人教版九年级上24.1 圆的有关性质 分层练习（含答案）

人教版九年级上 24.1 圆的有关性质 分层练习
一．垂直于弦的直径（共16小题）
1．如图，OA是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若OA＝5，AB＝8，则OC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝3，CD＝8，那么直径AB的长为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E．若CD＝8，OD＝5，则AE的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB＝80cm，则油的最大深度为（　　）
A．32cm B．31cm C．9cm D．18cm
5．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　）
A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC
7．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为6米，点C是运行轨道的最低点．点C到水面的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　）
A．米 B．5米 C．4米 D．米
8．紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，⊙O为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝36mm，CD＝6mm，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（　　）
A．30mm B． C．40mm D．60mm
9．如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD＝　 　．
10．如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交圆O于点C，若AP＝4，PB＝9，则线段PC的长为　 　
11．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径长为 　 　．
12．已知⊙O的直径AB＝10cm，CD是⊙O的弦，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F，且CD＝8cm，则BF﹣AE的长为 　 　cm．
13．如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝20cm，∠AOB＝120°，求△AOB的面积．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，EB＝4，求弦CD的长．
15．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若CD＝10，EF＝3，求⊙O的半径．
16．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．
二、弧、弦、圆心角（共13小题）
17．如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝2AC B．AB＞2AC
C．AB＜2AC D．以上结论都不对
18．如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　）
A．4 B．5.5 C． D．
19．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　）
A． B．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CD D．OC⊥BD
20．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置…则第2023秒点P所在的位置为（　　）
A． B．
C．（0，﹣1） D．
21．已知，如图，点A，B，C，D是⊙O上四个点，AD＝BC．
求证：AB＝CD．
22．一条长为6cm的弦将圆分成1：2的两条弧，则圆的直径为 　 　cm．
23．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，∠C度数是　 　．
24．已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为　 　．
25．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，则∠COE＝ 　 　．
26．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：．
27．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
28．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
29．如图，弦AC，BD在⊙O上，分别连接OA，OB，OC，OD，∠AOB＝∠COD，AC与OB交于点E，⊙O半径为6．
（1）求证：；
（2）若BD＝10，E为AC的中点，求OE的长．
三．圆周角（共15小题）
30．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝55°，则∠ABO的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．55°
31．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
32．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE＝BE B． C．AC＝BC D．OE＝CE
33．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（　　）
A．76° B．52° C．50° D．38°
34．如图，AB是⊙O的直径，若AB＝2AC，D是的中点，则∠CAD的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
35．如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，AC，BD交于点P，连接AD，AB，BC，若∠ACB＝40°，则∠ADB的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE＝（　　）
A．5 B．4 C． D．
37．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝25°，则∠ABD＝ 　 　°．
38．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠ACE＝55°，则∠BDE＝　 　°．
39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠C＝　 　．
40．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠ACB＝40°，则∠OBA的大小是 　 　°．
41．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，∠B＝45°．求证AB＝CD．
42．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求CD的长（用多种方法解题）．
43．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BEC＝30°，过点C作CF⊥AB于点F，CF的延长线交⊙O于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若⊙O的半径为5，求CD的长．
44．如图1，在⊙O中，AB、CD是直径，弦BE⊥CD，垂足为F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）如图2，点G在CD上，且∠CAG＝∠ABE．
①求证：AG＝BC；
②若FG＝2，BE＝4，求OG的长．
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参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 17 18 19
答案 B D C A C B A A C C C
题号 20 28 30 31 32 33 34 35 36
答案 D C B A D B B B C
一．垂直于弦的直径（共16小题）
1．如图，OA是⊙O的半径，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若OA＝5，AB＝8，则OC的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据垂径定理即可求得AC的长，在直角△AOC中．利用勾股定理即可求得OC的长．
【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8，
∴ACAB＝4，
在直角△AOC中，OA＝5，
∴OC3．
故选：B．
2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE＝3，CD＝8，那么直径AB的长为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
【分析】连接OD，根据垂径定理求出DE，再根据勾股定理求出OD，再根据圆的性质求解即可．
【解答】解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，CD＝8，
∴DE＝CECD＝4，∠OED＝90°，
由勾股定理得：OD5，
∴AB＝2OD＝10，
故选：D．
3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E．若CD＝8，OD＝5，则AE的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【分析】根据垂径定理求得DECD＝4，运用勾股定理即可求OE，最后AE＝OA+OE即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴∠OED＝90°，DECD＝4，
在Rt△OED中，OE3，
∵OA＝OD＝5，
∴AE＝OA+OE＝5+3＝8．
故选：C．
4．如图，在直径为82cm的圆柱形油槽内装有一些油以后，油面宽AB＝80cm，则油的最大深度为（　　）
A．32cm B．31cm C．9cm D．18cm
【分析】先连接OA，过点O作OC⊥AB，交⊙O于D，根据垂径定理，即可求得AC的值，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理，即可求得OC的值，继而求得油的最大深度．
【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于点C，并延长交⊙O于点D，连接OA，
依题意得CD就是油的最大深度，
根据垂径定理得：ACAB＝40cm，OA＝41cm，
在Rt△OAC中，根据勾股定理得：OC9（cm），
∴CD＝OD﹣OC＝41﹣9＝32（cm），
故选：A．
5．如图，⊙O的半径为10，弦AB＝16，点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，若OM的长为整数，则这样的点M有几个？（　　）
A．4 B．5 C．7 D．9
【分析】过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，根据垂径定理及勾股定理求出OP＝6，根据两点间的距离推出OM可取6，7，8，9，据此即可得解．
【解答】解：如图，过点O作OP⊥AB于点P，连接OA，
∵弦AB＝16，
∴APAB＝8，
∵OA＝10，
∴OP6，
∴OM的最短距离为OP，最长距离为OA，
∵点M是弦AB上的动点且点M不与点A、B重合，
∴6≤OM＜10，
∵OM的长为整数，
∴OM可取6，7，8，9，
即这样的点M有7个，
故选：C．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（　　）
A．CM＝DM B．OM＝MB C．BC＝BD D．∠ACD＝∠ADC
【分析】先根据垂径定理得CM＝DM，，，得出BC＝BD，再根据圆周角定理得到∠ACD＝∠ADC，而OM与BM的关系不能判断．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，，，
∴BC＝BD，∠ACD＝∠ADC．
故选：B．
7．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为6米，点C是运行轨道的最低点．点C到水面的距离为2米，则⊙O的半径长为（　　）
A．米 B．5米 C．4米 D．米
【分析】连接OA、OC，OC交AB于点D，由垂径定理得AD＝BDAB＝3（米），再根据勾股定理得求解即可．
【解答】解：如图2，连接OA、OC，OC交AB于点D，
由题意得：OA＝OC＝2+OD，OC⊥AB，
∴OD＝OA﹣2，
∴AD＝BDAB＝3（米），∠ADO＝90°，
在Rt△OAD中，OA2＝OD2+AD2，
∴OA2＝（OA﹣2）2+32，
∴OA（米），
故选：A．
8．紫砂壶（图①）是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程中需要用到几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，它的作用是确保壶嘴、壶把和壶口中心在一条直线上．如图②是从上面看到的形状示意图，⊙O为紫砂壶的壶口，已知A，B两点在⊙O上，直线l过点O，且l⊥AB于点D，交⊙O于点C．若AB＝36mm，CD＝6mm，则这个紫砂壶的壶口半径r的值为（　　）
A．30mm B． C．40mm D．60mm
【分析】根据垂径定理求出BD，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可求出r．
【解答】解：∵直线l过点O，且l⊥AB于点D，AB＝36mm，
∴BD＝ADAB＝18mm，
在Rt△BOD中，BD＝18mm，OD＝OC﹣CD＝（r﹣6）mm，
∵OB2＝BD2+OD2，
∴r2＝182+（r﹣6）2，
解得r＝30，
∴这个紫砂壶的壶口半径r的值为30mm．
故选：A．
9．如图，⊙O的半径为10，弦AB的长为12，OD⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，则OD＝　8　．
【分析】根据垂径定理求出AD＝6，再根据勾股定理求出OD即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为10，
∴OA＝10，
∵OD⊥AB，AB＝12，
∴ADAB＝6，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD8，
故答案为：8．
10．如图点P为弦AB上一点，连接OP，过P作PC⊥OP，PC交圆O于点C，若AP＝4，PB＝9，则线段PC的长为　6　
【分析】首先延长CP交⊙O于点D，由PC⊥OP，根据垂径定理，即可得PC＝PD，又由相交弦定理，即可得PC PD＝PB PA，继而求得PC的长．
【解答】解：延长CP交⊙O于点D，
∵PC⊥OP，
∴PC＝PD，
∵PC PD＝PB PA，
∴PC2＝PB PA，
∵AP＝4，PB＝9，
∴PC2＝36，
∴PC的长为6，
故答案为：6．
11．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2，则⊙O的半径长为 　5　．
【分析】先根据垂径定理得出DE的长，设⊙O的半径长为r，则OE＝r﹣BE＝r﹣2，再利用勾股定理求出r的值即可．
【解答】解：∵直径AB⊥CD于点E，CD＝8，BE＝2，
∴DECD＝4，
设⊙O的半径长为r，则OE＝r﹣BE＝r﹣2，
在Rt△ODE中，OE2+DE2＝OD2，即（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5．
故答案为：5．
12．已知⊙O的直径AB＝10cm，CD是⊙O的弦，AE⊥CD，垂足为点E，BF⊥CD，垂足为点F，且CD＝8cm，则BF﹣AE的长为 　6　cm．
【分析】如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．证明AE＝FK，利用勾股定理求出OH，再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题．
【解答】解：如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．
∵OH⊥CD，
∴CH＝DH＝4（cm），∠CHO＝90°，
∴OH3（cm），
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OH∥BF，
∵OA＝OB，
∴EH＝FH，
∵∠AEH＝∠KFH＝90°，∠AHE＝∠FHK，
∴△AEH≌△KFH（AAS），∴AH＝HK，AE＝FK，
∵AO＝OB，
∴OHBK，
∴BK＝6（cm），
∴BF﹣AE＝BF﹣FK＝BK＝6（cm）．
解法二：如图，连接CO，EO，延长EO交BF于点J，过点O作OH⊥CD于点H．
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥BJ，
∴∠AEO＝∠BJO，
∵OA＝OB，∠AOE＝∠BOJ，
∴△AEO≌△BJO（AAS），
∴AE＝BJ，
∴BF﹣AE＝BF﹣BJ＝JF＝2OH＝6（cm）．
故答案为6．
13．如图，AB是⊙O的弦，半径OA＝20cm，∠AOB＝120°，求△AOB的面积．
【分析】作OC⊥AB于C，根据三角形内角和定理得到∠A＝30°，根据直角三角形的性质求出OC，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理，三角形的面积公式计算．
【解答】解：作OC⊥AB于C，
则AC＝CB，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴∠A＝30°，
∴OCOA＝10，
由勾股定理得，AC10，
∴AB＝2AC＝20，
∴△AOB的面积AB×OC＝100（cm2）．
14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝20，EB＝4，求弦CD的长．
【分析】连接OC，根据垂径定理得到CE＝ED，根据AB＝20求出OC、OB的长，根据EB＝4求出OE的长，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的长．
【解答】解：连接OC，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE＝DECD，OC＝OBAB＝10，
∴OE＝OB﹣EB＝10﹣4＝6，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE8，
∴CD＝2CE＝16．
15．如图，OA＝OB，AB交⊙O于点C，D，OE是半径，且OE⊥AB于点F．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若CD＝10，EF＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一可得AF＝BF，再根据垂径定理可得CF＝DF，然后根据线段和差即可得证；
（2）连接OC，设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，OF＝r﹣3，再根据垂径定理可得，然后在Rt△COF中，利用勾股定理求解即可得．
【解答】（1）证明：∵OA＝OB，OE⊥AB于点F，
∴AF＝BF，
又∵OE是⊙O的半径，OE⊥AB，
∴CF＝DF，
∴AF﹣CF＝BF﹣DF，
∴AC＝BD；
（2）解：如图，连接OC，
∵OE⊥AB，CD为⊙O的弦，
∴CFCD＝5，∠OFC＝90°，
∴CO2＝CF2+OF2，
设⊙O的半径是r，
∴r2＝52+（r﹣3）2，
解得r，
∴⊙O的半径是．
16．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC．
（1）求证：AC＝CG；
（2）若CD＝EG＝8，求弦DB的长度．
【分析】（1）欲证明AC＝CG，利用圆周角定理的推论和三角形的内角和证明∠A＝∠G即可得解；
（2）由垂径定理得出DE＝EC＝4，再由勾股定理得出半径为5，在Rt△DBE中，利用勾股定理构建方程即可求解．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，DF⊥CG，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠EBD＝∠FBG，
∴∠CDF＝∠G，
.∵∠A＝∠CDF，
∴∠A＝∠G，
∴CA＝CG；
（2）解：连接OD．
设圆的半径为r，则OE＝8﹣r．
∵CD⊥AB，AB为直径，
∴DE＝EC＝4．
在Rt△OED中，由勾股定理得：
42+（8﹣r）2＝r2，
解得r＝5．
∴EB＝r﹣OE＝2．
在Rt△DBE中，由勾股定理得：
DB2＝42+22＝20，
解得．
二．二、弧、弦、圆心角（共13小题）
17．如图，⊙O中，点A、B、C在圆上，且弧AB长等于弧AC长的2倍，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝2AC B．AB＞2AC
C．AB＜2AC D．以上结论都不对
【分析】取的中点H，连接AH、BH，根据圆心角、弧、弦的关系得到AH＝BH＝AC，根据三角形三边关系判断即可．
【解答】解：如图，取的中点H，连接AH、BH，
则，
∵弧AB长等于弧AC长的2倍，
∴，
∴AH＝BH＝AC，
在△ABH中，AH+BH＞AB，
∴AB＜2AC，
故选：C．
18．如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE＝8，BG＝3，则⊙O的半径长是（　　）
A．4 B．5.5 C． D．
【分析】先根据垂径定理和点C是弧BE的中点得出，从而得出CD＝BE＝8，再利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：连接OD，如图，设⊙O的半径为r，
∵CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴，CG＝DG，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴CD＝BE＝8，
∴，
∵OG＝r﹣3，OD＝r，
∴42+（r﹣3）2＝r2，
解得，
∴⊙O的半径为．
故选：C．
19．如图，已知点A、B、C、D都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（　　）
A． B．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CD D．OC⊥BD
【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判断即可．
【解答】解：A、∵OB⊥AC，
∴，故不符合题意；
B、∵，
∴∠AOB＝∠COB，
∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；
C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD，
∵BD＜BC+CD＝2CD，
∴AC＜2CD，故符合题意；
D、∵OB＝OC，BC＝DC，
∴OC⊥BD，故不符合题意；
故选：C．
20．如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置…则第2023秒点P所在的位置为（　　）
A． B．
C．（0，﹣1） D．
【分析】首先判断点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，再求出第2023秒点P′的位置，再过P′作P′M⊥x轴于M，解直角三角形求出P′M、OM，即可得出答案．
【解答】解：∵动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，360÷45＝8，
∴点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，
∵2023÷8＝252…7，
∴第2023秒点P所在位置与第7秒所在的位置相同，
如图，即第2023秒点P所在位置，
过P′作P′M⊥x轴于M，则∠P′MO＝90°，
∵OP′＝1，∠P′OM＝45°，
∴P′M＝OM＝1×sin45°，
即此时P点的坐标是（，）．
故选：D．
21．已知，如图，点A，B，C，D是⊙O上四个点，AD＝BC．
求证：AB＝CD．
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可证明结论．
【解答】解：∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴AB＝CD．
22．一条长为6cm的弦将圆分成1：2的两条弧，则圆的直径为 　4　cm．
【分析】过O作OH⊥AB于H，连接OA，OB，由垂径定理得到AHAB＝3（cm）求出的度数360°＝120°，得到∠AOB＝120°，由等腰三角形的性质得到∠AOH∠AOB＝60°，由锐角的正弦即可得到AO2（cm），因此圆的直径是4cm．
【解答】解：如图，⊙O中，弦AB＝6cm，
过O作OH⊥AB于H，连接OA，OB，
∴AHAB＝3（cm），
由题意得：的度数360°＝120°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠AOH∠AOB＝60°，
∵sin∠AOH，
∴AO2（cm），
∴圆的直径是4cm．
故答案为：4．
23．如图，在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，∠C度数是　70°　．
【分析】由在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，根据等腰三角形的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵在⊙O中，AB＝AC，∠B＝70°，
∴∠C＝∠B＝70°．
故答案为：70°．
24．已知四边形ABCD内接于⊙O，OA＝5，AB＝BC，E为CD上一点，且BE＝BC，∠ABE＝90°，则AD的长为　　．
【分析】如图，连接OD，AC．首先证明∠ACE∠ABE＝45°，推出∠AOD＝2∠ACE＝90°，可得结论．
【解答】解：如图，连接OD，AC．
∵BA＝BE＝BC，
∴点B是△AEC的外接圆的圆心，
∴∠ACE∠ABE＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACE＝90°，
∵OA＝OD＝5，
∴AD＝5，
故答案为：5．
25．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，则∠COE＝ 　64°　．
【分析】根据等弦所对圆心角相等即可求解．
【解答】解：∵，
∴∠AOE＝∠AOC，
又∵∠AOE＝32°，
∴∠AOC＝32°，
∴∠COE＝∠AOE+∠AOC＝32°+32°＝64°，
故答案为：64°．
26．AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：．
【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG＝∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知；然后根据垂径定理可知；最后根据图形易证得结论．
【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．
∵OE＝OF，OG⊥EF于点G，
∴∠EOG＝∠FOG，
∴．
又∵OG⊥AB于点G，
∴，
∴，
即．
27．如图，AB为⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F．且．
（1）求证：AE＝BF；
（2）作半径ON⊥AB于点M，若AB＝12，MN＝3，求OM的长．
【分析】（1）连接OA、OB，证明△AOE≌△BOF（ASA），即可得出结论；
（2）连接OA，由垂径定理得出AMAB＝6，设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，在Rt△AOM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：连接OA、OB，如图1所示：
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△OBF中，
，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF．
（2）解：连接OA，如图2所示：
∵OM⊥AB，
∴AMAB＝6，
设OM＝x，则OA＝ON＝x+3，
在Rt△AOM中，由勾股定理得：62+x2＝（x+3）2，
解得：x＝4.5，
∴OM＝4.5．
28．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝50°，则∠C的度数为（　　）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】由AB是⊙O的直径，推出∠ADB＝90°，再由∠ABD＝50°，求出∠A＝40°，根据圆周角定理推出∠C＝40°．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝50°，
∴∠A＝40°，
∴∠C＝40°．
故选：C．
29．如图，弦AC，BD在⊙O上，分别连接OA，OB，OC，OD，∠AOB＝∠COD，AC与OB交于点E，⊙O半径为6．
（1）求证：；
（2）若BD＝10，E为AC的中点，求OE的长．
【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系证明即可；
（2）根据圆心角、弧、弦的关系证明AC＝BD，再由等腰三角形的性质及垂径定理求出AE，在Rt△AEO中利用勾股定理求出OE即可．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴，
∵，，
∴．
（2）∵，
∴AC＝BD＝10，
∵OA＝OC，E为AC的中点，
∴OE⊥AC，
∴AEAC＝5，
在Rt△AEO中利用勾股定理，得OE，
∴OE的长是．
三．圆周角（共15小题）
30．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝55°，则∠ABO的度数是（　　）
A．30° B．35° C．40° D．55°
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等腰三角形的性质求出∠ABO＝∠BAO，根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝110°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO（180°﹣∠AOB）＝35°，
故选：B．
31．如图，在⊙O中，AB是直径，，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得，即可求解，解题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．
【解答】解：由题意可得：∠AOE+∠BOE＝180°，∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵，
∴，
故选：A．
32．如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
A．AE＝BE B． C．AC＝BC D．OE＝CE
【分析】根据垂径定理、圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．
【解答】解：∵直径CD⊥AB，
∴AE＝BE，，，
∴AC＝BC，
故选项A、B、C的结论成立，
OE与CE的关系不能确定，故选项D的结论不一定成立，
故选：D．
33．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝38°，则∠ABD的大小为（　　）
A．76° B．52° C．50° D．38°
【分析】解法一：连接AD，如图1，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠A＝∠BCD＝38°，然后利用互余计算∠ABD的度数或连接OD，如图2，根据圆周角定理得到∠DOB＝76°，然后利用等腰三角形和三角形内角和计算∠ABD的度数．
解法二：先利用同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出角BOD，最后用等腰三角形的性质即可得胡结论．
【解答】解法一：连接AD，如图1，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠A＝∠BCD＝38°，
∴∠ABD＝90°﹣38°＝52°．
解法二：连接OD，如图2，
根据圆周角定理，∠DOB＝2∠DCB＝76°，
∵OD和OB均为⊙O的半径，
∴OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∴在△DOB中，∠ABD．
故选：B．
34．如图，AB是⊙O的直径，若AB＝2AC，D是的中点，则∠CAD的度数为（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】连接BC，根据题意得出∠CAB＝60°，进而根据D是BC的中点，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝2AC，
∴，
∴∠CAB＝60°，
∵D是BC的中点，则DC＝DB，
∴，
故选：B．
35．如图，圆上依次有A，B，C，D四个点，AC，BD交于点P，连接AD，AB，BC，若∠ACB＝40°，则∠ADB的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等求解即可．
【解答】解：∵，
∴∠ADB＝∠ACB，
∵∠ACB＝40°，
∴∠ADB＝40°，
故选：B．
36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA平分∠DBE，AD＝6，CE＝4，则AE＝（　　）
A．5 B．4 C． D．
【分析】连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得∠ABE＝∠CDA，∠ABD＝∠ACD，进而得∠ACD＝∠CDA，得到AC＝AD＝6，然后利用勾股定理求出AE即可求解．
【解答】解：连接AC，
∵BA平分∠DBE，
∴∠ABE＝∠ABD，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝∠ADC，
∵弧AD＝弧AD，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDA，
∴AC＝AD＝6，
∵AE⊥CB，
∴AE2，
故选：C．
37．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝25°，则∠ABD＝ 　65　°．
【分析】根据圆周角定理：直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等即可求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵∠DAB＝∠BCD＝25°，
∴∠ABD＝90°﹣25°＝65°．
故答案为：65．
38．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E都在⊙O上，∠ACE＝55°，则∠BDE＝　35　°．
【分析】连接OE，如图，先利用圆周角定理得到∠AOE＝2∠ACE＝110°，则利用邻补角计算出∠BOE＝70°，然后再利用圆周角定理计算∠2的度数．
【解答】解：连接OE，如图，
∵∠ACE＝55°，
∴∠AOE＝2∠ACE＝2×55°＝110°，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣110°＝70°，
∵∠BOE＝2∠BDE，
∴∠BDE＝35，
故答案为：35．
39．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠C＝　110°　．
【分析】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，求出∠A＝90°﹣20°＝70°，由圆内接四边形的性质推出∠A+∠C＝180°，即可得到∠C＝110°．
【解答】解：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝20°，
∴∠A＝90°﹣20°＝70°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝110°．
故答案为：110°．
40．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠ACB＝40°，则∠OBA的大小是 　50　°．
【分析】根据圆周角定理求出∠AOB＝80°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB（180°﹣80°）＝50°，
故答案为：50．
41．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，∠B＝45°．求证AB＝CD．
【分析】连接OA，OB，OC，OD，根据弦AB⊥CD，∠ABC＝45°，可得∠BCE＝∠ABC，根据圆周角定理得∠BOD＝∠AOC，根据圆心角、弧、弦的关系即可得出结论．
【解答】证明：如图，连接OA，OB，OC，OD，
∵弦AB⊥CD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BCE＝∠ABC＝45°，
∴∠BOD＝∠AOC，
∴，
∴，
∴AB＝CD．
42．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求CD的长（用多种方法解题）．
【分析】过点A作AE⊥CD交CD于点E，连接DA，DB．由AB是⊙O的直径，结合CD是∠ACB的平分线，易得∠CAE＝45°，AD＝BD，则CE、AD的长度可求，进而可得DE的长度，至此根据CD＝CE+DE，可求出CD的长；
【解答】解：过点A作AE⊥CD交CD于点E，连接DA，DB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，，
∴∠CAE＝45°，AD＝BD，
∴AE＝CEAC＝3，ADAB＝5，
∴DE4，
∴CD＝CE+DE＝7．
43．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BEC＝30°，过点C作CF⊥AB于点F，CF的延长线交⊙O于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若⊙O的半径为5，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，根据等边三角形的判定与性质可得∠ABC的度数；
（2）根据三角形函数求出CF，再由垂径定理求出CD即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC．
∵∠BEC＝30°，
∴∠BOC＝2∠BEC＝2×30°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
（2）∵OC＝5，∠BOC＝60°，
∴CF＝OC sin∠BOC＝5，
∵CF∥AB，
∴CD＝2CF＝25．
44．如图1，在⊙O中，AB、CD是直径，弦BE⊥CD，垂足为F．
（1）求证：CE＝AD；
（2）如图2，点G在CD上，且∠CAG＝∠ABE．
①求证：AG＝BC；
②若FG＝2，BE＝4，求OG的长．
【分析】（1）先根据垂径定理得到，再根据圆心角、弧、弦的关系由∠AOD＝∠BOC得到，所以，从而得到结论；
（2）①连接AE、CE，如图，根据圆周角定理得到∠ACE＝∠ABE，∠AEB＝90°，再证明CE∥AG，AE∥CD，则可判断四边形AECG为平行四边形，所以AG＝CE，然后利用BC＝CE得到AG＝BC；
②设OG＝x，则OF＝x+2，则利用OF为△ABE的中位线得到AE＝2x+4，再根据平行四边形的性质得到CG＝AE＝2x+4，所以OC＝3x+4，则在Rt△OBF中利用勾股定理得到（x+2）2+（2）2＝（3x+4）2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵BE⊥CD，
∴，
∵∠AOD＝∠BOC，
∴，
∴，
∴AD＝CE；
（2）①证明：连接AE、CE，如图，
∵∠ACE＝∠ABE，∠CAG＝∠ABE，
∴∠CAG＝∠ACE，
∴CE∥AG，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵CD⊥BE，
∴∠DFE＝90°，BF＝EF，，
∴AE∥CD，
∵AE∥OC，CE∥AG，
∴四边形AECG为平行四边形，
∴AG＝CE，
∵BC＝CE，
∴AG＝BC；
②解：设OG＝x，则OF＝x+2，
∵OA＝OB，FE＝FB，
∴OF为△ABE的中位线，
∴AE＝2OF＝2x+4，
∵四边形AECG为平行四边形，
∴CG＝AE＝2x+4，
∴OC＝OG+CG＝3x+4，
在Rt△OBF中，∵OB＝OC＝3x+4，OF＝x+2，BFBE＝2，
∴（x+2）2+（2）2＝（3x+4）2，
整理得2x2+5x﹣7＝0，
解得x1＝1，x2（舍去），
即OG的长为1．
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