人教版九年级上册 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 分层练习（含解析）

人教版九年级上 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 分层练习
一．点和圆的位置关系（共16小题）
1．若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
2．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与⊙B的位置关系是（　　）
A．点A在⊙B外 B．点A在⊙B上 C．点A在⊙B内 D．无法确定
4．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知△OBC为等边三角形，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．25° C．15° D．10°
6．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（　　）
A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定
7．如图，在⊙O中，弦MN的长为，点A在⊙O上，MN⊥OA，∠ANM＝30°．若⊙O所在的平面内有一点P，且OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
8．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P是矩形ABCD内一动点，且∠BPC＝90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值为（　　）
A． B．4 C．3 D．5
9．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，则OP的长为 　 　．
10．已知⊙O的半径为4，若点P在⊙O内，则OP 　 　4（填“＞”“＝”或“＜”）．
11．如图，矩形ABCD中，，点E是矩形内部一动点，且∠BAE＝∠CBE，已知DE的最小值等于2，则矩形ABCD的周长＝　 　．
12．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D，E分别是AB，AC的中点，⊙B是以B为圆心，BC为半径的圆，则点D，E与⊙B分别是怎样的位置关系？
14．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
15．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何？
（2）若以C为圆心作⊙C，使A、B、M三点至少有一点在⊙C内，至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？
16．问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？
探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号　 　；
发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现：　 　；
说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由．
二．直线和圆的位置关系（共16小题）
17．如图，已知PA切⊙O于A，⊙O的半径为3，OP＝5，则切线PA长为（　　）
A． B．8 C．4 D．2
18．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆（　　）
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
19．PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于A、B的一个点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是（　　）
A．70° B．110° C．70°或110° D．80°或100°
20．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若∠P＝48°，则∠ACB的度数为（　　）
A．132° B．66° C．56° D．48°
21．半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　）
A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4
22．如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝40°，则∠CDB＝（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
23．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠A＝30°，OD＝4，那么DC的长是（　　）
A．6 B．4 C． D．3
24．如图，⊙O的直径AB的长度为定值a，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于点D，C两点，设AD＝x，BC＝y，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x﹣y B．x+y C．xy D．x2+y2
25．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，∠ACB的平分线交AB于点P，若AC＝5，BC＝3，则OP的长为 　 　．
26．如图，已知⊙O的半径为R，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB＝30°，则BD的长为　 　．
27．如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为 　 　．
28．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为 　 　．
29．如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点．
（1）点M的坐标是 　 　；
（2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由．
30．如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的半圆交BC于点F，点E是边AC和半圆的公共点，且满足DE＝EF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，AB＝9，求BF的长度．
32．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点E为AB上一点，以AE为直径的⊙O上一点D在BC上，且AD平分∠BAC．
（1）证明：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BE＝2，求AB的长．
人教版九年级上 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 分层练习
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 17 18 19
答案 C D A D A A A B C C C
题号 20 21 22 23 24
答案 B C B C C
一．点和圆的位置关系（共16小题）
1．若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定
【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，1＜2，
∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O内，
故选：C．
2．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与⊙B的位置关系是（　　）
A．点A在⊙B外 B．点A在⊙B上 C．点A在⊙B内 D．无法确定
【分析】利用勾股定理求得AB＝13边的长，然后通过比较AB与半径的长即可得到结论，
【解答】解：由题意可得：
∴，
∵AB＝13＞12，
∴点A在⊙B外，
故选：A．
4．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
故选：D．
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知△OBC为等边三角形，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．25° C．15° D．10°
【分析】根据等边三角形的性质可得∠BOC＝60°，然后根据圆周角定理即可解决问题．
【解答】解：∵△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠A∠BOC＝30°．
故选：A．
6．⊙O的半径为3，点P在⊙O外，点P到圆心的距离为d，则d需要满足的条件（　　）
A．d＞3 B．d＝3 C．0＜d＜3 D．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法求解．
【解答】解：∵点P在⊙O外，
∴d＞3．
故选：A．
7．如图，在⊙O中，弦MN的长为，点A在⊙O上，MN⊥OA，∠ANM＝30°．若⊙O所在的平面内有一点P，且OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定
【分析】先根据垂径定理得出MB＝NBMN，再由∠ANM＝30°得出∠AOM＝60°，故∠M＝30°，可知OM＝2OB，设OB＝x，则OM＝2x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出OM的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：设MN与OA交于点B，
∵弦AB的长为2，MN⊥OA，
∴MB＝NBMN，
∵∠ANM＝30°，
∴∠AOM＝2∠ANM＝60°，
∴∠M＝30°，
∴OM＝2OB，
设OB＝x，则OM＝2x，
在Rt△BOM中，OB2+BM2＝OM2，
即x2+（）2＝（2x）2，
解得x＝±1（负值舍去），
∴OM＝2x＝2，
∵OP＝2，
∴OP＝OM，
∴点P在⊙O上．
故选：A．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P是矩形ABCD内一动点，且∠BPC＝90°，连接AP，PD，则△APD面积的最小值为（　　）
A． B．4 C．3 D．5
【分析】根据题意得出点P在BC为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点P到AD的最短距离为1，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得：点P在BC为直径，在矩形内的半圆上运动，
∵矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，
∴BC＝AD＝8，
如图所示：
∴点P到AD的最短距离为，
∴△APD面积的最小值为，
故选：B．
9．已知⊙O的半径为5，点P在⊙O上，则OP的长为 　5　．
【分析】根据d＝r时点在圆上解决问题即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O上，
∴OP＝r＝5．
故答案为：5．
10．已知⊙O的半径为4，若点P在⊙O内，则OP 　＜　4（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】根据点与圆的三种关系即可判断得到答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为4，点P在⊙O内，
∴OP＜4．
故答案为：＜．
11．如图，矩形ABCD中，，点E是矩形内部一动点，且∠BAE＝∠CBE，已知DE的最小值等于2，则矩形ABCD的周长＝　44　．
【分析】由∠BAE＝∠CBE，∠ABE+∠CBE＝90°，可得∠BAE+∠ABE＝90°，则∠AEB＝90°，即点E在以AB为直径的半⊙O上运动，如图，当点O，E，D三点共线时，DE取最小值2，设A B＝2 r，则AO＝r，，DO＝r+2，由勾股定理得，AO2+AD2＝DO2，即，可求r＝1．则，根据矩形ABCD的周长＝2（AB+AD），求解作答即可．
【解答】解：∵∠BAE＝∠CBE，∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的半⊙O上运动，
如图，
∴当点O，E，D三点共线时，DE取最小值2，
设A B＝2 r，则AO＝r，，DO＝r+2，
由勾股定理得，AO2+AD2＝DO2，即，
解得r＝1．
∴，
∴矩形ABCD的周长，
故答案为：．
12．如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是 　30°　．
【分析】连接AC，根据C（，0），D（0，1）可得ODCD，即知∠DCO＝30°，故∠B＝30°．
【解答】解：连接AC，如图：
∵C（，0），D（0，1），
∴CD2，
∴ODCD，
∴∠DCO＝30°，
∵，
∴∠B＝30°，
故答案为：30°．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D，E分别是AB，AC的中点，⊙B是以B为圆心，BC为半径的圆，则点D，E与⊙B分别是怎样的位置关系？
【分析】由∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，得AB＝5，由D，E分别是AB，AC的中点，得BD＝2.5＜3＝BC，得点D在⊙B内；由∠C＝90°，得BE＞BC，得点E在⊙B外．
【解答】解：由∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
得AB＝5，
由D，E分别是AB，AC的中点，
得BD＝2.5＜3＝BC，
得点D在⊙B内；
由∠C＝90°，
得BE＞BC，
得点E在⊙B外．
14．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．
（1）求AF、AE的长；
（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．
【分析】（1）先利用勾股定理计算出AC和BD，再利用面积法计算出AF、DE，然后根据勾股定理计算出AE；
（2）利用B、C、D、E、F到点A的距离可判断⊙A的半径r的取值范围．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，
∴AC＝BD5，
∵AF BDAB AD，
∴AF，
同理可得DE，
在Rt△ADE中，AE；
（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，
∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，
∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．
15．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，M为AB的中点．
（1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何？
（2）若以C为圆心作⊙C，使A、B、M三点至少有一点在⊙C内，至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围是什么？
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，由直角三角形的性质得出CM的长，根据点与圆的位置关系即可得出结论；
（2）根据BC、AC及CM的长即可得出r的取值范围．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝5，
∴AB．
∵M为AB的中点，
∴CMAB3，
∴以C为圆心，3为半径作⊙C，点A在圆上，点B在圆外，点M在圆内；
（2）∵BC＝5，BC＞AC＞CM，
∴以C为圆心作⊙C，使A、B、M三点至少有一点在⊙C内，至少有一点在⊙C外，则⊙C的半径r的取值范围为：r＜5．
16．问题：我们知道，过任意的一个三角形的三个顶点能做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，那么任意的一个四边形有外接圆吗？
探索：如图给出了一些四边形，填写出你认为有外接圆的图形序号　②　；
发现：相对的内角之间满足什么关系时，四边形一定有外接圆？写出你的发现：　对角互补的四边形一定有外接圆　；
说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间有上面的关系吗？请结合图④说明理由．
【分析】利用矩形的性质可判断矩形的四个顶点在同一个圆上；利用对角互补可判断四边形一定有外接圆；如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系，利用对角互补的四边形一定有外接圆进行说明．
【解答】解：探索：矩形有外接圆；
故答案为②；
发现：对角互补的四边形一定有外接圆；
故答案为对角互补的四边形一定有外接圆；
说理：如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．
图④左：连接BE，∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，
∴∠A+∠BCD＞180°；
图④右：连接DE，∵∠A+∠BED＝180°，∠BED＞∠C，
∴∠A+∠C＜180°．
二．直线和圆的位置关系（共16小题）
17．如图，已知PA切⊙O于A，⊙O的半径为3，OP＝5，则切线PA长为（　　）
A． B．8 C．4 D．2
【分析】连接OA，如图，先利用切线的性质得到OA⊥AP，然后利用勾股定理计算PA的长．
【解答】解：连接OA，如图，
∵PA切⊙O于A，
∴OA⊥AP，
在Rt△OAP中，PA4．
故选：C．
18．在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆（　　）
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
【分析】首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到x轴的距离是4，到Y轴的距离是3，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
【解答】解：圆心到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
4＝4，3＜4，
∴圆与x轴相切，与y轴相交，
故选：C．
19．PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C是⊙O上不同于A、B的一个点，若∠P＝40°，则∠ACB的度数是（　　）
A．70° B．110° C．70°或110° D．80°或100°
【分析】分情况讨论：C点在劣弧AB上或点C点在优弧AB上．连接过切点的半径，发现四边形，根据四边形的内角和定理求得∠AOB的度数，进一步根据圆周角定理进行计算．
【解答】解：如图，连接OA、OB，在AB弧上任取一点C；
∵PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
连接AC、BC，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∵∠P＝40°，
∴在四边形OAPB中，可得∠AOB＝180°﹣∠P＝140°；
则有①若C点在优弧AB上，则；
②若C点在优劣弧AB上，则∠ACB＝180°﹣70°＝110°．
故选：C．
20．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧上的一个动点，若∠P＝48°，则∠ACB的度数为（　　）
A．132° B．66° C．56° D．48°
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，最后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣48°＝132°，
∴，
故选：B．
21．半径为5的四个圆按如图所示位置摆放，若其中有一个圆的圆心到直线l的距离为4，则这个圆可以是（　　）
A．⊙O1 B．⊙O2 C．⊙O3 D．⊙O4
【分析】根据直线与圆的位置关系解答即可．
【解答】解：∵⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4是四个半径为5的等圆，
∴圆心到直线l的距离为4是⊙O3，
故选：C．
22．如图，线段AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，∠E＝40°，则∠CDB＝（　　）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【分析】连接OC，根据切线的性质可知∠OCE＝90°，再由直角三角形的性质得出∠COE的度数，由圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴∠OCE＝90°，
∵∠E＝40°，
∴∠COE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠CDB∠COE＝25°．
故选：B．
23．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠A＝30°，OD＝4，那么DC的长是（　　）
A．6 B．4 C． D．3
【分析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCA＝∠A＝30°，求得∠DOC＝∠A+∠ACO＝60°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠A＝30°，
∴∠DOC＝∠A+∠ACO＝60°，
∴∠D＝30°，
∵OD＝4，
∴OCOD＝2，
∴CD2，
故选：C．
24．如图，⊙O的直径AB的长度为定值a，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于点D，C两点，设AD＝x，BC＝y，当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x﹣y B．x+y C．xy D．x2+y2
【分析】首先作DF⊥BN交BC于F，可得四边形ABFD是矩形；然后根据切线长定理得到BF＝AD＝x，CE＝CB＝y，则DC＝DE+CE＝x+y；在Rt△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系．
【解答】解：作DF⊥BN交BC于F．
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN，
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝a，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x．
∵DE切⊙O于E，
∴DE＝DA＝x CE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，由勾股定理得：（x+y）2＝（y﹣x）2+a2，
∴yx，
∴代数式的值不变的是xy，
故选：C．
25．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，∠ACB的平分线交AB于点P，若AC＝5，BC＝3，则OP的长为 　　．
【分析】过点P作PD⊥AC于点D，根据勾股定理求出，根据角平分线的性质得出PD＝PB，证明Rt△CPD≌Rt△CPB，得出CD＝BC＝3，设PD＝PB＝x，则AP＝4﹣x，根据勾股定理得出（4﹣x）2＝x2+22，求出x的值，最后求出结果即可．
【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵AC＝5，BC＝3，
∴，
∴AO＝BO＝2，
∵∠ACB的平分线交AB于点P，PD⊥AC，
∴PD＝PB，
∵PC＝PC，
∴Rt△CPD≌Rt△CPB（HL），
∴CD＝BC＝3，
∴AD＝5﹣3＝2，
设PD＝PB＝x，则AP＝4﹣x，
根据勾股定理得：AP2＝DP2+AD2，
∴（4﹣x）2＝x2+22，
解得：，
∴．
故答案为：．
26．如图，已知⊙O的半径为R，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB＝30°，则BD的长为　R　．
【分析】连接OC，由DC是⊙O的切线，则△DCO是直角三角形；由圆周角定理可得∠DOC＝2∠CAB＝60°，则OD＝2OC＝2OB，BD的长即可求出．
【解答】解：连接OC，
由于DC是⊙O的切线，则△DCO是直角三角形，
在Rt△DOC中，∠DOC＝2∠CAB＝60°，则OD＝2OC＝2OB，
因此，BD＝OB＝R．
27．如图，PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，点C为圆O上一点，连接AC、BC，若∠P＝80°，则∠ACB的度数为 　50°　．
【分析】连接OA，OB，根据切线的性质，四边形的内角和，求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理，求出∠ACB的度数即可．
【解答】解：连接OA，OB，
∵PA、PB分别与圆O相切于A、B两点，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝100°，
∴；
故答案为：50°．
28．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点为A，B，点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PMN的周长为 　4　．
【分析】连接OP，由切线长定理及切线的性质得PA＝PB，∠OPA＝∠OPB∠APB＝30°，∠OAP＝90°，则OP＝2OA＝4，所以PA＝PB2，因为MC＝MA，NC＝NB，所以PM+MN+PN＝PA+PB＝4，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接OP，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝60°，
∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB∠APB＝30°，PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∵⊙O的半径为2，
∴OA＝2，
∴OP＝2OA＝4，
∴PA＝PB2，
∵点C是劣弧AB上一点，过C的切线交PA，PB于M，N，
∴MC＝MA，NC＝NB，
∴PM+MN+PN＝PA+PB＝224，
∴△PMN的周长为4，
故答案为：4．
29．如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点．
（1）点M的坐标是 　（3，2）　；
（2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，以AB为半径的圆为所求，然后根据网格的特征可求出点M的坐标；
（2）先利用勾股定理求出MA，即得⊙M的半径为r，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离d＝3，然后比较d与r的大小即可得出⊙M于y轴的位置关系．
【解答】解：（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，则以点M为圆心，以AM为半径的圆为所求，如图所示：
根据网格的特征可得：点M的坐标为（3，2），
故答案为：（3，2）．
（2）⊙M于y轴相交，理由如下：
由勾股定理得：MA，
即⊙M的半径为r，
∵⊙M的圆心M的坐标为（3，2），
∴点M到y轴的距离d＝3，
∵d＜r，
∴⊙M于y轴相交．
30．如图，AB为⊙O的直径，点P在⊙O外，连接AP，OP，线段OP交⊙O于点C，连接BC，∠P＝32°，∠B＝29°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）求证：PA是⊙O的切线．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠AOC＝58°，
（2）由（1）可得∠OAP＝90°，由OA为半径，即可得证．
【解答】（1）解：∵∠B＝29°，
∴∠AOC＝2∠B＝58°，
（2）证明：∵∠P＝32°，
∴∠P+∠AOC＝90°，
∴∠OAP＝90°，
又∵OA为半径，
∴PA是⊙O的切线．
31．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BD为直径的半圆交BC于点F，点E是边AC和半圆的公共点，且满足DE＝EF．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A＝30°，AB＝9，求BF的长度．
【分析】（1）连接OE，OF，则∠DOF＝2∠DBF，再证弧DE＝弧EF得∠DOF＝2∠DOE，由此得∠DBF＝∠DOE，进而得OF∥BC，据此得∠ACB＝∠AEO＝90°，然后根据切线的判定可得出结论；
（2）设⊙O的半径为r，在Rt△AEO中可得出AO＝2OE＝2r，再根据AB＝9可求出r＝3，然后再证△OBF为等边三角形即可得出BF的长．
【解答】（1）证明：连接OE，OF，
∴∠DOF＝2∠DBF，
∵DE＝EF，
∴弧DE＝弧EF，
∴∠DOE＝∠EOF，
∴∠DOF＝2∠DOE，
∴∠DBF＝∠DOE，
∴OE∥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEO＝90°，
即：OE⊥AC，
又OE为⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，
则OD＝OB＝OE＝OF＝r，
由（1）可知：∠AEO＝90°，
∴△AEO为直角三角形，
又∵∠A＝30°，
∴AO＝2OE＝2r，
∴AB＝AO+OB＝3r＝9，
∴r＝3，
∴OB＝OF＝3，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，
∴△OBF为等边三角形，
∴BF＝OB＝3．
32．如图，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点E为AB上一点，以AE为直径的⊙O上一点D在BC上，且AD平分∠BAC．
（1）证明：BC是⊙O的切线；
（2）若BD＝4，BE＝2，求AB的长．
【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出OD＝OA＝OE＝3，再根据线段的和差求解即可．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠C+∠ODC＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为半径，
∴BC是⊙O切线；
（2）解：设OD＝OE＝r，
在Rt△ODB中，BD＝4，BE＝2，
∴OB＝r+2，
由勾股定理，得：r2+42＝（r+2）2，
解得：r＝3，
∴OD＝OA＝OE＝3，
∴AB＝6+2＝8．
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