．2个 B．4个 C．6个 D．8个
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长＝__ __cm.B95．(2015·泉州)如图，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝OB.
证明：由矩形ABCD可知∠A＝∠B＝90°，AD＝BC，又∠AOC＝∠BOD，∴∠AOD＝∠BOC，可得△DAO≌△CBO，∴AO＝OBC7．如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，AH⊥BC于H，若FD＝8 cm，则HE等于__ __cm.88．(2016·枣庄模拟)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为__ __．14B4810．如图，矩形ABCD的两对角线交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F，连接CE，已知△CDE的周长为24 cm，则矩形ABCD的周长是______cm.11．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD∥BC，∠B＝90°.∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°.∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.又∵AD＝AE，∴△ADF≌△EAB(AAS)．∴DF＝AB.∴DF＝DC12．(2016·桂林模拟)如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF，DE交于点O.求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)△AOD是等腰三角形．
证明：(1)由SAS可证 (2)由(1)△ABF≌△DCE，∴∠BAF＝∠CDE，∵∠OAD＋∠BAF＝90°，又∠ODA＋∠CDE＝90°，∴∠OAD＝∠ODA.∴OA＝OD14．(2015·云南)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，M，N分别是AB，CD的中点，P是AD上的点，且∠PNB＝3∠CBN.
(1)求证：∠PNM＝2∠CBN；
(2)求线段AP的长．方法技能：
1．矩形在平行四边形基础上定义，对角线有特殊性质，要会灵活应用；
2．直角三角形斜边上的中线的性质往往与等腰三角形“三线合一”结合起来应用．
易错提示：
辨认不清矩形的性质及平行四边形的共性．课件13张PPT。第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定第2课时 矩形的判定知识点：矩形的判定
1．若顺次连接四边形各边中点所得的四边形是矩形，则原四边形一定是( )
A．等腰梯形
B．对角线相等的四边形
C．平行四边形
D．对角线互相垂直的四边形
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BDDD3．(2015·临沂)如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE B．DE⊥DC
C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
4．下列四边形不是矩形的是( )
A．有三个角都是直角的四边形
B．四个角都相等的四边形
C．一组对边平行，且对角相等的四边形
D．对角线相等且互相平分的四边形BC5．如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A，C两点，过A，C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B，D，则四边形ABCD是________．
6．如图，在?ABCD中，下列条件：①AC＝BD；②AB＝AD；③∠1＝∠2；④AB⊥BC.能说明?ABCD是矩形的有_______．(填序号)矩形①④(2，1)7．在直角坐标系中，A点坐标为(2，0)，B点坐标为(0，1)，要使四边形BOAC为矩形，则C点的坐标为________．8．如图，在?ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
证明：(1)∵?ABCD，∴AB＝CD，∵BE＝CF，∴BF＝CE，又AF＝DE，∴△ABF≌△DCE
(2)由(1)△ABF≌△DCE，∴∠B＝∠C，又?ABCD，∴AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形A①②9．(2016·益阳模拟)下列命题中，真命题是( )
A．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形
10．在四边形ABCD中，如果∠A＝90°，那么还不能判定四边形ABCD是矩形，现再给出如下说法：①对角线AC，BD互相平分，那么四边形ABCD是矩形；②∠B＝∠C＝90°，那么四边形ABCD是矩形；③对角线AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形．其中正确的说法有______．(填序号)11．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__ __度时，四边形ABFE为矩形． 6012．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作?ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
解：(1)由SAS可证
(2)先证四边形AECD为平行四边形再由AD⊥CD可得13．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.
(1)求证：D是BC的中点；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
证明：(1)可证AF＝DC＝BD
(2)矩形，由AD⊥BC可得14．(2015·聊城)如图，在△ABC中 ，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.
求证：四边形BECD是矩形．
证明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC且AD＝DC，又四边形ABED是平行四边形，∴AD綊BE，∴CD綊BE，∴四边形CDBE是平行四边形，又BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴四边形BECD是矩形方法技能：
在判定矩形时，一般先判定它是平行四边形，再根据已知条件灵活进行判定．
易错提示：
矩形对角线互相平分且相等但不垂直． 课件14张PPT。第一章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定第3课时 矩形性质和判定的应用2．(2015·泰安)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为( )
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8DC4．将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸片的一条边上，则∠1＋∠2＝______． D90°知识点2：矩形的证明
5．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否垂直
D．测量其内角是否都为直角DC6．(2016·吴江模拟)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )
A．①②③ B．①②④
C．②⑤⑥ D．④⑤⑥7．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC，在不添加任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上的一个条件是____________________________________．(填上你认为正确的一个答案即可)∠A＝90°或∠A＝∠B或∠A＋∠C＝180°8．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．
证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠BAE＝∠CAD，又∵AE＝AD，AB＝AC，∴△BAE≌△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，BE＝CD，又∵DE＝BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE，∠BED＝∠CDE，∵BE∥CD，∴∠BED＋∠CDE＝180°，∠BED＝∠CDE＝90°，∴四边形BCDE是矩形B129．(2016·包头模拟)如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在边EF上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S110．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于点F，作EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是______．11．(习题变式)如图，矩形ABCD的对角线AC＝10，BC＝8，则图中五个小矩形的周长之和为__ __．2813．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为矩形ABCD外一点，若AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
证明：连接OE，证OE＝OB＝OD，可得∠BED＝90°14．如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
解：(1)可证得AD綊CN，得CD＝AN
(2)由DM＝CM＝MN＝AM得AC＝DN，∴四边形ADCN是矩形方法技能：
1．涉及有关计算问题时，要灵活地运用矩形的性质．
2．涉及证明问题时，要结合问题特征选择适当的判定方法．
易错提示：
性质和判定的条件与结论之间的关系．课件14张PPT。第一章 特殊平行四边形1．1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质知识点1：菱形的概念及对称性
1．如图，在?ABCD中，AB＝BC，下列结论错误的是( )
A．四边形ABCD是菱形
B．AB＝AD
C．AO＝OC，BO＝OD
D．∠BAD＝∠ABCD2．如图，在?ABCD中，若∠1＝∠2，则?ABCD是_______．
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，下列结论：①菱形ABCD是轴对称图形；②菱形ABCD是中心对称图形；③△ABC是等边三角形；④对角线AC＝4.其中成立的有_________．(只填序号即可)菱形①②③④知识点2：菱形的性质
4．(教材P3例1变式)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是( )
A．25 B．20 C．15 D．10
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OCBBCB 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为( )
A．75° B．65° C．55° D．50°
8．如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__ __cm.
9．(2015·湘潭)已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为__ __ cm. 4 5 DC13．(2016·嘉兴模拟)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
解：(1)∵菱形ABCD，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD＝EC
(2)∵平行四边形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO＝∠E＝50°，又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠BAO＝90°－∠ABO＝40°14．如图，已知两个菱形ABCD，CEFG共顶点C，且点A，C，F在同一直线上，连接BE，DG.
(1)在不添加辅助线时，写出其中的两对全等三角形；
(2)证明：BE＝DG.
解：(1)△ADC≌△ABC，△GFC≌△EFC，△GDC≌△EBC
(2)∵四边形ABCD、四边形CEFG是菱形，∴DC＝BC，CG＝CE，∠DCA＝∠BCA，∠GCF＝∠ECF，∵∠DCG＝180°－∠DCA－∠GCF，∠BCE＝180°－∠BCA－∠ECF，∴∠DCG＝∠BCE，∴△GDC≌△EBC，∴BE＝DG15．如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.
(1)求证：AE＝EC；
(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)连接AC，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC，∴AE＝EC
(2)点F是线段BC的中点．理由：在菱形ABCD中，AB＝BC，又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∠CEF＝60°，∴∠EAC＝∠CEF＝30°，∴AF是△ABC的角平分线，∴AF是△ABC的BC边上的中线，∴点F是线段BC的中点16．(2015·重庆)如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，且∠1＝∠2.
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求证：AM＝DF＋ME.
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD.∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴MC＝MD，又∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝2，∴BC＝2
(2)延长DF交AB的延长线于点N，易证△AMN是等腰三角形，AM＝MN＝FN＋MF，易证△CFD≌△BFN，∴FN＝DF，∴AM＝DF＋MF，易证CE＝CF，△CEM≌△CFM，∴MF＝ME，∴AM＝DF＋ME方法技能：
菱形是在平行四边形的基础上定义的，且四边相等，从而带来边、对角线的特殊性，注意区分．
易错提示：
菱形不具有对角线相等，只具有对角线互相垂直且平分的性质．课件15张PPT。第一章 特殊平行四边形1．1 菱形的性质与判定第2课时 菱形的判定知识点：菱形的判定方法
1．下列命题中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D2．(教材P9习题4变式)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( )
A．AD＝BC
B．AC＝BD
C．AB＝CD
D．AD＝CDA3．(2016·宿州九中模拟)顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( )
A．平行四边形
B．对角线相等的四边形
C．矩形
D．对角线互相垂直的四边形
4．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形BB5．(2015·黔西南州)如图，四边形ABCD是平行四边形，AC与BD相交于点O，添加一个条件：________________，可使它成为菱形．AB＝BC或AC⊥BD菱形 AB＝AC(不唯一)7．(2016·威海模拟)如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E，F分别是边AC，AB的中点，连接DE，DF，要使四边形AEDF为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是________________．菱形8．如图，用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是一个特殊的四边形．
(1)这个特殊的四边形应该叫做________；
(2)请证明你的结论．
解：∵四边形ABCD为两张等宽的纸条重叠地放在一起而得，∴AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．分别过点B，D作AD，AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵两张纸条等宽，∴BE＝DF，又∠A＝∠A，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴AB＝AD，∴?ABCD是菱形CA9．如图，在?ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )
A．AE＝AF B．EF⊥AC
C．∠B＝60° D．AC是∠EAF的平分线
10．如图，将?ABCD折叠，使顶点D恰好落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论：①MN∥BC，②MN＝AM，下列说法正确的是( )
A．①②都对 B．①②都错
C．①对②错 D．①错②对11．(十堰中考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：
①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是_____．(只填写序号)③12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
证明：证△BOF≌△DOE，∴DE＝BF，又DE∥BF，∴四边形BEDF为平行四边形，又EF⊥BD，∴?BEDF是菱形13．(2016·营口模拟)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC＝∠ACD.
(1)求证：△ABC≌△CDA；
(2)若∠B＝60°，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AD平分∠CAF，∴∠CAF＝2∠CAD.又∵∠CAF＝∠B＋∠ACB＝2∠ACB，∴2∠CAD＝2∠ACB，∴∠CAD＝∠ACB，又∵AC＝CA，∠BAC＝∠DCA，∴△ABC≌△CDA
(2)易证AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，再证△ABC是等边三角形，得AB＝BC，∴?ABCD是菱形14．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若BD⊥EF，判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)
(2)四边形EBFD是菱形．由△ABE≌△CDF，得AE＝CF，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∴DE∥BF，DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形，若BD⊥EF，则四边形EBFD是菱形15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
证明：(1)先证△ABC≌△ADC，再证△ABF≌△ADF
(2)∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵△ABC≌△ADC，∴∠ACB＝∠ACD，∴∠BAC＝∠ACB，∴AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形
(3)当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD.理由：证△CBF≌△CDF，∴∠CBF＝∠CDF，又∵BE⊥CD，∴∠EFD＋∠CDF＝90°，∠BCD＋∠CBF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD方法技能：1.在判定菱形时，(1)可用边去判定；(2)可用对角线去判定；(3)也可在平行四边形基础上运用边、对角线去判定．
易错提示：在菱形的判定中只用其中一个条件，忽略附加条件．课件14张PPT。第一章 特殊平行四边形1．1 菱形的性质与判定第3课时 菱形性质和判定的应用知识点1：菱形的计算
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝4，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长为( )
A．20 B．18 C．16 D．15CB3．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )
A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1C5．如图所示，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，且AE＝DE，则∠EBF等于_________60°知识点2：菱形的证明
6．(2016·本溪模拟)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，AC，AF，则图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C7．如图，直线l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD；②AB＝BC；③AB⊥BC；④AD＝DC，其中正确的结论是___________．①②④B120°10．如图所示的是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝________．12．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD于F，DE⊥AB于E，求证：四边形CDEF是菱形．
证明：∵CH⊥AB，∴∠HAF＋∠AFH＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ADC＝90°.∵AD平分∠CAE，∴∠CAD＝∠HAF，∴∠AFH＝∠CDF.∵∠AFH＝∠CFD，∴∠CDF＝∠CFD，∴CF＝CD.∵AD平分∠CAB，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴CD＝DE，∴CF＝DE.∵CH⊥AB，DE⊥AB，∴CF∥DE.∴四边形CDEF是平行四边形．∵CD＝DE，∴四边形CDEF是菱形14．已知：如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°，动点P在直线BC上运动，作∠APM＝60°，且直线PM与直线CD相交于点Q，Q点到直线BC的距离为QH.
(1)若P在线段BC上运动，求证：CP＝DQ；
(2)若P在线段BC上运动，探求线段AC，CP，CH的一个数量关系，并证明你的结论．解：(1)连接AQ，作PE∥CD交AC于E，则△CPE是等边三角形，∠EPQ＝∠CQP.又∠APE＋∠EPQ＝60°，∠CQP＋∠CPQ＝60°，∴∠APE＝∠CPQ，又∵∠AEP＝∠QCP＝120°，PE＝PC，∴△APE≌△QPC，∴AE＝QC，AP＝PQ，∴△APQ是等边三角形，∴∠2＋∠3＝60°，∵∠1＋∠2＝60°，∴∠1＝∠3，∴△AQD≌△APC，∴CP＝DQ (2)AC＝CP＋2CH.证明如下：∵AC＝CD，CD＝CQ＋QD，∴AC＝CQ＋QD，∵CP＝DQ，∴AC＝CQ＋PC，又∵∠CHQ＝90°，∠QCH＝60°，∴∠CQH＝30°，∴CQ＝2CH，∴AC＝CP＋2CH课件14张PPT。第一章 特殊平行四边形1．3 正方形的性质与判定第1课时 正方形的性质知识点1：正方形的定义
1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是_______． D正方形知识点2：正方形的性质
3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直
4．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个BC5．如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形对角线的交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是( )
A．45° B．120° C．60° D．90°
6．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形EFGO绕点O旋转，若两正方形的边长相等，则两正方形重合部分的面积( )
A．由小变大
B．由大变小
C．始终不变
D．先由大变小，然后又由小变大DC45°7．(2015·南宁)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是_______．8．(2016·泸州模拟)如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE＝BF.
证明：∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°，∵AE⊥BF，∴∠ABG＋∠BAE＝90°，∠ABG＋∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌BCF(ASA)，∴AE＝BFAB9．(2015·乐山)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对角线互相垂直平分
C．对角线平分一组对角 D．四条边相等
10．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )
A．16 B．17 C．18 D．1912．如图，A，B，C三点在同一条直线上，AB＝2BC，分别以AB，BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC，求证：FN＝EC.
解：利用SAS证△FEN≌△EBC即可14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
证明：由SAS证△ADE≌△DCF，∴∠DAE＝∠CDF，又∵∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠DAE＋∠ADF＝90°，∴∠AMD＝90°，即AM⊥DF(本题还可证△AOE≌△DOF)15．(2016·三明模拟)如图 ①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB.
(1)求证：△BCP≌△DCP；
(2)求证：∠DPE＝∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝_______度．58解：(1)由SAS可证
(2)∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠E，由△BCP≌△DCP，∴∠PBC＝∠PDC，∴∠PDC＝∠E，设EP交CD于F，则∠PDC＋∠PFD＝∠E＋∠CFE＝90°，∴∠DPE＝90°＝∠ABC
(3)58方法技能：
用正方形的性质可证一些线段相等，角为直角等问题，在应用时要注意条件的选取．
易错提示：
正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质． 课件14张PPT。第一章 特殊平行四边形1．3 正方形的性质与判定第2课时 正方形的判定知识点：正方形的判定
1．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
2．四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )
A．BC＝CD B．AB＝CD
C．AD＝BC D．AC＝BDDA3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BCC4．(2015·日照)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD成为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④BD5．(2016·威海模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF
C．BD＝DF D．AC＝BF
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是__________________．AC＝BD或AB⊥BC7．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
解：(1)证△ABD≌△CBD
(2)∵∠PMD＝∠ADC＝∠PND＝90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB＝∠CDB，又∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN，∴矩形MPND是正方形DC8．顺次连接四边形ABCD各边中点所围成的四边形是正方形，则四边形ABCD的对角线是( )
A．互相垂直 B．互相平分
C．相等 D．互相垂直且相等
9．在四边形中，给出下列四个条件：①四边都相等，有一个内角是直角；②四个内角都相等，有一组邻边相等；③对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；④对角线互相垂直平分且相等．其中能判定这个四边形为正方形的条件是( )
A．①② B．②③
C．①②④ D．①②③④10．如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判定的方法是____________________________．有一组邻边相等的矩形是正方形11．(教材P25习题3变式)如图，正方形ABCD中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4.求证：四边形EFMN为正方形．
证明：易知AB＝AD，∠1＝∠4，∠BAE＝∠ADN，则△BAE≌△ADN，同理可得△BAE≌△ADN≌△DCM≌△CBF，∴AN＝DM＝CF＝BE，AE＝DN＝CM＝BF，∴EF＝EN＝NM＝MF，易知∠FEN＝90°，∴四边形EFMN为正方形14．(1)如图①，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由；
(2)如图②，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？说明理由；
(3)如图③，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．解：(1)菱形．理由：先证四边形为平行四边形，再证OD＝OC即可
(2)矩形．理由：先证四边形为平行四边形，再证∠COD＝90°即可
(3)正方形．理由：先证四边形为平行四边形，再证OD＝OC，∠COD＝90°即可方法技能：
判定一个四边形是正方形，其实质是判定该四边形既是矩形又是菱形．
易错提示：
由对角线判定正方形时一定要仔细，极易出错．
