21.2二次根式的乘除
【题型1】二次根式算数平方根的积运算 3
【题型2】二次根式积的算术平方根运算 4
【题型3】二次根式含有字母的乘法 4
【题型4】二次根式乘法的实际应用 5
【题型5】二次根式的除法运算 5
【题型6】二次根式含有字母的除法运算 6
【题型7】二次根式除法的实际应用 6
【题型8】二次根式的乘除混合运算 7
【题型9】最简二次根式的概念 7
【题型10】最简二次根式的化简 8
【题型11】分母有理化 9
【知识点1】最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 1.（2025春 林州市月考）下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A．B．C．D．
【知识点2】二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：= （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： =（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 =（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠-4×-9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 1.（2025 天元区校级模拟）计算的结果是（ ） A．16B．±16C．4D．±4
2.（2024秋 浑南区期末）下列计算正确的是（ ） A．B．C．D．
【知识点3】分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①==；②==．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：-的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 1.（2024 武威一模）下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A．B．C．D．
【知识点4】二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 1.（2024春 潮阳区校级期中）已知x=-1，y=+1，则的值为（ ） A．-2B．2C．2D．-2
2.（2024 河北）若，，则=（ ） A．2B．4C．D．
【题型1】二次根式算数平方根的积运算
【典型例题】下列各数中，与2的积为有理数的是（ ）
A.2+ B.2﹣ C.﹣2+ D.
【举一反三1】已知a＝，b＝，用a、b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A.2a B.ab2 C.ab D.a2b
【举一反三2】计算：2﹣1+ ＝ ．
【举一反三3】设＝a，＝b，请用含有a、b的式子表示＝ ．
【举一反三4】计算：
（1）；
（2）．
【举一反三5】化简的结果是多少？
【题型2】二次根式积的算术平方根运算
【典型例题】下列根式中化简正确的是（ ）
A. ＝6a B.＝a C.＝ab D.＝a+b
【举一反三1】若则（ ）
A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
【举一反三2】下列根式中化简正确的是（ ）
A. ＝6a B.＝a C.＝ab D.＝a+b
【举一反三3】观察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（ ）
A.特殊与一般 B.整体 C.转化 D.分类讨论
【举一反三4】化简：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）×．
【举一反三5】是否存在这样的整数x，使它同时满足以下两个条件：
条件一：＝ ；
条件二：的值是有理数．
若存在，求出x的值，若不存在，说明理由．
【题型3】二次根式含有字母的乘法
【典型例题】对于实数a、b，设min{a，b}表示a，b两个数中的较小数，例如：min{3，﹣5}＝﹣5．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2的值为（ ）
A. B. C.12 D.
【举一反三1】下列等式成立的是（ ）
A.＝a+b B.＝ C.＝ D.＝0
【举一反三2】＝ ．
【举一反三3】计算： ＝ ．
【举一反三4】计算： .
【举一反三5】计算：3×2．
【题型4】二次根式乘法的实际应用
【典型例题】一个长方形的长和宽分别是、，则它的面积是（ ）
A. B.2（3+2） C. D.
【举一反三1】在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（ ）
A. B.12 C.9 D.8
【举一反三2】（1）正方形的面积为50，则它的边长为 ；
（2）直角三角形的两条直角边分别为，，则它的面积为 ．
【举一反三3】如图，有一张面积为50 cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【举一反三4】在交通事故的处理中，警察往往用公式v＝16来判断该车辆是否超速，其中v表示车速（单位：千米/时）．某日，在一段限速为60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后，经过测量，得出一辆车的d＝20，f＝1.2，请问该车超速了吗？
【题型5】二次根式的除法运算
【典型例题】能与相乘得1的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在将式子（m＞0）化简时，小明的方法是：；小亮的方法是：；小丽的方法是：．则下列说法正确的是（ ）
A.小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B.小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C.小明、小亮、小丽的方法都正确
D.小明、小丽、小亮的方法都不正确
【举一反三2】计算：＝ ．
【举一反三3】计算：的结果是 ．
【举一反三4】计算：
（1）；
（2）．
【举一反三5】计算：
（1）;
（2）．
【题型6】二次根式含有字母的除法运算
【典型例题】计算÷的结果是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】计算的结果是（ ）
A.2x B.x C.6x D.x
【举一反三2】计算：÷＝ ．
【举一反三3】＝ ．
【举一反三4】已知m＝（﹣）×（﹣2）．求的值．
【题型7】二次根式除法的实际应用
【典型例题】已知长方体的体积V＝4，高h＝，则它的底面积S为（ ）
A. B.2 C.2 D.4
【举一反三1】矩形的面积为18，一边长为，则周长为（ ）
A.18 B. C. D.24
【举一反三2】长方形的面积为18，其中一条边长为2，则另一条边长为（ ）
A. B.2 C.3 D.4
【举一反三3】已知长方形的面积为24，其中一边长为，则另一边长为 ．
【举一反三4】已知长方形的面积是48 cm2，其中一边的长是，则该长方形的周长为 ．
【举一反三5】已知长方体的体积V＝4，高h＝3，求它的底面积S．
【题型8】二次根式的乘除混合运算
【典型例题】计算÷ 的值等于（ ）
A. B. C. D.|b|
【举一反三1】计算等于（ ）
A. B. C. D.ab
【举一反三2】计算：6×÷2的结果是（ ）
A.﹣4 B.﹣2 C.40 D.7
【举一反三3】计算：＝ ．
【举一反三4】计算：＝ ．
【举一反三5】计算：9×÷3．
【举一反三6】计算：4÷3 2a．
【题型9】最简二次根式的概念
【典型例题】下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】有下列二次根式：①；②；③；④2；⑤；⑥，琪琪说“最简二次根式只有①④”，嘉嘉说：“我认为最简二次根式只有③⑥”，则（ ）
A.嘉嘉说得对
B.琪琪说得对
C.嘉嘉和琪琪合在一起对
D.嘉嘉和琪琪合在一起也不对
【举一反三2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
【举一反三4】如果是最简二次根式，求2a的值．
【举一反三5】如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【题型10】最简二次根式的化简
【典型例题】化简为最简二次根式是（ ）
A. B.3 C. D.
【举一反三1】化简为最简二次根式，正确的是（ ）
A. B.6 C. D.6
【举一反三2】将化为最简二次根式是 ．
【举一反三3】把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）．
【举一反三4】把下列二次根式化简成最简二次根式：
（1）．
（2）．
（3）．
【题型11】分母有理化
【典型例题】下列各式中，互为有理化因式的是（ ）
A.和 B.和﹣ C.和 D.x+y和x﹣y
【举一反三1】已知：，则的值等于（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三2】设的整数部分为a，小数部分为b，则a2+3ab+b2＝ .
【举一反三3】化简：．
【举一反三4】比较与的大小．21.2二次根式的乘除
【题型1】二次根式算数平方根的积运算 5
【题型2】二次根式积的算术平方根运算 6
【题型3】二次根式含有字母的乘法 8
【题型4】二次根式乘法的实际应用 9
【题型5】二次根式的除法运算 11
【题型6】二次根式含有字母的除法运算 13
【题型7】二次根式除法的实际应用 14
【题型8】二次根式的乘除混合运算 15
【题型9】最简二次根式的概念 17
【题型10】最简二次根式的化简 19
【题型11】分母有理化 20
【知识点1】最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 1.（2025春 林州市月考）下列二次根式属于最简二次根式的是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，由此判断即可． 【解答】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、被开方数含有能开得尽方的因数9，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B． 【知识点2】二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：= （a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则： =（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：=（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：=（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
在使用性质 =（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠-4×-9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 1.（2025 天元区校级模拟）计算的结果是（ ） A．16B．±16C．4D．±4
【答案】C 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式=
=
=4．
故选：C． 2.（2024秋 浑南区期末）下列计算正确的是（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】根据积的乘方、二次根式的性质、二次根式的乘法法则、同类二次根式解答即可． 【解答】解：A、，选项错误；
B、，选项错误；
C、，选项正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，选项错误；
故选C． 【知识点3】分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①==；②==．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：-的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 1.（2024 武威一模）下列选项中，是最简二次根式的是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据分母有理化的方法和最简二次根式定义进行解题即可． 【解答】解：A、=4，故不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、==，不符合题意；
D、===，不符合题意；
故选：B． 【知识点4】二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 1.（2024春 潮阳区校级期中）已知x=-1，y=+1，则的值为（ ） A．-2B．2C．2D．-2
【答案】C 【分析】先求出xy=1，y-x=2，再将所求式子变形后代入即可． 【解答】解：∵x=-1，y=+1，
∴xy=（-1）（+1）=1，y-x=（+1）-（-1）=2，
∴-===2，
故选：C． 2.（2024 河北）若，，则=（ ） A．2B．4C．D．
【答案】A 【分析】把a、b的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵a=，b=，
∴===2，
故选：A．
【题型1】二次根式算数平方根的积运算
【典型例题】下列各数中，与2的积为有理数的是（ ）
A.2+ B.2﹣ C.﹣2+ D.
【答案】D
【解析】A、（2+）×2＝6+4为无理数，故不能；
B、（2﹣）×2＝4﹣6为无理数，故不能；
C、（﹣2+）×2＝﹣4+6为无理数，故不能；
D、2×＝6为有理数．
故选：D．
【举一反三1】已知a＝，b＝，用a、b的代数式表示，这个代数式是（ ）
A.2a B.ab2 C.ab D.a2b
【答案】D
【解析】a a b＝,
故选：D．
【举一反三2】计算：2﹣1+ ＝ ．
【答案】10
【解析】2﹣1+ ＝+10＝10．
故答案为：10．
【举一反三3】设＝a，＝b，请用含有a、b的式子表示＝ ．
【答案】3ab
【解析】∵＝3×，＝a，＝b，
∴＝3ab．
故答案为：3ab．
【举一反三4】计算：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）原式＝＝4；
（2）原式＝3×6×＝．
【举一反三5】化简的结果是多少？
【答案】解：
＝（﹣×）2009×（﹣）
＝．
【题型2】二次根式积的算术平方根运算
【典型例题】下列根式中化简正确的是（ ）
A. ＝6a B.＝a C.＝ab D.＝a+b
【答案】A
【解析】A、×＝6a，此选项正确；
B、＝a，故此选项错误；
C、＝ab，故此选项错误；
D、是最简二次根式，无法化简，故此选项错误．
故选：A．
【举一反三1】若则（ ）
A.x≥6 B.x≥0 C.0≤x≤6 D.x为一切实数
【答案】A
【解析】根据题意得x≥0且x﹣6≥0，
所以x≥6．
故选：A．
【举一反三2】下列根式中化简正确的是（ ）
A. ＝6a B.＝a C.＝ab D.＝a+b
【答案】A
【解析】A、×＝6a，此选项正确；
B、＝a，故此选项错误；
C、＝ab，故此选项错误；
D、是最简二次根式，无法化简，故此选项错误．
故选：A．
【举一反三3】观察式子：，＝2×3＝6；＝，；，，由此猜想＝（a≥0，b≥0）．上述探究过程蕴含的思想方法是（ ）
A.特殊与一般 B.整体 C.转化 D.分类讨论
【答案】A
【解析】探究过程蕴含的思想方法是特殊与一般，
故选：A．
【举一反三4】化简：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）×．
【答案】解：（1）＝×＝7×11＝77；
（2）＝＝5×13＝65；
（3）＝7×0.4＝2.8；
（4）＝2；
（5）＝2|ab|；
（6）×＝0.2×3×0.8×18＝8.64．
【举一反三5】是否存在这样的整数x，使它同时满足以下两个条件：
条件一：＝ ；
条件二：的值是有理数．
若存在，求出x的值，若不存在，说明理由．
【答案】解：由＝ ，得，
解得13≤x≤20．
由是有理数，得x＝16．
【题型3】二次根式含有字母的乘法
【典型例题】对于实数a、b，设min{a，b}表示a，b两个数中的较小数，例如：min{3，﹣5}＝﹣5．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2的值为（ ）
A. B. C.12 D.
【答案】D
【解析】∵min{，a}＝a，min{，b}＝，
∴a＜＜b，且a，b是连续的正整数，
∴a＝6，b＝7，
则2
＝2×
＝2×
＝．
故选：D．
【举一反三1】下列等式成立的是（ ）
A.＝a+b B.＝ C.＝ D.＝0
【答案】D
【解析】A、是最简二次根式，此选项错误；
B、＝（a≥0，b≥0）此选项错误；
C、＝，（a≥0，b＞0）此选项错误；
D、＝0，此选项正确；
故选：D．
【举一反三2】＝ ．
【答案】﹣10xy
【解析】因为x＞0，y＜0，
所以原式＝．
故答案为：﹣10xy．
【举一反三3】计算： ＝ ．
【答案】
【解析】原式＝＝，
故答案为：．
【举一反三4】计算： .
【答案】解：原式＝
＝
＝．
【举一反三5】计算：3×2．
【答案】解：3×2
＝3×4
＝12．
【题型4】二次根式乘法的实际应用
【典型例题】一个长方形的长和宽分别是、，则它的面积是（ ）
A. B.2（3+2） C. D.
【答案】C
【解析】∵长方形的长和宽分别是3和2，
∴长方形的面积＝3×＝18．
故选：C．
【举一反三1】在一个直角三角形中，斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，则另一条直角边的长为（ ）
A. B.12 C.9 D.8
【答案】D
【解析】在直角三角形中，
∵斜边的长为10，其中一条直角边的长为6，
∴另一条直角边的长为：．
故选：D．
【举一反三2】（1）正方形的面积为50，则它的边长为 ；
（2）直角三角形的两条直角边分别为，，则它的面积为 ．
【答案】5；6．
【解析】（1）设正方形的边长为x，则x2＝50,
∴x＝＝5，负值舍去），
故答案为：5；
（2）∵直角三角形的两条直角边的长分别为：，，
∴这个直角三角形的面积为：××＝6．
故答案为：6．
【举一反三3】如图，有一张面积为50 cm2的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为 cm．
（1）求长方体盒子的容积；
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【答案】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为：（cm3），
答：长方体盒子的容积为18 cm3；
（2）长方体盒子的侧面积为：（cm2），
答：这个长方体盒子的侧面积为24 cm2．
【举一反三4】在交通事故的处理中，警察往往用公式v＝16来判断该车辆是否超速，其中v表示车速（单位：千米/时）．某日，在一段限速为60千米/时的公路上，发生了一起两车追尾事故，警察赶到后，经过测量，得出一辆车的d＝20，f＝1.2，请问该车超速了吗？
【答案】解：当d＝20，f＝1.2时，v＝16＝32．
∵32＞60，
∴该车超速了．
【题型5】二次根式的除法运算
【典型例题】能与相乘得1的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵＝，，
∴选项中计算结果为的符合题意，
A．，不合题意，
B．，符合题意，
C．＝，不合题意，
D．＝，不合题意．
故选：B．
【举一反三1】在将式子（m＞0）化简时，小明的方法是：；小亮的方法是：；小丽的方法是：．则下列说法正确的是（ ）
A.小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确
B.小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确
C.小明、小亮、小丽的方法都正确
D.小明、小丽、小亮的方法都不正确
【答案】C
【解析】∵（m＞0），
∴，故小明的方法正确；
，故小亮的方法正确；
，故小丽的方法正确．
故三者的方法都正确．
故选：C．
【举一反三2】计算：＝ ．
【答案】﹣2
【解析】﹣＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三3】计算：的结果是 ．
【答案】7
【解析】＝，
故答案为：7．
【举一反三4】计算：
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝＝×2＝3．
【举一反三5】计算：
（1）;
（2）．
【答案】解：（1）原式＝（6÷3）×＝2；
（2）原式＝3××＝．
【题型6】二次根式含有字母的除法运算
【典型例题】计算÷的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式＝＝，
故选：A．
【举一反三1】计算的结果是（ ）
A.2x B.x C.6x D.x
【答案】D
【解析】原式＝
＝
＝x．
故选：D．
【举一反三2】计算：÷＝ ．
【答案】
【解析】原式＝＝,
故答案为：．
【举一反三3】＝ ．
【答案】a
【解析】∵a＞0，
∴原式＝＝＝|a|＝a，
故答案为：a.
【举一反三4】已知m＝（﹣）×（﹣2）．求的值．
【答案】解：∵m＝（﹣）×（﹣2）＝2，
∴＝＝2．
【题型7】二次根式除法的实际应用
【典型例题】已知长方体的体积V＝4，高h＝，则它的底面积S为（ ）
A. B.2 C.2 D.4
【答案】C
【解析】∵V＝Sh，
∴S＝＝＝2，
故选：C．
【举一反三1】矩形的面积为18，一边长为，则周长为（ ）
A.18 B. C. D.24
【答案】C
【解析】根据题意矩形的另一边长为18÷2＝3，
则矩形的周长为2×（2+3）＝10，
故选：C．
【举一反三2】长方形的面积为18，其中一条边长为2，则另一条边长为（ ）
A. B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】18÷2＝3．
故选：C．
【举一反三3】已知长方形的面积为24，其中一边长为，则另一边长为 ．
【答案】
【解析】＝×＝＝4，
故答案为：．
【举一反三4】已知长方形的面积是48 cm2，其中一边的长是，则该长方形的周长为 ．
【答案】
【解析】设长方形的另外一边为x（cm），
∴x＝＝6（cm），
∴周长为：2（6+）＝20（cm），
故答案为：20（cm）．
【举一反三5】已知长方体的体积V＝4，高h＝3，求它的底面积S．
【答案】解：底面积S＝4÷3＝．
【题型8】二次根式的乘除混合运算
【典型例题】计算÷ 的值等于（ ）
A. B. C. D.|b|
【答案】A
【解析】÷
＝×
＝．
故选：A．
【举一反三1】计算等于（ ）
A. B. C. D.ab
【答案】C
【解析】＝×＝．
故选：C．
【举一反三2】计算：6×÷2的结果是（ ）
A.﹣4 B.﹣2 C.40 D.7
【答案】D
【解析】6×÷2
＝6××
＝7．
故选：D．
【举一反三3】计算：＝ ．
【答案】
【解析】＝××＝．
故答案为：．
【举一反三4】计算：＝ ．
【答案】
【解析】
＝6÷3×
＝2×
＝．
故答案为：．
【举一反三5】计算：9×÷3．
【答案】解：原式＝9××
＝
＝×10
＝45．
【举一反三6】计算：4÷3 2a．
【答案】解：4÷3 2a
＝4÷3×2a
＝a
＝
＝×
＝．
【题型9】最简二次根式的概念
【典型例题】下列根式中不是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【举一反三1】有下列二次根式：①；②；③；④2；⑤；⑥，琪琪说“最简二次根式只有①④”，嘉嘉说：“我认为最简二次根式只有③⑥”，则（ ）
A.嘉嘉说得对
B.琪琪说得对
C.嘉嘉和琪琪合在一起对
D.嘉嘉和琪琪合在一起也不对
【答案】C
【解析】①，③，④2，⑥是最简二次根式，
＝|xy2|，⑤＝，不是最简二次根式，
因此嘉嘉和琪琪合在一起对，
故选：C．
【举一反三2】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、＝2，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝|x|，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【举一反三3】列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ．
【答案】，
【解析】＝10，＝2，＝，
故这些二次根式中是最简二次根式的为：，．
故答案为：，．
【举一反三4】如果是最简二次根式，求2a的值．
【答案】解：由题意可知：a＝1，2b﹣5＝1，
∴b＝3，
∴2a＝2＝8．
【举一反三5】如果是最简二次根式，求的值，并求的平方根．
【答案】解：由题意可知：a＝1，2b﹣5＝1，
解得：a＝1，b＝3，
∴＝＝4，
∴的平方根为±2．
【题型10】最简二次根式的化简
【典型例题】化简为最简二次根式是（ ）
A. B.3 C. D.
【答案】C
【解析】＝，
故选：C．
【举一反三1】化简为最简二次根式，正确的是（ ）
A. B.6 C. D.6
【答案】A
【解析】由题可知，＝＝＝．
故选：A．
【举一反三2】将化为最简二次根式是 ．
【答案】4
【解析】＝＝4．
故答案为：4．
【举一反三3】把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】解：（1）＝＝4；
（2）＝＝；
（3）＝＝＝．
【举一反三4】把下列二次根式化简成最简二次根式：
（1）．
（2）．
（3）．
【答案】解：．
．
．
【题型11】分母有理化
【典型例题】下列各式中，互为有理化因式的是（ ）
A.和 B.和﹣ C.和 D.x+y和x﹣y
【答案】D
【解析】∵（x+y）（x﹣y）＝（x）2﹣（y）2＝ax2﹣by2．
∴x+y和x﹣y互为有理化因式．
故选：D．
【举一反三1】已知：，则的值等于（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】∵a＝＝+3，
b＝＝﹣3；
∴＝＝＝6．
故选：B．
【举一反三2】设的整数部分为a，小数部分为b，则a2+3ab+b2＝ .
【答案】7+4
【解析】∵＝＝＝2+，
∴其整数部分为a＝3，小数部分b＝2+﹣3＝﹣1，
∴原式＝（a+b）2+ab
＝（3+﹣1）2+3×（﹣1）
＝（2+）2+3×（﹣1）
＝4+3+4+3﹣3
＝7+4．
故答案为：7+4．
【举一反三3】化简：．
【答案】解：＝＝＝．
【举一反三4】比较与的大小．
【答案】解：，
．
∵，
∴．
