23.2相似图形
【题型1】相似图形的判别 3
【题型2】相似多边形的性质 5
【题型3】利用相似多边形性质的求值 8
【知识点1】相似图形 （1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 1.（2024秋 辽中区期末）下列说法不一定正确的是（ ） A．所有的等边三角形都相似B．有一个角是100°的等腰三角形相似C．所有的正方形都相似D．所有的矩形都相似
【答案】D 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，选出正确答案． 【解答】解：A、所有的等边三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
B、有一个角是100°的等腰三角形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
C、所有的正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；
D、所有的矩形，属于不唯一确定图形，不一定相似，故错误．
故选：D． 【知识点2】相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等． 1.（2024秋 顺德区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°，则∠B等于（ ） A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C 【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可． 【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°，
∴∠E=∠A=8°，∠G=∠C=90°，
∴∠B=360°-∠A-∠D-∠C=360°-80°-120°-90°=70°，
故选：C．
【题型1】相似图形的判别
【典型例题】下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D．形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
【举一反三1】如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ）
A.图形的平移
B.图形的轴对称
C.图形的相似
D.图形的旋转
【答案】C
【解析】将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的图形的相似．
故选：C．
【举一反三2】下列图形中，与已知三角形相似的三角形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】已知三角形的三个内角为50°，40°，90°，
A．三角形三个内角的为90°，45°，45°，不符合题意；
B．三角形三个内角的为90°，50°，40°，符合题意；
C．三角形三个内角的为90°，60°，30°，不符合题意；
D．三角形三个内角的为90°，45°，45°，不符合题意．
故选：B．
【举一反三3】下列图形中， 与 相似（填序号）．
【答案】（2） （4）
【解析】根据相似图形的定义可知（2）与（4）是相似图形，
故答案为：（2）（4）．
【举一反三4】在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．
【答案】（3），（5），（6）；（1），（2），（4）
【解析】根据相似图形的定义可知：
（3），（5），（6）是相似图形，
（1），（2），（4）不是相似图形．
故答案为：（3），（5），（6）；（1），（2），（4）．
【举一反三5】小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下：以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？
【答案】解 小华同学的判断是正确的，
全等形是相似比为1的特殊的相似形．
【题型2】相似多边形的性质
【典型例题】如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为y cm的纸条、上下同时剪去宽为x cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则x与y满足的关系式为（ ）
A.x＝y B.3x＝5y C.5x＝3y D.4x＝3y
【答案】D
【解析】∵剩下的矩形与原来的矩形相似，
∴＝，
整理得：30y＝40x，
则4x＝3y．
故选：D．
【举一反三1】国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵＝，＝，＝，＝，
∴长、宽分别为160cm、120cm的国旗不符合标准，
故选：B．
【举一反三2】如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为x dm，左右边框的宽度都为y dm、若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 ．
【答案】3x＝2y或2x＝3y﹣10
【解析】如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，则有＝，
∴＝，
可得3x＝2y，
当矩形ABCD∽矩形EHFG时，则有＝，
∴，
可得2x＝3y﹣10．
∴x，y应符合的条件是3x＝2y或2x＝3y﹣10．
故答案为：3x＝2y或2x＝3y﹣10．
【举一反三3】一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
【答案】解 不相似；
内边缘的矩形ABCD长AD＝300 cm，宽AB＝150 cm，外边缘的矩形长A'D'＝315 cm，宽A'B'＝165 cm，
∵=，==，
，
所以内外边缘所成的两个矩形不相似．
【题型3】利用相似多边形性质的求值
【典型例题】如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A＝105°，∠B＝100°，∠D＝80°，则∠C'＝（ ）
A.75° B.80° C.85° D.90°
【答案】A
【解析】∵在四边形ABCD中，∠A＝105°，∠B＝100°，∠D＝80°，
∴∠C＝360°﹣105°﹣100°﹣80°＝75°，
∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴∠C′＝∠C＝75°，
故选：A．
【举一反三1】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（ ）
A. B.6 C. D.9
【答案】A
【解析】设CE＝x，
∵四边形EFDC与四边形BEFA相似，
∴＝，
∵AB＝3，BE＝2，EF＝AB，
∴＝，
解得：x＝4.5，
故选：A．
【举一反三2】在矩形ABCD中，P是边AB上一动点，PQ⊥DC交DC于Q，且分得两个新矩形相似，若AB＝10，AD＝4，则AP的长是 ．
【答案】2或8
【解析】如图，当矩形APQD∽矩形PQCB时，
＝，
即：，
解得：AP＝2或8，
故答案为：2或8．
【举一反三3】两个相似的七边形的相似比为3：4，它们的面积之差为28，则面积之和为 .
【答案】100
【解析】两个相似的七边形的相似比为3：4，
面积的比是9：16，
因而可以设较小的七边形的面积是9x，
则较大的边的面积是9x，
根据面积之差为28，
得到：16x﹣9x＝28
解得：x＝4，
则面积的和是9x+16x＝100．
故答案为：100．
【举一反三4】如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，
∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD（SAS），
∴EB＝GD；
（2）解 连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∴BP＝AB＝1，
AP＝＝，AE＝AG＝，
∴EP＝2，
∴EB＝＝＝，
∴由（1）知GD＝EB＝．
【举一反三5】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
【答案】解 ∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°，
在四边形EFGH中，∠β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°，
∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴EH：AD＝EF：AB，
∴x：21＝24：18，
解得x＝28，
∴EH＝28cm．23.2相似图形
【题型1】相似图形的判别 2
【题型2】相似多边形的性质 4
【题型3】利用相似多边形性质的求值 5
【知识点1】相似图形 （1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 1.（2024秋 辽中区期末）下列说法不一定正确的是（ ） A．所有的等边三角形都相似B．有一个角是100°的等腰三角形相似C．所有的正方形都相似D．所有的矩形都相似
【知识点2】相似多边形的性质 （1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等． 1.（2024秋 顺德区校级期中）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠E=80°，∠G=90°，∠D=120°，则∠B等于（ ） A．50°B．60°C．70°D．80°
【题型1】相似图形的判别
【典型例题】下列四组图形中，不是相似图形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图是杭州第19届亚运会的吉祥物“琮琮”，代表的是世界遗产良渚古城遗址，名字来源于文物玉琮．琮琮全身以黄色调为主，头部刻有“饕餮纹”，展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神．文旅部门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上，这体现了数学中的（ ）
A.图形的平移
B.图形的轴对称
C.图形的相似
D.图形的旋转
【举一反三2】下列图形中，与已知三角形相似的三角形是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】下列图形中， 与 相似（填序号）．
【举一反三4】在数学上，我们把具有相同形状的图形称为相似形，下列各组图形中，是相似形的是 ，不是相似形的是 ．
【举一反三5】小华、小红、小刚三名同学，在观察如图所示的三组图形后，交流了对相似形的理解，看法如下：以上三名同学谁对三组图形的判断是正确的？你是怎样理解相似形与全等形的区别及联系的？
【题型2】相似多边形的性质
【典型例题】如图，一块矩形纸片，长为20cm，宽为15cm，现在把这个矩形纸片的左右同时剪去宽为y cm的纸条、上下同时剪去宽为x cm的纸条（如图所示的阴影部分），要使剩下的矩形与原来的矩形相似，则x与y满足的关系式为（ ）
A.x＝y B.3x＝5y C.5x＝3y D.4x＝3y
【举一反三1】国旗法规定：所有国旗均为相似矩形，在下列四面国旗中，其中只有一面不符合标准，这面国旗是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为x dm，左右边框的宽度都为y dm、若内边框矩形和外边框矩形相似，则x，y应符合的条件是 ．
【举一反三3】一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
【题型3】利用相似多边形性质的求值
【典型例题】如图所示，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∠A＝105°，∠B＝100°，∠D＝80°，则∠C'＝（ ）
A.75° B.80° C.85° D.90°
【举一反三1】如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，BE＝2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE的值为（ ）
A. B.6 C. D.9
【举一反三2】在矩形ABCD中，P是边AB上一动点，PQ⊥DC交DC于Q，且分得两个新矩形相似，若AB＝10，AD＝4，则AP的长是 ．
【举一反三3】两个相似的七边形的相似比为3：4，它们的面积之差为28，则面积之和为 .
【举一反三4】如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．
【举一反三5】如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，求∠α、∠β 的大小和EH的长度．
