上海市杨浦区2025-2026学年高三上学期11月阶段练习数学试题（图片版，无答案）

2025 学年第一学期阶段练习
高三 数学试卷
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4分，第 7-12 题每题 5分）在答
题纸的相应位置直接填写结果；
1、函数 y sin x ， x , 的零点为 ；
2 2
2、设平面向量 a (x,1)，b (4,2)，若 a,b不能组成平面上的一个基，则 x ；
3、已知一组数据：3,5,7, x,9的平均数为6，则该组数据的第 40百分位数为 ；
4、设 x R，若复数 z 2 i log2 (x 3)在复平面内的对应点在第三象限，则 x的取值
集合为 ；
1 2
5、若 x 0， y 0， 2x 9y 1，则 的最小值为 ；
x y
f (x) lim f (2) f (2 h)6、若 满足 1，则曲线 y f (x)在点 (2, f (2))处切线的倾斜角
h 0 h
为 ；
x2 y2
7、设直线 l与椭圆 E : 1相交于 A,B两点，且 AB的中点为 ( 1,1)，则直线 l的斜
9 4
率为 ；
8、若 A {1,2,3}，B {x | x mn,m A,n A,m n}，则集合 B的子集的个数为 ；
9、在 ABC中，D是 BC边的中点，若 AB 2，BC 4，AC 3，则 AB AD ；
1 5
10、已知 e1,e2 是空间单位向量， e1 e2 ，若空间向量b满足b e1 2，b e2 ，且2 2
对于任意 x, y R， b (xe1 ye2 ) b (x0e1 y0e2 ) 1(x0 , y0 R)， b ；
11、设0 x, y 1，u 2x2 2y2 4y 2 x2 y2 2x 2y 2 x2 y2 2x 1
的最小值为 ；
12、已知 A,B两点在曲线 y e x上，C,D两点在曲线 y ln x上，给出下列四个结论：
① AC 的最小值为 2；
{#{QQABAQCAgggIAIAAAAhCAQ3QCgGYkBECCCgOxBAQMAAAABFABCA=}#}
②当 AC与坐标轴平行时， AC 的最小值为 2；
③当四边形 ABCD为正方形时，设正方形面积为 S，则 S 2(e 1)2；
④当直线 AC,BD均为曲线 y e x和 y ln x的公切线时，线段 AB的中点在 y轴上；
其中所有正确结论的序号是 ；
二、选择题（本大题共有 4题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4分，第 15、16 题每题 5分）
每题有且只有一个正确答案，在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑；
13、“ sin 2 cos2 1”是“ 0”的（ ）
（A）必要不充分条件；（B）充分不必要条件（C）充要条件；（D）既不充分也不必要条件；
14、国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，
但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循
环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量
N (mg / L)与时间 t（小时）的关系为 N N e kt0 （ N0为最初污染物数量，且 N0 0）；
如果前 4个小时消除了 20%的污染物，那么污染物消除至最初的 64%还需要（ ）
（A）3.8小时；（B） 4小时；（C） 4.4小时；（D）5小时；
15、设 f1(x) sin x， f2 (x) cos(x )，若对任意 t R，均存在 i {1,2}，使得函数
y f i (x)在 t, t

是单调函数，则 的取值可能是（ ） 4
4 3 2
（A） ；（B） ；（C） ；（D） ；
7 7 7 7
16、已知 A(2,0)，B(3,2)，C在函数 y x2 1，x 1图像上，则下列判断错误的是（ ）
（A）存在m 0，使得 S ABC m的点C有且只有一个；
（B）任意m 0，使得 S ABC m的点C至少一个；
（C）存在m 0，使得 S ABC m的点C有且仅有两个；
（D）任意m 0，使得 S ABC m的点C最多两个；
三、解答题（本大题共有 5题，满分 78 分）解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区
域内写出必要的步骤
{#{QQABAQCAgggIAIAAAAhCAQ3QCgGYkBECCCgOxBAQMAAAABFABCA=}#}
17、（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分；
己知等比数列{an}满足 a1 a2 3， a4 a5 24；
（1）求{an}的通项公式；
（2）设bn an 2n，求数列{bn}的前 n项和 Sn；
18、（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分；
某市环保部门为了监测某条河流的水质情况，连续30天测量了河流的 PH 值，整理数据后，
得到如图所示的频率分布直方图；
（1）求 a的值，并估计这30天河流 PH 值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表）；
（2）若PH 值低于6.5的称为“酸性超标日”，其中 PH 值在[6.0,6.5)的称为“轻度超标
日”， PH 值在[5.5,6.0)的称为“重度超标日”，环保部门决定杂用分层抽样的方法从“酸
性超标日”中抽取3天，并从这3天中随机选择 2天进行水质复检，求这 2天都是“轻度超
标日”的概率；
19、（本题满分 14 分）本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 8分；
如图所示的几何体是一个半圆柱，点 P是半圆弧 BC上一动点（点P与点 B,C 不重合），E
为弧 BC的中点， AB AD 4；
（1）证明：PA PC；
（2）若平面PAC 与平面CDE所成的锐二面角的平面角为 45 ，求此时点D到平面 PAC 的
距离；
{#{QQABAQCAgggIAIAAAAhCAQ3QCgGYkBECCCgOxBAQMAAAABFABCA=}#}
20、（本题满分 18 分）本题共有 3个小题，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小
题满分 8分；
已知曲线C : x2 y2 2，第一象限内点 P在曲线C上，F1( 2,0)、F2 (2,0)，连接 PF2并
延长与曲线C交于Q点，PF2 F2Q( 0)；以 P为圆心， PF2 为半径的圆与线段 PF1
交于点 N ，记 PF2N ， PF1Q的面积分别为 S1,S2；
（1）若 1，求点 P的坐标；
PF PF
（2）若点 P的坐标为 (x , y 1 20 0 )，求证： x0 ；PF1 PF2
S S
（3）求 2 1 的最小值；
S1
21、（本题满分 18 分）本题共有 3个小题，第 1 小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小
题满分 8分；
给定函数 f (x)，若过点 P恰能作曲线 y f (x)的 k条切线（ k N），则称P是 f (x)的
“ k秩点”，切点的横坐标为 f (x)的“ k秩数”；
（1）若 A(1,0)是函数 y x2的“ k秩点”，求其“ k秩数”；
（2）证明：B(0,2)是函数 y cos x( 2 x 2 )的“0秩点”；
（3）记使函数 y x3 x的“1秩数”小于 0的“1秩点”构成的集合为 ，证明：对 M (x1, y1)，
N (x2 , y2 ) ，且 x2 x1 1，有 2y1 y2 0；
{#{QQABAQCAgggIAIAAAAhCAQ3QCgGYkBECCCgOxBAQMAAAABFABCA=}#}