12.4逆命题和逆定理
【题型1】互逆命题 4
【题型2】互逆定理 4
【题型3】线段垂直平分线的性质 5
【题型4】线段垂直平分线的实际应用 6
【题型5】最短路线问题 7
【题型6】线段垂直平分线的判定 9
【题型7】线段垂直平分线判定与性质的综合 10
【题型8】角平分线的性质 11
【题型9】角平分线的性质与三角形的面积 13
【题型10】三角形的内角平分线与外角平分线 15
【题型11】角平分线的实际应用 16
【题型12】角平分线的判定 17
【题型13】角平分线判定与性质的综合 19
【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
1.（2025春 市南区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①S△ABE＞S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD BC=AB AC，其中结论正确的有（ ） A．2个B．3个C．4个D．5个
【知识点2】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．______ ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．______ ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1.（2025 子洲县二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB=OC，BC=8，则CD的长为（ ） A．4B．5C．2D．6
2.（2025 广西模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC的长为（ ） A．3B．4C．5D．6
【知识点3】命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 1.（2025春 廊坊校级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ） A．对顶角相等B．两直线平行，内错角相等C．若两个实数相等，则它们的绝对值相等D．全等三角形的对应角相等
2.（2025春 灌云县期末）下列语言叙述是命题的是（ ） A．画两条相等的线B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等
【题型1】互逆命题
【典型例题】下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若且，则；③直角三角形的两锐角互余，其中逆命题正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( )
A.在同一个三角形中，等边对等角
B.两个角互余的三角形是等腰三角形
C.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D.如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【举一反三2】下列各命题的逆命题，属于假命题的是( )
A.锐角三角形是等边三角形
B.直角三角形的两个锐角互余
C.如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D.如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
【举一反三3】命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是 ，这个逆命题是 (填“真”或“假”)命题．
【举一反三4】写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
【题型2】互逆定理
【典型例题】下列说法中正确的是( )
A.任何一个命题都有逆命题
B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C.任何一个定理都有逆定理
D.若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题
【举一反三1】下列说法错误的是( )
A.任何命题都有逆命题
B.任何定理都有逆定理
C.真命题的逆命题不一定是真命题
D.互逆定理中的两个命题都是真命题
【举一反三2】定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ．
【举一反三3】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
【举一反三4】写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
【题型3】线段垂直平分线的性质
【典型例题】如图，直线，直线分别与，交于点，，分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，相交于，两点，作直线交直线于点，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．以下四个结论：(1)；(2)；(3)；(4)．以上恒成立的结论有( )
A.(1)(2) B.(2)(3)(4) C.(1)(2)(4) D.(1)(2)(3)(4)
【举一反三2】如图所示，已知线段，观察作图痕迹，所得结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在中，，点D是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ．
【举一反三4】如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为 ．
【举一反三5】如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？
【题型4】线段垂直平分线的实际应用
【典型例题】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的( )
A.三条高线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点
【举一反三1】如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建( )
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
【举一反三2】如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是 ．
【举一反三3】如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在何处．(不写作法，保留作图痕迹)
【题型5】最短路线问题
【典型例题】如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是( )
A.12 B.9 C.6 D.3
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是( )
A.2 B.12 C.5 D.7
【举一反三2】如图，在中，的面积是，为高，点分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【举一反三3】如图，在中，，以为边在外作等边三角形，过点D作的垂线，垂足为F，延长交于点E，连接．
(1)求证：．
(2)若，P是直线上的一点．则当P在何处时，最小？并求出此时的值．
【举一反三4】如图，已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走的总路程最短，请在图中作出该点Q的位置．
【题型6】线段垂直平分线的判定
【典型例题】如图，等腰中，，，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是( )
A.
B.直线是的垂直平分线
C.若，则直线是的垂直平分线
D.若，则直线是的垂直平分线
【举一反三2】在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有
(请填序号)①；②；③连接，则有是等边三角形；④连接，则有垂直平分．
【举一反三3】如图，在四边形中，，，过点作于点，作于点，连接，．
(1)求证：≌；
(2)求证：垂直平分．
【题型7】线段垂直平分线判定与性质的综合
【典型例题】如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为( )
A.20 B.23 C.26 D.29
【举一反三1】如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为( )
A.8 B.6 C.5 D.4
【举一反三2】如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．
【举一反三3】如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．
求证：(1)是的垂直平分线；
(2)为等腰三角形．
【题型8】角平分线的性质
【典型例题】如图，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，若，，则的长为( )
A.1 B.3 C. D.9
【举一反三1】如图，在中，为直角，先以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点F，作射线交于点G，P为上的一个动点，连接，若，则的最小值为( )
A.15 B.10 C.5 D.2.5
【举一反三2】如图，在中，，，点是上一点，且，过点分别作，，垂足分别是点，，下列结论：①；②点是的中点；③点是的中点；④．其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三3】如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
【举一反三4】如图，是等边三角形，点D是边的中点，，点P，Q是上的两个动点，且．若于点H，则的最小值为 .
【举一反三5】如图，中，平分，且，于E．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【举一反三6】如图，四边形中，，对角线，相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：．
【题型9】角平分线的性质与三角形的面积
【典型例题】如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【举一反三1】如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是( )
A.20 B.15 C.25 D.30
【举一反三2】如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，的面积是12，，的平分线交于点D，M，N分别是线段，上的动点，则的最小值是 ．
【举一反三4】如图，在中，，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上求作一点，使得点到边 ，的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，过点作于点．
求证：；
若，，求的长．
【题型10】三角形的内角平分线与外角平分线
【典型例题】如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为( )
A.②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④
【举一反三1】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为( )
A.②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④
【题型11】角平分线的实际应用
【典型例题】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为( )
A. B. C. D.
【举一反三1】为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有( )
A.4处 B.3处 C.2处 D.1处
【举一反三2】如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500 m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为( )
A.1300 m B.800 m C.500 m D.300 m
【举一反三3】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处．
【举一反三4】太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10 m，AC＝6 m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
【举一反三5】A、B是两个村庄，是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．(不用写作法，但是要保留作图痕迹)
【题型12】角平分线的判定
【典型例题】如图，在中，点O到边、、的距离相等，若，则( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
【举一反三3】如图， 是 内一点，且 到三边 的距离 ，若 ．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ．
【举一反三5】如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)求证：点O在的平分线上．
【举一反三6】如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，垂足分别为点，且．求证：为的角平分线．
【题型13】角平分线判定与性质的综合
【典型例题】如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是( )
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若，，下列四个结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三2】如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中错误的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三3】如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
【举一反三4】如图，在中，和的平分线相交于点，连接．求证：平分．
【举一反三5】已知：如图，在中，和的平分线相交于点，且，垂足分别为点．
(1)求证：；
(2)若，连接，求的度数．12.4逆命题和逆定理
【题型1】互逆命题 5
【题型2】互逆定理 7
【题型3】线段垂直平分线的性质 9
【题型4】线段垂直平分线的实际应用 12
【题型5】最短路线问题 14
【题型6】线段垂直平分线的判定 18
【题型7】线段垂直平分线判定与性质的综合 23
【题型8】角平分线的性质 26
【题型9】角平分线的性质与三角形的面积 32
【题型10】三角形的内角平分线与外角平分线 36
【题型11】角平分线的实际应用 41
【题型12】角平分线的判定 45
【题型13】角平分线判定与性质的综合 50
【知识点1】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
1.（2025春 市南区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①S△ABE＞S△BCE；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④AD BC=AB AC，其中结论正确的有（ ） A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B 【分析】根据三角形的中线平分面积判断①，等角的余角结合对顶角，判断②，同角的余角，结合角平分线的定义判断③，等积法，判断④即可． 【解答】解：根据三角形的中线、角平分线、高线性质逐项分析判断如下：
∵BE是△ABC的中线，
∴S△ABE=S△BCE，故①错误；
∵CF是△ABC的角平分线，
∴，
∵∠BAC=90°，AD是△ABC的高，
∴∠ACF+∠AFC=90°，∠CGD+∠BCF=90°，
∴∠AFC=∠CGD，
∵∠AGF=∠CGD，
∴∠AFG=∠AGF；故②正确；
∵∠ABC+∠ACB=90°，∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB，即：∠FAG=∠ACB=2∠ACF；故③正确；
∵，
∴AD BC=AB AC；故④正确；
故选：B． 【知识点2】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．______ ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．______ ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1.（2025 子洲县二模）如图，在△ABC中，AB=AC，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB=OC，BC=8，则CD的长为（ ） A．4B．5C．2D．6
【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【解答】解：∵AB=AC，OB=OC，O在AD上，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴CD=BC=4，
故选：A． 2.（2025 广西模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC的长为（ ） A．3B．4C．5D．6
【答案】D 【分析】连接BD，可知AD=BD，在Rt△BCD中，可知∠BDC=60°，可求得BD的长，则AC=AD+CD可得到答案． 【解答】解：连接BD，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵∠A=30°，
∴∠BCD=60°，
∴BD=2CD=4，
∴AC=AD+CD=4+2=6，
故选：D． 【知识点3】命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 1.（2025春 廊坊校级期末）下列命题的逆命题成立的是（ ） A．对顶角相等B．两直线平行，内错角相等C．若两个实数相等，则它们的绝对值相等D．全等三角形的对应角相等
【答案】B 【分析】写出各个命题的逆命题，然后判断是否成立即可． 【解答】解：A、对顶角相等的逆命题为相等的角为对顶角，不成立；
B、两直线平行，内错角相等的逆命题为内错角相等，两直线平行，成立，
C、若两个实数相等，则它们的绝对值相等的逆命题为绝对值相等的两个实数相等，不成立；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；
故选：B． 2.（2025春 灌云县期末）下列语言叙述是命题的是（ ） A．画两条相等的线B．等于同一个角的两个角相等吗？C．延长线段AO到C，使OC=OAD．两直线平行，内错角相等
【答案】D 【分析】根据命题的概念判断即可． 【解答】解：A、画两条相等的线，没有做出判断，不是命题；
B、等于同一个角的两个角相等吗？没有做出判断，不是命题；
C、延长线段AO到C，使OC=OA，没有做出判断，不是命题；
D、两直线平行，内错角相等，是命题；
故选：D．
【题型1】互逆命题
【典型例题】下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②若且，则；③直角三角形的两锐角互余，其中逆命题正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】①等腰三角形是轴对称图形；
它的逆命题是轴对称图形是等腰三角形，
故本选项错误，
②若且，则
它的逆命题是若，且
故本选项错误；
③直角三角形的两锐角互余．
它的逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形．
故本选项正确．
故选：B．
【举一反三1】“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是( )
A.在同一个三角形中，等边对等角
B.两个角互余的三角形是等腰三角形
C.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形
D.如果一个三角形有两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形
【答案】C
【解析】 “等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，
故选：C．
【举一反三2】下列各命题的逆命题，属于假命题的是( )
A.锐角三角形是等边三角形
B.直角三角形的两个锐角互余
C.如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等
D.如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等
【答案】D
【解析】锐角三角形是等边三角形的逆命题是“等边三角形是锐角三角形”，逆命题是真命题，故A不符合题意；
直角三角形的两个锐角互余的逆命题是“有两个角互余的三角形是直角三角形”，逆命题是真命题，故B不符合题意；
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等的逆命题是“如果两个三角形中三边分别对应相等，那么这两个三角形全等”，逆命题是真命题，故C不符合题意；
如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等的逆命题是“如果两个三角形中三角分别对应相等，那么这两个三角形全等”，逆命题是假命题，故D符合题意；
故选D．
【举一反三3】命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是 ，这个逆命题是 (填“真”或“假”)命题．
【答案】如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称 假
【解析】逆命题是“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”，该命题是假命题．
故答案为：“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”，“假”
【举一反三4】写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
【答案】解 (1)由题意可得，
“若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，
∵三角形全等对应边相等，
∴该命题是真命题，
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题；
(2)由题意可得，
“若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零，
∵两个互为相反的数和为0，
∴是真命题，
逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题．
【题型2】互逆定理
【典型例题】下列说法中正确的是( )
A.任何一个命题都有逆命题
B.若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
C.任何一个定理都有逆定理
D.若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题
【答案】A
【解析】A．任何一个命题都有逆命题，故该选项正确；
B．原命题是假命题，它的逆命题不一定是假命题，故该选项错误；
C．不一定每个定理都有逆定理，故该选项错误；
D．一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能是假命题，故该选项错误；
故选：A．
【举一反三1】下列说法错误的是( )
A.任何命题都有逆命题
B.任何定理都有逆定理
C.真命题的逆命题不一定是真命题
D.互逆定理中的两个命题都是真命题
【答案】B
【解析】A．两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件时，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，所以任何命题都有逆命题，即A说法正确，不符合题意；
B．如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，这两个定理称为互逆定理，并不是所有定理的逆命题都是正确，故B说法错误，符合题意．
C．真命题的逆命题不一定是真命题，如对顶角相等，其逆命题是如果两个角相等，则这两个角是对顶角，不是真命题，故C说法正确，不符合题意．
D．定理和逆定理都是证明了它们的正确性之后才称为定理和逆定理的，所以一定是正确的，故D说法正确，不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是 ．
【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形
【解析】交换命题的题设和结论即可确定该命题的逆命题．定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是：有两个角互余的三角形是直角三角形，
故答案为：有两个角互余的三角形是直角三角形．
【举一反三3】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．
(1)同旁内角互补，两直线平行．
(2)三角形的两边之和大于第三边．
【答案】解 (1)逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，
故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；
(2)逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，
故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．
【举一反三4】写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理．
【答案】解 “相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理．
【题型3】线段垂直平分线的性质
【典型例题】如图，直线，直线分别与，交于点，，分别以点，为圆心，适当长为半径画弧，相交于，两点，作直线交直线于点，连接，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由作法得垂直平分，
，
，
，
，
．
故选：C
【举一反三1】如图，已知是的角平分线，的垂直平分线交于点F，交的延长线于点E．以下四个结论：(1)；(2)；(3)；(4)．以上恒成立的结论有( )
A.(1)(2) B.(2)(3)(4) C.(1)(2)(4) D.(1)(2)(3)(4)
【答案】C
【解析】(1)是的垂直平分线，
，可证．
(2)是的垂直平分线，
，可证，
平分，
，
，
．
(3)与不一定互相垂直，
(3)不一定成立．
(4)由(1)(2)得，，
又，，
．
故选：C．
【举一反三2】如图所示，已知线段，观察作图痕迹，所得结论不一定成立的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由作图痕迹可知，为线段的垂直平分线，
∴，，，
故A，B，C选项一定成立，不符合题意，
由条件不能得出，
故D选项不一定成立，符合题意．
故选：D．
【举一反三3】如图，在中，，点D是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是 ．
【答案】
【解析】点是的垂直平分线与的交点，
，
，
，，
将沿着翻折得到，
，
．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，，，于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的度数为 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点E，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三5】如图，在中，是的垂直平分线，若，，求的周长？
【答案】解 是的垂直平分线．
，
，
的周长，
答：的周长是13．
【题型4】线段垂直平分线的实际应用
【典型例题】三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的( )
A.三条高线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点
【答案】B
【解析】∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，
∴ 建造一座公园，且三个小区到公园距离相等，
则公园最适当的建造位置是在的三边垂直平分线的交点处．
故选：B．
【举一反三1】如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建( )
A.A处 B.B处 C.C处 D.D处
【答案】C
【解析】如图，可知两个圆弧交点所连直线为线段MN的垂直平分线，
根据垂直平分线的性质，可得发射塔应该在C处，
故选：C．
【举一反三2】如图所示的是学校行知苑中亭子的顶部，将其顶部抽象成一个三角形，在中，DE是AC的垂直平分线，厘米，的周长等于13厘米，则的周长是 ．
【答案】18厘米
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA=DC，
∵△ABD的周长等于13厘米，
∴AD+BD+AB=CD+BD+AB=13厘米，
即AB+BC=13厘米，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+5=18(厘米)，
故答案为：18厘米．
【举一反三3】如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在何处．(不写作法，保留作图痕迹)
【答案】解 如图，点P即为所求.
【题型5】最短路线问题
【典型例题】如图，在等边中，点E是边的中点，点P是的中线上的动点，且，则的最小值是( )
A.12 B.9 C.6 D.3
【答案】B
【解析】连接，交于点F，连接，如图所示：
∵是等边三角形，是边上的中线，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵当B，，三点共线时，最小，的最小值，
∴当点P在点F处时，的最小值，且最小值为的长，
∵是的中线，
∴，
∵，，
∴，
即的最小值为9，
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上任意一点，△BCF的周长的最小值是( )
A.2 B.12 C.5 D.7
【答案】B
【解析】是线段的垂直平分线，
，关于直线为对称，
和重合时，最小，
即的周长的最小值，
是线段的垂直平分线，
，
的最小值，
的最小周长，
故选：B．
【举一反三2】如图，在中，的面积是，为高，点分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】连接，，
∴，
∴，
∴当时，取最小值，最小值为的长度，
又∵，的面积是，
∴，即，
解得：，即的最小值是，
故答案为：．
【举一反三3】如图，在中，，以为边在外作等边三角形，过点D作的垂线，垂足为F，延长交于点E，连接．
(1)求证：．
(2)若，P是直线上的一点．则当P在何处时，最小？并求出此时的值．
【答案】(1)证明 ∵为等边三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
(2)解 连接，，
∵垂直平分，P在上，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当P与E重合时最小，即最小，
∴最小为．
【举一反三4】如图，已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走的总路程最短，请在图中作出该点Q的位置．
【答案】解 过直线作点的对称点，连接,与的交点即可点的位置，
如图所示：
【题型6】线段垂直平分线的判定
【典型例题】如图，等腰中，，，，下列结论：①；②；③；④垂直平分；正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，故①②正确；
∵，
∴，
∵，
∴点A、F在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，故④正确；
延长交于点G，如图所示：
∵，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
综上分析可知，正确的有4个，故D正确．
故选：D．
【举一反三1】如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是( )
A.
B.直线是的垂直平分线
C.若，则直线是的垂直平分线
D.若，则直线是的垂直平分线
【答案】C
【解析】∵，
∴点P在直线的垂直平分线上，
∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意
根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意；
故选：C．
【举一反三2】在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有
(请填序号)①；②；③连接，则有是等边三角形；④连接，则有垂直平分．
【答案】①②④
【解析】①∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故①正确；
②∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵D为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵在中，
∴，
∴不可能是等边三角形，故③错误；
④∵，
∴，，
∴点M、B在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
【举一反三3】如图，在四边形中，，，过点作于点，作于点，连接，．
(1)求证：≌；
(2)求证：垂直平分．
【答案】证明 (1) ，，
，
在和中，
，
≌；
(2) ≌，
，
，，
≌ ，
，
，，
垂直平分．
【题型7】线段垂直平分线判定与性质的综合
【典型例题】如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为( )
A.20 B.23 C.26 D.29
【答案】C
【解析】∵E为边的中点，，
∴垂直平分，，
∴，
∵的周长为20
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选；C．
【举一反三1】如图，在四边形中，，，，点E在上，连接相交于点F，．若，则的长为( )
A.8 B.6 C.5 D.4
【答案】B
【解析】如图，连接交于点O，
∵，
∴垂直平分，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选B．
【举一反三2】如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．
【答案】2
【解析】∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
【举一反三3】如图，在中，，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．
求证：(1)是的垂直平分线；
(2)为等腰三角形．
【答案】(1)证明 ∵在中，，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，，
∴是的垂直平分线；
(2)证明 ∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰三角形．
【题型8】角平分线的性质
【典型例题】如图，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，若，，则的长为( )
A.1 B.3 C. D.9
【答案】D
【解析】连结，，过点C作于点H，
垂直平分，
，
平分，，
，
，，
，
，
，
在和中，，，
，
，
．
故选D．
【举一反三1】如图，在中，为直角，先以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点F，作射线交于点G，P为上的一个动点，连接，若，则的最小值为( )
A.15 B.10 C.5 D.2.5
【答案】C
【解析】根据作图痕迹，平分，
∵P为上的一个动点，
∴当时，的长最小，过G作于，
∵平分，为直角，，
∴，
故的最小值为5，
故选：C．
【举一反三2】如图，在中，，，点是上一点，且，过点分别作，，垂足分别是点，，下列结论：①；②点是的中点；③点是的中点；④．其中正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【解析】① ，，
．
，
．
，
．
．
是的角平分线．
，
，选项①正确．
② ，
，但，选项②错误．
③ ，，
垂直平分，选项③正确．
④ ，，
．
又 ，
，选项④正确．
综上，①③④正确．
故选C．
【举一反三3】如图，平分，，如果，那么点到的距离等于
【答案】6
【解析】过作于，
平分，，
，
点到的距离等于6．
故答案为：6．
【举一反三4】如图，是等边三角形，点D是边的中点，，点P，Q是上的两个动点，且．若于点H，则的最小值为 .
【答案】6
【解析】连接，过点Q作于点E，连接交于点F，连接，如图所示，
是等边三角形，点D是边的中点，
，
，，
，
，
，
，
当最小时，最小，
时，即E为中点时，最小，
是等边三角形，，
时，最小，
的最小值为6，
故答案为：6.
【举一反三5】如图，中，平分，且，于E．
(1)求证：；
(2)如果，，求的长．
【答案】(1)证明 如图所示，过点D作交延长线于F，
∵平分，，
∴，，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴
(2)解 ∵平分，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，
∴，
∴．
【举一反三6】如图，四边形中，，对角线，相交于点O，，垂足分别是E、F，求证：．
【答案】证明 在和中，
，
∴，
∴，
∴平分．
又∵，，
∴．
【题型9】角平分线的性质与三角形的面积
【典型例题】如图，是的角平分线，于点F，且，，，则的面积为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
【答案】C
【解析】如图，过点D作于H，
∵是的角平分线，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
解得．
故选：C．
【举一反三1】如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是( )
A.20 B.15 C.25 D.30
【答案】D
【解析】如图，连接，作，，
∵和分别平分和，
∴点O到、、的距离相等，即，
∵的周长为20，，
∴
，
．
故选：D．
【举一反三2】如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过O作于M，于N，于K，
∵的三条角平分线的交点为O，
∴，
∴的面积，的面积，的面积，
∵、、的长分别为、和，
∴．
故选：A．
【举一反三3】如图，的面积是12，，的平分线交于点D，M，N分别是线段，上的动点，则的最小值是 ．
【答案】3
【解析】过作，过作，
∵是的平分线，，，
∴，
，
∴，
∴当三点共线时最小，
过作，即可得到，
∵的面积是，，
∴，
故答案为：3．
【举一反三4】如图，在中，，．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在边上求作一点，使得点到边 ，的距离相等(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，过点作于点．
求证：；
若，，求的长．
【答案】(1)解 如图，作的平分线，则为所求，
(2)证明 ∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
解 ∵，
∴，
∴，
∴．
【题型10】三角形的内角平分线与外角平分线
【典型例题】如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为( )
A.②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④
【答案】B
【解析】∵平分，，
∴，
∵，
∴，即，故①错误；
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵平分，平分，
∴为外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
故选：B．
【举一反三1】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】延长，作，，，
设，
∵平分，
∴，，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴)，
∴．
故选．
【举一反三2】如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】延长，作，，，
设，
∵平分，
∴，，
∵平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴)，
∴．
故选．
【举一反三3】如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为( )
A.②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④
【答案】B
【解析】∵平分，，
∴，
∵，
∴，即，故①错误；
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，故③正确；
∵平分，平分，
∴为外角的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故④正确；
故选：B．
【题型11】角平分线的实际应用
【典型例题】如图，三角形地块中，边，，其中绿化带是该三角形地块的角平分线．若三角形地块的面积为，则三角形地块的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】过分别作于，于，
是的平分线，
，
，的面积为，
，
的面积，
故选：B．
【举一反三1】为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有( )
A.4处 B.3处 C.2处 D.1处
【答案】C
【解析】∵和的平分线的交点到、、距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∵和的平分线的交点到、、距离相等，
∴这两个角的平分线的交点满足条件；
∴满足这条件的点有2个；
故选：C．
【举一反三2】如图所示，有三条道路围成，其中，，一个人从B处出发沿着行走了500 m，到达D处，恰为的平分线，则此时这个人到的最短距离为( )
A.1300 m B.800 m C.500 m D.300 m
【答案】D
【解析】过点D作于点E，
∵为的平分线，，
∴，
故选D．
【举一反三3】三条公路两两相交，要在该平面内修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离都相等，则满足条件的加油站可以建 处．
【答案】4
【解析】∵三条公路两两相交，要求加油站到这三条公路的距离都相等，
∴加油站在角平分线的交点处，画出加油站位置如图所示，共4处．
故答案为：4．
【举一反三4】太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10 m，AC＝6 m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．
【答案】解 过点分别作，是垂足．
由，得，，
是的平分线，
．
【举一反三5】A、B是两个村庄，是两条马路．为发展经济，提高农民收入，镇政府决定建立一个蔬菜批发市场，选址要使市场到两条马路和两个村庄的距离都相等．请你用尺规在图中找出市场的位置．(不用写作法，但是要保留作图痕迹)
【答案】解 如图所示，作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点P即为所求．
【题型12】角平分线的判定
【典型例题】如图，在中，点O到边、、的距离相等，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 中，点O到边、、的距离相等，
点O是三条角平分线的交点，
平分，平分，
，，
又 ，
，
，
故选B．
【举一反三1】如图，现有两把一样的直尺，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在的内部交于点，作射线，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】过点作、，如图所示：
两把一样的直尺，
，
由角平分线的判定定理可得是的角平分线，
，
，
故选：A．
【举一反三2】如图，点是内一条射线上的一点，且于点于点，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，，
∴平分，
∵，
∴．
故选D．
【举一反三3】如图， 是 内一点，且 到三边 的距离 ，若 ．
【答案】
【解析】到三边的距离，
平分，平分，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在四边形ABCD中，，，垂足为点E．如果，，那么 ．
【答案】
【解析】过点作，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴为等腰三角形，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【举一反三5】如图，，，垂足分别为D，E，，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)求证：点O在的平分线上．
【答案】(1)证明 ∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即；
(2)证明 由(1)可知，．
∵，
∴，
∴，
∴点O在的平分线上．
【举一反三6】如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，垂足分别为点，且．求证：为的角平分线．
【答案】证明 连接，如图所示：
为的垂直平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
为的角平分线．
【题型13】角平分线判定与性质的综合
【典型例题】如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作于N，
∵，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴，
又，，
∴，
故选：B．
【举一反三1】如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若，，下列四个结论：①平分；②；③；④，其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【解析】如图，过点作于点，
是的角平分线，，
，
，
，
，,
，
平分，①结论正确；
，而的度数不确定，
不一定等于，
与不一定平行，②结论错误；
，
，
平分，
，
，
，
是平分，
，③结论正确；
在和中，
，
，
，
，
，
，
，④结论正确，
即正确的结论有①③④，共3个，
故选：D．
【举一反三2】如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④．其中错误的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】如下图，过点作于点，
∵平分，，，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，故结论①正确；
∵，且点在内部，
∴点在的平分线上，故结论②正确；
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故结论④正确；
∵，，
∴，
∵
又∵，
∴，
∴，
即，故结论③错误．
综上所述，结论错误的是③，共计1个．
故选：A．
【举一反三3】如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分平分，若，则度数为 ．
【答案】
【解析】连接，过作，如图所示：
∵平分，平分，
，
∴平分，
∴，
∵平分，平分，
∴，
，
，
∴，
∴，
∵将纸片沿折叠，点A落在点处，
∴，
∴，
，
∴，
是的一个外角，
∴，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在中，和的平分线相交于点，连接．求证：平分．
【答案】证明 过点作于点于点于点，
，分别平分和，
，
．
于点于点，
平分．
【举一反三5】已知：如图，在中，和的平分线相交于点，且，垂足分别为点．
(1)求证：；
(2)若，连接，求的度数．
【答案】(1)证明 过点作于，
∵和的平分线相交于点，且，
∴，，
∴；
(2)解 ∵，，
∴平分，，
∵,
∴,
∴．
