23.3相似三角形
【题型1】相似三角形的对应边成比例，对应角相等 5
【题型2】平行线中相似三角形的判定 6
【题型3】用两角相等判定两个三角形相似 7
【题型4】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 8
【题型5】用三边成比例判定两个三角形相似 10
【题型6】判定定理的综合题型 11
【题型7】相似三角形对应的高等于相似比 13
【题型8】相似三角形对应的中线等于相似比 13
【题型9】相似三角形对应的角平分线等于相似比 14
【题型10】相似三角形的周长比等于相似比 15
【题型11】相似三角形的面积比等于相似比的平方 15
【题型12】相似三角形判定与性质的综合题 16
【题型13】利用相似三角形测高度 18
【题型14】利用相似三角形测距离 20
【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1.（2024秋 淮安期末）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数是（ ） A．25°B．30°C．55°D．100°
【知识点2】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024秋 建平县校级期中）有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（ ） A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．无法判断
【知识点3】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 1.（2025 电白区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC=（ ） A．1：3B．1：4C．1：9D．1：81
2.（2025 北京一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，只需添加下面三个条件中的一个即可证明△ABC是直角三角形．
①∠A=∠BCD；
②∠A+∠BCD=∠ADC；
③．
所有正确条件的序号是（ ） A．①②B．①③C．②③D．①②③
【知识点4】相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1.（2024秋 上虞区期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（ ） A．B．C．D．
2.（2024秋 凤翔区期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6m,则AB的长为（ ） A．30mB．24mC．18mD．12m
【知识点5】射影定理 （1）射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD DC；
②AB2=BD BC；AC2=CD BC．
【题型1】相似三角形的对应边成比例，对应角相等
【典型例题】已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在有长度分别为10cm和30cm的木条各一根，要做一个三角形木架与已知三角形相似，那么第三根木条的长度应为（ ）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【举一反三1】如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，另一个与它相似的直角三角形的两条直角边长分别是6与x，那么x的值（ ）
A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个
【举一反三2】在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，AB＝12cm，AC＝8cm，AD＝6cm，如果△ADE与△ABC相似，则AE＝ cm．
【举一反三3】如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 ．
【举一反三4】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且△ADC∽△DEB，求∠ADE的度数．
【举一反三5】如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
【题型2】平行线中相似三角形的判定
【典型例题】如图所示，两条平行线交△ABC两边AB，AC于D、E，交BA、CA延长线于F、G．下列结论中正确的是（ ）
A. B.= C.= D.=
【举一反三1】如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于A，B，C，D，O五点，如果线段AB＝6cm，则线段CD的长等于（ ）
A.8cm B.9cm C.10cm D.12cm
【举一反三2】如图，已知E是正方形ABCD的边AD的延长线上一点，BE交AD于点F，若CD＝6，FD＝2，则ED的长是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三3】由平行线分线段成比例定理可知，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 成比例，即在如图所示的图形中，若DE∥BC，则＝ ，＝ ．
【举一反三4】如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝ ．
【举一反三5】如图，DE∥BC．
（1）如果AD＝2，DB＝3，求DE：BC的值；
（2）如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．
【题型3】用两角相等判定两个三角形相似
【典型例题】下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
【举一反三1】如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中与△BEF不相似的三角形是（ ）
A.△ABD B.△CDF C.△BCD D.△ACE
【举一反三2】已知∠1＝∠2，请添加一个条件 ，使△ABC∽△ADE．
【举一反三3】在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝50°，∠B＝75°，∠A′＝50°，则当∠C′＝ °时，△ABC∽△A′B′C′．
【举一反三4】如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D．另一条直角边与AB交于点Q．求证：△BPQ∽△CDP．
【题型4】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
【典型例题】如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【举一反三1】已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为（ ）
A.3 B. C.3 或 D.以上都错
【举一反三2】如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD．BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A.甲与丙相似，乙与丁相似
B.甲与丙相似，乙与丁不相似
C.甲与丙不相似，乙与丁相似
D.甲与丙不相似，乙与丁不相似
【举一反三3】已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝9当BD＝ 时，△ABD∽△DBC．
【举一反三4】在△ABC中，AB＝6，AC＝4，E是AB上一点，AE＝2，在AC上取一点F，使以A．E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为 ．
【举一反三5】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：
（1）则∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由．
【举一反三6】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC BE．证明：△BCD∽△BDE．
【题型5】用三边成比例判定两个三角形相似
【典型例题】把△ABC经过下列变形，与△ABC相似的是（ ）
A.各边长都加2
B.各边长都减2
C.各边长都乘以2
D.各边长都平方
【举一反三1】如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A.①与③ B.②与③ C.①与④ D.③与④
【举一反三2】△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（ ）
A.AB＝，BC＝AC＝，DE＝，EF＝DF＝3
B.AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE＝，EF＝2，FD＝
C.AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16
D.AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10
【举一反三3】在△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，在△A1B1C1中，A1B1＝1，C1A1＝2，当B1C1＝ 时，△ABC∽△A1B1C1．
【举一反三4】已知△ABC的三边长分别为，4，5，△DEF的三边长分别为2，，1，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
【题型6】判定定理的综合题型
【典型例题】下列不能判定两个三角形相似的是（ ）
A.两边对应成比例，且有一边的对角相等
B.两组角对应相等
C.两边成比例且夹角相等
D.三边对应成比例
【举一反三1】如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A.∠ACD＝∠B B.∠ADC＝∠ACB C.= D.=
【举一反三2】如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A.∠ACD＝∠B B.∠ADC＝∠ACB C.= D.=
【举一反三3】如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和徍琛的做法．下列说法不正确的是（ ）
A.天翼的做法证明过程没有问题
B.徍琛的做法证明过程没有问题
C.天翼的做法添加的条件没有问题
D.徍琛的做法添加的条件有问题
【举一反三4】如图1，在△ABC和△A′B′C′，D．D′分别是AB．A′B′上的一点，．
（1）当==时，求证△ABC∽△A′B′C′．
证明途径可用框图2表示，请填写其中的空格．
（2）当==时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
【举一反三5】根据如图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．
【举一反三6】如图所示，在△ABC中，P为AB上一点，在下列条件中，增添一个条件①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB．其中能满足△ABC和△ACP相似的条件有 ．
【题型7】相似三角形对应的高等于相似比
【典型例题】如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是（ ）
A.2：3 B.2：5 C.4：9 D.8：27
【举一反三1】△ABC与△DEF相似且对应高线之比为2：3，已知△ABC周长为40，则△DEF周长是（ ）
A.10 B.20 C.40 D.60
【举一反三2】若两个相似三角形对应中线的比为，则它们对应边上的高之比为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是 ．
【举一反三4】已知两个相似三角形两条对应边上的中线的长是3cm和5cm，那么它们的相似比是多少，对应高的比是多少？
【题型8】相似三角形对应的中线等于相似比
【典型例题】若△ABC与△A1B1C1相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（ ）
A.2：5，4：5 B.2：5，4：25 C.4：25，4：25 D.4：25，2：5
【举一反三1】如图，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，则△ADE与△ABC对应边上的中线之比为（ ）
A.2：3 B.4：9 C.2：5 D.4：25
【举一反三2】两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应中线之比是（ ）
A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4
【举一反三3】已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE＝6，则B1E1＝ ．
【举一反三4】已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线且AM＝6cm，AB＝8cm，DE＝4cm，求DN的长．
【举一反三5】已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6cm，B′C′＝6cm，AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4cm，求△A′B′C′中对应中线A′E′的长．
【题型9】相似三角形对应的角平分线等于相似比
【典型例题】△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3，下面给出的四个结论中，正确的结论有（ ）
①=；
②=；
③=；
④=．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A.1：4 B.1：2 C.1：16 D.
【举一反三2】已知△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，若A'C'＝4，则AC＝（ ）
A.6 B. C. D.
【举一反三3】如果两个相似三角形的面积之比是4：25，其中小三角形最大内角的角平分线长是12cm，那么大三角形最大内角的角平分线长是 cm．
【举一反三4】已知，△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，BG＝4.8cm．求EH的长．
【举一反三5】如图，△ABC∽△AB'C'，BE，B′E′分别是∠ABC、∠A′B′C′的角平分线，点D，D′分别是BC、B'C'的三等分点，即CD＝2BD，C′D′＝2B′D'，连接AD，A′D′．求证：＝．
【题型10】相似三角形的周长比等于相似比
【典型例题】若△ABC∽△DEF，=，△ABC的周长是8，则△DEF的周长是（ ）
A.10 B.16 C.20 D.32
【举一反三1】若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（ ）
A.5 B.10 C.20 D.40
【举一反三2】两个相似三角形的对应边的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是 ．
【举一反三3】已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长．
【题型11】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中CB＝，DE的长为（ ）
A. B. C. D.6
【举一反三1】已知△ABC的三边长分别为3、4、5，与它相似的△DEF的最长边长为20，则△DEF的面积为（ ）
A.12 B.24 C.48 D.96
【举一反三2】若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的面积之比是（ ）
A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：16
【举一反三3】如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为 ．
【举一反三4】两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm，它们的面积相差21cm2，试求这两个三角形的面积．
【举一反三5】已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400cm2，求小三角形的面积．
【题型12】相似三角形判定与性质的综合题
【典型例题】古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出AC长，即可算得BC之间的距离．若a＝4cm，b＝5cm，AC＝20m，则BC＝（ ）
A.15m B.16m C.18m D.20m
【举一反三1】如图，点D，E分别在△ABC边AB，BC上，BD＝AD，BE＝CE，若∠A＝75°，∠BED＝60°，则∠B的度数为（ ）
A.35° B.40° C.45° D.55°
【举一反三2】已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AB＝1.2，CD＝0.9，AB与CD间的距离为2.1，则点O到AB的距离为 ．
【举一反三3】如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为 ．
【举一反三4】已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：
（1）△A′B′C′的周长；
（2）△ABC的面积．
【举一反三5】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M，且矩形长HG是宽HE的2倍．
（1）求证：；
（2）试求矩形EFGH的周长．
【题型13】利用相似三角形测高度
【典型例题】视力表对我们来说并不陌生，如图，现需制作标准视力表，要求测试距离l1＝5米，此时字母E的高度为b1米．由于场地有限，需要缩小测试距离为l2＝3米，修改后视力表字母E的高度为b2米，则b1与b2的关系为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是（ ）
A.74.2m B.77.8m C.79.6m D.79.8m
【举一反三2】在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2m，那么这棵大树高 m．
【举一反三3】某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．
【举一反三4】西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼AB的高度．如图，测量小组在点F处直立一个2m高的标杆EF，随后小组成员沿直线BF移动测量．成员小王从点F后退4m到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退18m到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿BH方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得HN＝3.75m，小李眼睛与地面的距离MN＝1.5m．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且AB、EF、MN均垂直于BN，求鼓楼AB的高度（平面镜的大小忽略不计）．
【题型14】利用相似三角形测距离
【典型例题】如图有一块四边形草地ABCD，AD∥BC，其中AB＝4，BC＝5，由于连续降雨使AD间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA＝3，则AD的长度为（ ）
A.2 B. C. D.
【举一反三1】如图为一把椅子的侧面示意图，已知DE∥地面AB，DE＝30cm，CB＝2CE，，则地面上AB两点之间的距离为（ ）
A.30cm B.40cm C.48cm D.60cm
【举一反三2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（ ）
A.2米 B.2.1米 C.2.5米 D. 米
【举一反三3】如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝ 米时，才能发现C处的儿童．
【举一反三4】学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m．
【举一反三5】小明想通过自己所学的知识测量一段笔直的高架桥MN上DQ段的运行距离，设计了如下的测量方案：已知在高架桥的一侧有一排居民楼AB（楼顶AB与高架桥MN在同一水平面上，且AB与点D正好在同一直线上），测得AB＝35米，小明先站在A处，测得视线与高架桥MN的垂直距离AH＝15米，小明又站在B处，使得视线与BQ在一条直线上，此时测得BQ＝45米，且∠QBA＝90°，求此高架桥上DQ段的运行距离．
【举一反三6】如图，直线EP和直线FQ是两排树，其中点E、B、P、F、C、H、Q为每棵树所在的位置，且EB＝BP＝FC＝CH＝HQ＝3m，EP∥FQ，为测量这两排树之间的距离PQ，小明先在两棵树QP的延长线上选取一点A，恰好发现点A、B、C在一条直线上，然后小明后退10m到达点D处，发现点D、E、F也在一条直线上，图中PE⊥DQ，FQ⊥DQ，求两排树之间的距离PQ．23.3相似三角形
【题型1】相似三角形的对应边成比例，对应角相等 7
【题型2】平行线中相似三角形的判定 10
【题型3】用两角相等判定两个三角形相似 13
【题型4】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似 16
【题型5】用三边成比例判定两个三角形相似 20
【题型6】判定定理的综合题型 22
【题型7】相似三角形对应的高等于相似比 28
【题型8】相似三角形对应的中线等于相似比 29
【题型9】相似三角形对应的角平分线等于相似比 31
【题型10】相似三角形的周长比等于相似比 34
【题型11】相似三角形的面积比等于相似比的平方 35
【题型12】相似三角形判定与性质的综合题 37
【题型13】利用相似三角形测高度 41
【题型14】利用相似三角形测距离 45
【知识点1】相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 1.（2024秋 淮安期末）已知△ABC∽△A'B'C，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C′的度数是（ ） A．25°B．30°C．55°D．100°
【答案】A 【分析】由三角形内角和定理求出∠C=25°，由相似三角形的性质推出∠C′=∠C=25°． 【解答】解：∵∠A=55°，∠B=100°，
∴∠C=180°-55°-100°=25°，
∵ABC∽△A'B'C，
∴∠C′=∠C=25°．
故选：A． 【知识点2】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024秋 建平县校级期中）有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（ ） A．一定相似B．一定不相似C．不一定相似D．无法判断
【答案】A 【分析】一定相似，因为将甲的三角形木框的各边分别乘以就得到了乙的三角形木框，即其两人的三角形和各对应边比相等，所以两三角形相似． 【解答】解：因为，即两个三角形三边对应成比例，所以相似．
故选：A． 【知识点3】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 1.（2025 电白区校级模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC，BD交于点O，S△AOD：S△COB=1：9，则S△DOC：S△BOC=（ ） A．1：3B．1：4C．1：9D．1：81
【答案】A 【分析】先根据相似三角形的判定和性质求出对应边的比例关系，再利用三角形面积公式求出比值． 【解答】解：根据题意，AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵S△AOD：S△COB=1：9，
∴，
则S△AOD：S△DOC=1：3，
所以S△DOC：S△BOC=3：9=1：3，
故选：A． 2.（2025 北京一模）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，只需添加下面三个条件中的一个即可证明△ABC是直角三角形．
①∠A=∠BCD；
②∠A+∠BCD=∠ADC；
③．
所有正确条件的序号是（ ） A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】B 【分析】证明△ABC是直角三角形，即证明其中有90°角，根据所给的条件逐一进行证明即可． 【解答】解：①∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠A=∠BCD，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故①符合题意，
②∵∠ADC=90°，
∠A+∠BCD=∠ADC，
∴∠A+∠BCD=90°，
∵∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠B，
不能证明∠ACB是90°，
故②不合题意，
③∵∠ADC=∠BDC=90°，
，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，
由①可知，△ABC是直角三角形，
故③符合题意，
∴可证明△ABC是直角三角形只需添加的条件有①或③，
故选：B． 【知识点4】相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 1.（2024秋 上虞区期末）凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜的中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（ ） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】先证出四边形OBCG为矩形，得到OB=CG，再根据△AHF1∽△BOF1，求出，从而得到物体被缩小到原来的几分之几． 【解答】解：∵BC∥l,CG⊥l,BO⊥l,
∴四边形OBCG为矩形，
∴OB=CG，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴，
∴，
∴物体被缩小到原来的．
故答案为：D． 2.（2024秋 凤翔区期末）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外取一点C，连接AC、BC，在AC上取点E，使AE=3EC，作EF∥AB交BC于点F，量得EF=6m,则AB的长为（ ） A．30mB．24mC．18mD．12m
【答案】B 【分析】先由EF∥AB，得出△CEF∽△CAB，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解． 【解答】解：∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴==，
∴AB=4EF=24m,
故选：B． 【知识点5】射影定理 （1）射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项．
②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
（2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD DC；
②AB2=BD BC；AC2=CD BC．
【题型1】相似三角形的对应边成比例，对应角相等
【典型例题】已知△ABC的三边长分别为20cm，50cm，60cm，现在有长度分别为10cm和30cm的木条各一根，要做一个三角形木架与已知三角形相似，那么第三根木条的长度应为（ ）
A.20cm B.25cm C.30cm D.35cm
【答案】B
【解析】∵＝＝，
∴第三根木条与50cm的边长是对应边，设为xcm，
∴＝，
解得x＝25cm．
故选：B．
【举一反三1】如果一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，另一个与它相似的直角三角形的两条直角边长分别是6与x，那么x的值（ ）
A.只有1个 B.可以有2个 C.可以有3个 D.有无数个
【答案】B
【解析】∵一个直角三角形的两条直角边长分别是3和4，另一个与它相似的直角三角形的两条直角边长分别是6与x，
∴＝或＝，
解得x＝8或4.5．
故选：B．
【举一反三2】在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，AB＝12cm，AC＝8cm，AD＝6cm，如果△ADE与△ABC相似，则AE＝ cm．
【答案】4或9
【解析】①若∠AED对应∠B时，
＝，
即＝，
解得AE＝9；
②当∠ADE对应∠B时，
＝，
即＝，
解得AE＝4．
故答案为：4或9．
【举一反三3】如图，在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，D是AB上一点，连接CD．若AD＝2DB，且△BCD∽△BAC，则CD的长为 ．
【答案】
【解析】∵AD＝2DB，AC＝4，BC＝3，
∴设DB＝x，则AD＝2x，AB＝3x，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
∴x2＝3，
解得x＝或x＝﹣（负值舍去），
∴＝，
解得CD＝．
故答案为：．
【举一反三4】如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且△ADC∽△DEB，求∠ADE的度数．
【答案】证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，
∴∠BDE+∠DEB＝120°，
∵△ADC∽△DEB，
∴∠ADC＝∠DEB，
∴∠ADC+∠BDE＝120°，
∵∠ADC+∠ADE+∠BDE＝180°，
∴∠ADE＝60°．
【举一反三5】如图，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在BC、CD上，若△ADE∽△CMN，求CM的长．
【答案】解 ∵正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，
∴AE＝×2＝1，
在Rt△ADE中，DE＝＝＝，
∵△ADE∽△CMN，
∴＝，
即＝，
解得CM＝．
【题型2】平行线中相似三角形的判定
【典型例题】如图所示，两条平行线交△ABC两边AB，AC于D、E，交BA、CA延长线于F、G．下列结论中正确的是（ ）
A. B.= C.= D.=
【答案】D
【解析】∵DE∥FG，
∴△ADE∽△AFG，
∴=．
故选：B．
【举一反三1】如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个“×”，与横格线交于A，B，C，D，O五点，如果线段AB＝6cm，则线段CD的长等于（ ）
A.8cm B.9cm C.10cm D.12cm
【答案】B
【解析】过点O作OM⊥AB于点M，延长MO交CD于点N，如图所示．
∵AB∥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴＝，即＝，
∴CD＝9cm．
故选：B．
【举一反三2】如图，已知E是正方形ABCD的边AD的延长线上一点，BE交AD于点F，若CD＝6，FD＝2，则ED的长是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝6，AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴＝，即＝，
解得：ED＝3；
故选：B．
【举一反三3】由平行线分线段成比例定理可知，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的 成比例，即在如图所示的图形中，若DE∥BC，则＝ ，＝ ．
【答案】对应线段
【解析】由平行线分线段成比例定理可知，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，
即在如图所示的图形中，若DE∥BC，则＝，＝，
故答案为：对应线段；；．
【举一反三4】如图，AB∥DE，若AC＝4，BC＝2，DC＝1，则EC＝ ．
【答案】2
【解析】∵AB∥DE，
∴△ABC∽△ECD，
∴=，
∵AC＝4，BC＝2，DC＝1，
∴，
解得：CE＝2．
故答案为：2
【举一反三5】如图，DE∥BC．
（1）如果AD＝2，DB＝3，求DE：BC的值；
（2）如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．
【答案】解 （1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
而AD＝2，DB＝3，AB＝5，
∴=．
（2）由（1）知：△ADE∽△ABC，
∴==，
而AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，
∴=，
解得：AE＝6，BC＝．
【题型3】用两角相等判定两个三角形相似
【典型例题】下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A.都含有一个40°的内角
B.都含有一个50°的内角
C.都含有一个60°的内角
D.都含有一个70°的内角
【答案】C
【解析】因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C．有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确．
故选：C．
【举一反三1】如图，△ABC中，CE⊥AB，垂足为E，BD⊥AC，垂足为点D，CE与BD交于点F，则图中与△BEF不相似的三角形是（ ）
A.△ABD B.△CDF C.△BCD D.△ACE
【答案】C
【解析】∵BD⊥AC、CE⊥AB，
∴∠BDA＝∠BDC＝∠CEA＝∠CEB＝90°，
∵∠FBE＝∠ABD，
∴△FBE∽△ABD，
∵∠BFE＝∠CFD，
∴△BFE∽△CFD，
∵∠FCD＝∠ACE，
∴△CFD∽△CAE，
∴△BFE∽△CAE，
综上所述，图中与△BEF相似的三角形有△ABD、△CDF、△ACE这3个，
图中与△BEF不相似的三角形是△BCD．
故选：C．
【举一反三2】已知∠1＝∠2，请添加一个条件 ，使△ABC∽△ADE．
【答案】∠B＝∠D
【解析】∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE，
∵∠B＝∠D
∴△ABC∽△ADE，
故添加∠B＝∠D即可使得△ABC∽△ADE．
故答案为：∠B＝∠D．
【举一反三3】在△ABC和△A′B′C′中，若∠A＝50°，∠B＝75°，∠A′＝50°，则当∠C′＝ °时，△ABC∽△A′B′C′．
【答案】55
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠C′＝∠C，
∵∠A＝50°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣50°﹣75°＝55°，
即∠C′＝55°，
故答案为：55．
【举一反三4】如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的边BC上，并且使一条直角边经过点D．另一条直角边与AB交于点Q．求证：△BPQ∽△CDP．
【答案】证明 ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠QPD＝90°，
∴∠BPQ+∠DPC＝90°＝∠DPC+∠PDC，
∴∠BPQ＝∠PDC，
∴△BPQ∽△CDP．
【题型4】用两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似
【典型例题】如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
【答案】C
【解析】∵∠BAC＝∠D，=，
∴△ABC∽△DEA．
故选：C．
【举一反三1】已知点P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP，垂足是点B，若在射线BF上找一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM为（ ）
A.3 B. C.3 或 D.以上都错
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
又∵∠PBF＝90°，
∴∠ABP＝∠CBF＝90°﹣∠CBP；
若以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，
则：①如图1中，=，即＝，解得BM＝；
②如图2中，=，即＝，解得BM＝3．
综上所述，满足条件的BM的值为3或．
故选：C．
【举一反三2】如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD．BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A.甲与丙相似，乙与丁相似
B.甲与丙相似，乙与丁不相似
C.甲与丙不相似，乙与丁相似
D.甲与丙不相似，乙与丁不相似
【答案】A
【解析】∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，
即=，
而∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∵=，
∴=，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC∽△BOD．
故选：A．
【举一反三3】已知在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AB＝4，BC＝9当BD＝ 时，△ABD∽△DBC．
【答案】6
【解析】∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴=，
∵AB＝4，BC＝9，
∴=，
解得BD＝6；
故答案为：6．
【举一反三4】在△ABC中，AB＝6，AC＝4，E是AB上一点，AE＝2，在AC上取一点F，使以A．E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF的长为 ．
【答案】或3
【解析】∵∠A＝∠A，
∴两种情况进行讨论：
①当=时，△ABC∽△AEF，
即=，
解得：AF＝；
②当=时，△ABC∽△AFE，
即=，
解得：AF＝3；
综上所述：AF的长为或3；
故答案为：或3．
【举一反三5】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上：
（1）则∠ABC＝ °，BC＝ ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由．
【答案】解 （1）观察图象可知，∠ABC＝135°，BC＝＝2．
（2）结论：△ABC∽△DEF．
理由：∵AB＝2，BC＝2，DE＝，EF＝2，
∴＝＝，
∵∠ABC＝∠DEF，
∴△ABC∽△DEF．
【举一反三6】如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2＝BC BE．证明：△BCD∽△BDE．
【答案】证明 ∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBD．
∵BD2＝BC BE，
∴=，
∴△BCD∽△BDE．
【题型5】用三边成比例判定两个三角形相似
【典型例题】把△ABC经过下列变形，与△ABC相似的是（ ）
A.各边长都加2
B.各边长都减2
C.各边长都乘以2
D.各边长都平方
【答案】C
【解析】△ABC的边长分为AB、BC、AC，
则，=，=，
故选：C．
【举一反三1】如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A.①与③ B.②与③ C.①与④ D.③与④
【答案】A
【解析】根据网格的特点，①号三角形的三边长分别为 ，2，＝，
②号三角形的三边长分别为：2，＝，3，
③号三角形的三边长分别为：2，＝2，＝2，
④号三角形的三边长分别为：，3，＝，
∴，
∴①与③相似，故B选项正确，符合题意；
其他选项不正确，
故选：A．
【举一反三2】△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（ ）
A.AB＝，BC＝AC＝，DE＝，EF＝DF＝3
B.AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE＝，EF＝2，FD＝
C.AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16
D.AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10
【答案】A
【解析】A．∵AB＝，BC＝AC＝，DE＝，EF＝DF＝3，
∴===＝，
∴△ABC∽△DEF；
故A符合题意；
B．∵AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE＝，EF＝2，FD＝，
∴，
∴△ABC与△DEF不相似．
C．∵AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16，
∴△ABC是等腰三角形，△DEF不是等腰三角形，
故不能得出△ABC∽△DEF；
D．∵AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10，，
∴，
∴△ABC与△DEF不相似．
故选：A．
【举一反三3】在△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，在△A1B1C1中，A1B1＝1，C1A1＝2，当B1C1＝ 时，△ABC∽△A1B1C1．
【答案】1.5
【解析】当B1C1＝1.5时，△ABC∽△A1B1C1．
理由如下：∵AB：BC：CA＝2：3：4，
∴设AB＝2a，BC＝3a，AC＝4a，
∵A1B1＝1，C1A1＝2，B1C1＝1.5，
∴=＝2a，＝＝2a，＝＝2a，
∴=＝，
∴当B1C1＝1.5时，△ABC∽△A1B1C1．
故答案为：1.5．
【举一反三4】已知△ABC的三边长分别为，4，5，△DEF的三边长分别为2，，1，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由．
【答案】解 △ABC与△DEF相似，理由如下：
∵△ABC的三边长分别为，4，5，△DEF的三边长分别为2，，1，
∴＝，＝，＝，
即三角形的三组对应边的比相等，
∴这两个三角形相似．
【题型6】判定定理的综合题型
【典型例题】下列不能判定两个三角形相似的是（ ）
A.两边对应成比例，且有一边的对角相等
B.两组角对应相等
C.两边成比例且夹角相等
D.三边对应成比例
【答案】A
【解析】两边对应成比例，且它们的甲角相等的两三角形相似；两组角对应相等的两三角形相似；三边对应成比例的两三角形相似．
故选：A．
【举一反三1】如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A.∠ACD＝∠B B.∠ADC＝∠ACB C.= D.=
【答案】C
【解析】在△ACD和△ABC中，∠BAC＝∠DAC，
A．∠ACD＝∠B，利用两组对应角相等的三角形相似，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
B．∠ADC＝∠ACB，利用两组对应角相等的三角形相似，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
C．=，不能证明△ACD∽△ABC，符合题意；
D．=，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
故选：C．
【举一反三2】如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是（ ）
A.∠ACD＝∠B B.∠ADC＝∠ACB C.= D.=
【答案】C
【解析】在△ACD和△ABC中，∠BAC＝∠DAC，
A．∠ACD＝∠B，利用两组对应角相等的三角形相似，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
B．∠ADC＝∠ACB，利用两组对应角相等的三角形相似，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
C．=，不能证明△ACD∽△ABC，符合题意；
D．=，根据两组对应边对应成比例，夹角相等，得到△ACD∽△ABC，不符合题意；
故选：C．
【举一反三3】如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和徍琛的做法．下列说法不正确的是（ ）
A.天翼的做法证明过程没有问题
B.徍琛的做法证明过程没有问题
C.天翼的做法添加的条件没有问题
D.徍琛的做法添加的条件有问题
【答案】B
【解析】依题意，∠A＝∠A，添加一组对应角相等，可以使得△ADB∽△ABC，故天翼的做法以及过程没有问题，
徍琛的做法添加的条件有问题，应为=，故B选项符合题意，
故选：B．
【举一反三4】如图1，在△ABC和△A′B′C′，D．D′分别是AB．A′B′上的一点，．
（1）当==时，求证△ABC∽△A′B′C′．
证明途径可用框图2表示，请填写其中的空格．
（2）当==时，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
【答案】（1）证明 ∵，
∴=，
∵==，
∴==，
∴△ADC∽△A′D′C′，
∴∠A＝∠A′，
∵=，
∴△ABC∽△A′B′C′．
（2）解 △ABC与△A′B′C′相似，理由如下：
∵
∴
即=
∴=
又==，
∴==，
∴△BDC∽△B′D′C′，
∴∠DBC＝∠D′B′C′，
又=，
∴△ABC∽△A′B′C′．
【举一反三5】根据如图中所注的条件，判断图中两个三角形是否相似，并求出x和y的值．
【答案】解 （1）相似．
∵∠G＝∠I＝90°，
∴x＝GH＝＝＝4，y＝HJ＝＝＝10，
∴=＝，
∴△FGH∽△JIH．
（2）相似．
∵＝=，=＝，
∴＝，
∵∠FHK＝∠GHJ＝90°，
∴∠FHG＝∠JHK，
∴△FGH∽△JKH，
∴∠G＝∠K，＝，
即x°＝124°，=，
∴x＝124，y＝33．
【举一反三6】如图所示，在△ABC中，P为AB上一点，在下列条件中，增添一个条件①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP AB；④AB CP＝AP CB．其中能满足△ABC和△ACP相似的条件有 ．
【答案】①②③
【解析】当∠ACP＝∠B，
∠A公共角，
所以△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，
∠A公共角，
所以△APC∽△ACB；
当AC2＝AP AB，
即AC：AB＝AP：AC，
∠A公共角，
所以△APC∽△ACB；
当AB CP＝AP CB，即=，
而∠PAC＝∠CAB，
所以不能判断△APC和△ACB相似．
故答案为：①②③
【题型7】相似三角形对应的高等于相似比
【典型例题】如果两个相似三角形对应边的比为2：3，那么它们对应高线的比是（ ）
A.2：3 B.2：5 C.4：9 D.8：27
【答案】A
【解析】∵两个相似三角形对应边的比为2：3，
∴它们对应高线的比为2：3，
故选：A．
【举一反三1】△ABC与△DEF相似且对应高线之比为2：3，已知△ABC周长为40，则△DEF周长是（ ）
A.10 B.20 C.40 D.60
【答案】D
【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为2：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2：3，
∴△DEF的周长＝×40＝60．
故选：D．
【举一反三2】若两个相似三角形对应中线的比为，则它们对应边上的高之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为两个相似三角形对应高的比与对应中线的比相等，
所以它们对应边上的高之比为．
故选：B．
【举一反三3】如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是 ．
【答案】：2
【解析】∵两个相似三角形的对应高比是：2，
∴它们的相似比是：2，
故答案为：：2．
【举一反三4】已知两个相似三角形两条对应边上的中线的长是3cm和5cm，那么它们的相似比是多少，对应高的比是多少？
【答案】解 ∵两个相似三角形两条对应边上的中线的长是3cm和5cm，
∴它们的相似比是3：5，
∴它们对应高的比是3：5．
【题型8】相似三角形对应的中线等于相似比
【典型例题】若△ABC与△A1B1C1相似且对应中线之比为2：5，则周长之比和面积比分别是（ ）
A.2：5，4：5 B.2：5，4：25 C.4：25，4：25 D.4：25，2：5
【答案】B
【解析】∵△ABC与△A1B1C1相似，且对应中线之比为2：5，
∴其相似比为2：5，
∴△ABC与△A1B1C1周长之比为2：5，
△ABC与△A1B1C1面积比为4：25，
故选：B．
【举一反三1】如图，DE∥BC，AD＝2，DB＝3，则△ADE与△ABC对应边上的中线之比为（ ）
A.2：3 B.4：9 C.2：5 D.4：25
【答案】C
【解析】∵DE∥BC，AD＝2，DB＝3，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AEC＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝，
∴△ADE与△ABC对应边上的中线之比为2：5．
故选：C．
【举一反三2】两个相似三角形的相似比是1：2，则其对应中线之比是（ ）
A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4
【答案】B
【解析】∵两个相似三角形对应边之比1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1：2，
∴它们的对应中线之比是1：2，
故选：B．
【举一反三3】已知△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，BE、B1E1分别是它们对应边上的中线，且BE＝6，则B1E1＝ ．
【答案】4
【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，△ABC的周长与△A1B1C1的周长的比值是，
∴＝，
即＝，
解得B1E1＝4．
故答案为：4．
【举一反三4】已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线且AM＝6cm，AB＝8cm，DE＝4cm，求DN的长．
【答案】解 ∵△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，
∴＝，
又AM＝6cm，AB＝8cm，DE＝4cm，
∴＝，
∴DN＝3cm．
【举一反三5】已知△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6cm，B′C′＝6cm，AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4cm，求△A′B′C′中对应中线A′E′的长．
【答案】解 如图所示：
∵△ABC∽△A′B′C′，BC＝3.6cm，B′C′＝6cm，
∴＝＝，
∴＝，
∵AE是△ABC的一条中线，AE＝2.4cm，
∴＝，
解得：A′E′＝4，
∴△A′B′C′中对应中线A′E′的长为：4cm．
【题型9】相似三角形对应的角平分线等于相似比
【典型例题】△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3，下面给出的四个结论中，正确的结论有（ ）
①=；
②=；
③=；
④=．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】∵△ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线，且AD：A′D′＝5：3，
∴===，==，故①②正确； ④错误；
==，故③错误；
故选：B．
【举一反三1】如果两个相似三角形的面积比为1：2，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A.1：4 B.1：2 C.1：16 D.
【答案】D
【解析】∵两个相似三角形的面积比为1：2，
∴两个相似三角形的相似比为，
∴它们的对应角平分线的比为．
故选：D．
【举一反三2】已知△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，若A'C'＝4，则AC＝（ ）
A.6 B. C. D.
【答案】C
【解析】∵△ABC∽△A'B'C'，它们的对应角平分线之比是2：3，
∴＝，
∵A′C′＝4，
∴AC＝，
故选：C．
【举一反三3】如果两个相似三角形的面积之比是4：25，其中小三角形最大内角的角平分线长是12cm，那么大三角形最大内角的角平分线长是 cm．
【答案】30
【解析】∵两个相似三角形的面积之比是4：25，
∴大三角形与小三角形的相似比是5：2，
∵小三角形最大内角的角平分线长是12cm，
∴12÷＝30cm，
∴大三角形对应角平分线长是30cm．
故答案为：30．
【举一反三4】已知，△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，BG＝4.8cm．求EH的长．
【答案】解 如图所示：
∵△ABC∽△DEF，
∴＝，
即＝，
解得：EH＝3.2．
【举一反三5】如图，△ABC∽△AB'C'，BE，B′E′分别是∠ABC、∠A′B′C′的角平分线，点D，D′分别是BC、B'C'的三等分点，即CD＝2BD，C′D′＝2B′D'，连接AD，A′D′．求证：＝．
【答案】证明 ∵△ABC∽△AB'C'，BE，B′E′分别是∠ABC、∠A′B′C′的角平分线，
∴＝，＝，∠ABD＝∠A′B′D′，
∵BD＝BC，B′D′＝B′C′，
∴＝，
∵∠ABD＝∠A′B′D′，
∴△ABD∽△A′B′D′，
∴＝，
∴＝．
【题型10】相似三角形的周长比等于相似比
【典型例题】若△ABC∽△DEF，=，△ABC的周长是8，则△DEF的周长是（ ）
A.10 B.16 C.20 D.32
【答案】C
【解析】在△ACD和△ABC中，∠BAC＝∠DAC，
∴△ABC∽△DEF，=，△ABC的周长是8，
∴△DEF的周长是：8×＝20．
故选：C．
【举一反三1】若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是（ ）
A.5 B.10 C.20 D.40
【答案】C
【解析】设△DEF的周长为x，
∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴10：x＝1：2，
解得，x＝20．
故选：C．
【举一反三2】两个相似三角形的对应边的中线之比是2：3，周长之和是20，那么这两个三角形中较小三角形的周长是 ．
【答案】8cm
【解析】因为该相似比为2：3，而周长比也等于相似比，则较小的三角形周长为20×＝8cm，
故答案为：8cm．
【举一反三3】已知△ABC的三边长分别为6，8，10，和△ABC相似的△A'B'C'的最长边长为30，求△A'B'C'的周长．
【答案】解 ∵和△ABC相似的△A′B′C′的最长边长30，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：10：30＝1：3，
∴另两条边的长分别为：6×3＝18，8×3＝24，
∴周长为：18+24+30＝72．
【题型11】相似三角形的面积比等于相似比的平方
【典型例题】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中CB＝，DE的长为（ ）
A. B. C. D.6
【答案】A
【解析】∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，
∴S△ABC：S△ADE＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵CB＝，
∴DE＝．
故选：A．
【举一反三1】已知△ABC的三边长分别为3、4、5，与它相似的△DEF的最长边长为20，则△DEF的面积为（ ）
A.12 B.24 C.48 D.96
【答案】D
【解析】∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，
∵△ABC与△DEF相似，
∴△DEF与△ABC均为直角三角形，
设△DEF三边分别为3x，4x，5x，则5x＝20，x＝4，
∴△DEF三边长分别为：12，16，20
∴S△DEF＝ ×12×16＝96．
故选：D．
【举一反三2】若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形的面积之比是（ ）
A.1：2 B.1：4 C.1：8 D.1：16
【答案】D
【解析】若两个相似三角形的相似比为1：4，
则这两个三角形的面积之比是1：16，
故选：D．
【举一反三3】如果两个相似三角形的一组对应边上的高之比为1：4，那么这两个三角形的面积比为 ．
【答案】1：16
【解析】∵相似三角形对应高的比等于相似比，
∴两三角形的相似比为1：4，
∴两三角形的面积比为1：16．
故答案为：1：16．
【举一反三4】两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm，它们的面积相差21cm2，试求这两个三角形的面积．
【答案】解 ∵两个相似三角形的一对对应边长分别为35cm和14cm，
∴其相似比为：5：2，
∴其面积比为：25：4，
设较大的三角形面积为25x cm2，较小的三角形面积为4x cm2．
∵它们的面积差为21cm2，
∴25x﹣4x＝21，
解得：x＝1，
∴较大的三角形面积为25cm2，较小的三角形面积为4cm2．
【举一反三5】已知两相似三角形对应角平分线的比为3：10，且大三角形的面积为400cm2，求小三角形的面积．
【答案】解 设小三角形的面积为S，
∵两相似三角形对应角平分线的比为3：10，
∴两相似三角形的相似比为3：10，
∴=，
∴S＝36，
即小三角形的面积为36cm2
【题型12】相似三角形判定与性质的综合题
【典型例题】古代的“矩”是指包含直角的作图工具，如图1，用“矩”测量远处两点间距离的方法是：把矩按图2平放在地面上，人眼从矩的一端A望点B，使视线刚好通过点E，量出AC长，即可算得BC之间的距离．若a＝4cm，b＝5cm，AC＝20m，则BC＝（ ）
A.15m B.16m C.18m D.20m
【答案】B
【解析】由图2可得，DE＝a＝4m，AD＝b＝5m，
∵BC⊥AC，ED⊥AC，
∴CD∥EF，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，
解得BC＝16（m）．
故选：B．
【举一反三1】如图，点D，E分别在△ABC边AB，BC上，BD＝AD，BE＝CE，若∠A＝75°，∠BED＝60°，则∠B的度数为（ ）
A.35° B.40° C.45° D.55°
【答案】C
【解析】∵BD＝AD，BE＝CE，
∴＝，＝，
∴BD＝BA＝BA，BE＝BC＝BC，
∴＝，
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC，
∵∠A＝75°，∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠A＝75°，
∴∠B＝180°﹣∠BDE﹣∠BED＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
故选：C．
【举一反三2】已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AB＝1.2，CD＝0.9，AB与CD间的距离为2.1，则点O到AB的距离为 ．
【答案】1.2
【解析】过点O作EF⊥CD于点E，交AB于点F，
∵AB∥CD，AB与CD间的距离为2.1，
∴EF＝2.1，∠OFA＝∠OED＝90°，
∴OE＝2.1﹣OF，OF⊥AB，
∵△AOB∽△DOC，AB＝1.2，CD＝0.9，
∴＝＝，
∴OF＝（2.1﹣OF），
解得OF＝1.2，
∴点O到AB的距离为1.2，
故答案为：1.2．
【举一反三3】如图，△ABC中，E是AC边上的中点，点D、F分别在AB、DE上，且∠AFB＝90°，AD＝DF，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为 ．
【答案】3
【解析】∵AD＝DF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∵∠AFB＝90°，
∴∠ABF+∠BAF＝90°，∠DFA+∠DFB＝90°，
∴∠ABF＝∠DFB，
∴DB＝DF，
∴AD＝BD＝5，
∵E是AC边上的中点，
∴AE＝CE，
∵∠DAE＝∠BAC， ＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴DE＝×16＝8，
∵DF＝AD＝5，
∴EF＝8﹣5＝3．
故答案为：3．
【举一反三4】已知△ABC∽△A′B′C′，＝，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm2，求：
（1）△A′B′C′的周长；
（2）△ABC的面积．
【答案】解 （1）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为：1：2，
∵△ABC的周长为20cm，
∴△A′B′C′的周长为：40cm；
（2）∵△ABC∽△A′B′C′，＝，
∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，
∵△A′B′C′的面积为64cm2，
∴△ABC的面积是16cm2．
【举一反三5】如图，△ABC中，AD是边BC上的高，BC＝40cm，AD＝30cm，作矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC、AB上，AD与HG的交点为M，且矩形长HG是宽HE的2倍．
（1）求证：；
（2）试求矩形EFGH的周长．
【答案】（1）证明 ∵四边形HEFG为矩形，
∴HG∥EF，
而AD⊥BC，
∴AM⊥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴；
（2）解 设HE＝x，HG＝2x，
则，解得x＝12，
∴这个矩形EFGH的周长＝2x+4x＝6x＝72（cm）．
【题型13】利用相似三角形测高度
【典型例题】视力表对我们来说并不陌生，如图，现需制作标准视力表，要求测试距离l1＝5米，此时字母E的高度为b1米．由于场地有限，需要缩小测试距离为l2＝3米，修改后视力表字母E的高度为b2米，则b1与b2的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图：
由题意得：DE∥BC，
∴∠DEA＝∠BCA，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴＝＝，
∴＝，
故选：D．
【举一反三1】如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE＝18cm，EF＝12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.8m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度AB是（ ）
A.74.2m B.77.8m C.79.6m D.79.8m
【答案】B
【解析】在△DEF和△DCB中，
∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，
∴△DEF∽△DCB，
∴，
即＝，
解得：BC＝76（m），
∵AC＝1.8m，
∴AB＝AC+BC＝1.8+76＝77.8（m），
即步云阁77.8m，
故选：B．
【举一反三2】在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2m，那么这棵大树高 m．
【答案】9
【解析】如图所示，过D作DE⊥AB于E，
则BE＝CD＝2（m），DE＝BC＝5（m）．
∵同一时刻物高和影长成正比，
∴＝，
∴AE＝7m，
∴AB＝AE+BE＝7+2＝9（m），
即：这棵大树高为9m．
故答案为：9．
【举一反三3】某数学兴趣小组在综合实践活动中测量古塔的高度．
【答案】解 由题可知，AB⊥FN，MN⊥FN，CD⊥FN，
∴∠N＝∠EBA＝∠DCF＝90°，
∵∠BEA＝∠MEN，
∴△BEA∽△MEN，
∴，
即：①，
同理△FDA∽FMN，
∴，
即： ②，
联立①②解得，AN＝50，MN＝39，
∴古塔的高度为39米．
【举一反三4】西安鼓楼，位于古都西安市的中心，是全国重点文物保护单位，也是西安的标志性建筑．学校某实践小组根据课堂所学知识，想实地测量西安鼓楼AB的高度．如图，测量小组在点F处直立一个2m高的标杆EF，随后小组成员沿直线BF移动测量．成员小王从点F后退4m到达点G处，此时鼓楼顶端A、标杆顶端E、点G恰好在一条直线上；小王从点G继续后退18m到达点H处．这时，他在点H处的地面上水平放置一个平面镜．成员小李沿BH方向移动到点N处时，小李刚好在平面镜内看到鼓楼顶端A的像．此时测得HN＝3.75m，小李眼睛与地面的距离MN＝1.5m．已知点B、F、G、H、N在同一水平直线上，且AB、EF、MN均垂直于BN，求鼓楼AB的高度（平面镜的大小忽略不计）．
【答案】解 ∵AB、EF、MN均垂直于BN，
∴△EFG∽△ABG，
∵EF＝2m，FG＝4m，
设BF＝x m，
∴，
即，
∴AB＝2+，
由反射角等于入射角得∠AHB＝∠MHN，
∴△AHB∽△MHN，
∴，
即：，
又∵AB＝2+，
解得：x＝68，
∴AB＝36m．
∴鼓楼AB的高度为36m．
【题型14】利用相似三角形测距离
【典型例题】如图有一块四边形草地ABCD，AD∥BC，其中AB＝4，BC＝5，由于连续降雨使AD间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA＝3，则AD的长度为（ ）
A.2 B. C. D.
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD中，AD∥BC，
∴△PAD∽△PBC，
∴PA：PB＝AD：BC，
∵PA＝3，AB＝4，BC＝5，
∴3：7＝AD：5，
解得：AD＝，
故选：C．
【举一反三1】如图为一把椅子的侧面示意图，已知DE∥地面AB，DE＝30cm，CB＝2CE，，则地面上AB两点之间的距离为（ ）
A.30cm B.40cm C.48cm D.60cm
【答案】C
【解析】∵CB＝2CE，，
∴ ，
∵DE∥地面AB，
∴△DEC∽△BAC，
∴，
又∵DE＝30cm，
∴AB＝48cm，
故选：C．
【举一反三2】如图①，是生活中常见的人字梯，也称折梯，用于在平面上方空间进行工作的一类登高工具，因其使用时，左右的梯杆及地面构成一个等腰三角形，看起来像一个“人”字，因而把它形 象的称为“人字梯”．如图②，是其工作示意图，AB＝AC，拉杆EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，则两梯杆跨度B、C之间距离为（ ）
A.2米 B.2.1米 C.2.5米 D. 米
【答案】B
【解析】∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴
∵AE＝，EF＝0.35米，
∴＝，
∴BC＝2.1，
即两梯杆跨度B、C之间距离为2.1米，
故选：B．
【举一反三3】如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，则汽车从A处前行的距离AB＝ 米时，才能发现C处的儿童．
【答案】5.75
【解析】在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m，
∴CM＝＝＝3m，
∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°，
∴△BDO∽△CMO，
∴，
∴，
∴BD＝2.25m，
在Rt△AOD中，OA＝米，
∴AD＝＝8m，
∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m），
∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童，
故答案为：5.75．
【举一反三4】学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为 m．
【答案】0.2
【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则，
∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，
∴＝，
解得：CD＝0.2，
∴栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2m．
故答案为：0.2．
【举一反三5】小明想通过自己所学的知识测量一段笔直的高架桥MN上DQ段的运行距离，设计了如下的测量方案：已知在高架桥的一侧有一排居民楼AB（楼顶AB与高架桥MN在同一水平面上，且AB与点D正好在同一直线上），测得AB＝35米，小明先站在A处，测得视线与高架桥MN的垂直距离AH＝15米，小明又站在B处，使得视线与BQ在一条直线上，此时测得BQ＝45米，且∠QBA＝90°，求此高架桥上DQ段的运行距离．
【答案】解 ∵AH⊥DQ，
∴∠AHD＝∠DBQ＝90°，
∵∠ADH＝∠QDB，
∴△ADH∽△QDB，
∴，
设AD＝x，DQ＝3x，
∴BD＝35+x，
在Rt△BDQ中，∵DQ2＝BD2+BQ2，
∴（3x）2＝（35+x）2+452，
∴x＝25（负值舍去），
∴高架桥上DQ段的运行距离为75米．
【举一反三6】如图，直线EP和直线FQ是两排树，其中点E、B、P、F、C、H、Q为每棵树所在的位置，且EB＝BP＝FC＝CH＝HQ＝3m，EP∥FQ，为测量这两排树之间的距离PQ，小明先在两棵树QP的延长线上选取一点A，恰好发现点A、B、C在一条直线上，然后小明后退10m到达点D处，发现点D、E、F也在一条直线上，图中PE⊥DQ，FQ⊥DQ，求两排树之间的距离PQ．
【答案】解 设PQ＝x，
∵BP∥CQ，BP＝3，CQ＝6，
∴△ABP∽△ACQ，
∴，
∴AQ＝2AP，即AP＝PQ＝x，
∵EP∥FQ，EP＝6，FQ＝9，
∴△DPE∽△DQF，
∴，即3DP＝2DQ，
∴3（10+x）＝2（10+2x），
解得x＝10，即PQ＝10，
答：两排树之间的距离PQ＝10．
