四川省德阳市罗江中学校2024-2025学年高三下学期高考模拟考试（一）数学试卷（PDF版，含答案）

四川省罗江中学校 2024-2025 学年度高三下高考模拟考试（一）
数学科目试卷
说明：
1. 考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。
2. 开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用 2B 铅笔在答题卡的规定区域填写，
用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡的指定区域书写。
3. 考试结束后，只交回答题卡即可。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知函数 = ( )在区间[ , ]内的图象为连续不断的一条曲线，则“ ( ) ( ) < 0”是“函数 = ( )
在区间[ , ]内有零点”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知向量 = (2, 2)，向量 在 上的投影向量 = ( 1,1)，则 =( )
A. 4 B. 2 C. 0 D. 2
3.已知连续型随机变量 服从正态分布 ( 12 ,
1
4 )，记函数 ( ) = ( ≤ )，则 ( )的图象( )
A. 关于直线 = 12对称 B. 关于直线 =
1
4对称
C. 关于点( 1 , 1 )成中心对称 D. 关于点( 12 2 4 ,
1
4 )成中心对称
4.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他
们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率
如下图：
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则( )
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 70％
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 85％
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
5.已知曲线 ： 2 + 2 = 16( > 0)，从 上任意一点 向 轴作垂线 ′， ′为垂足，则线段 ′的中点 的轨
迹方程为( )．
2 2 2 2A. 16+ 4 = 1( > 0) B. 16+ 8 = 1( > 0)
2 2 2
C. + = 1( > 0) D. +
2
16 4 16 8 = 1( > 0)
6.已知 > 0， > 0，且 = 1，则 1 1 82 + 2 + + 的最小值为（ ）。
A. 4 B. 8 C. 1 D. 2
7.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面
体．半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体．某公园中设置的供市民休息的石
凳如图所示，它是一个棱数为 24 的半正多面体，且所有顶点都在同一个正方体的表面上，它也可以看成是
由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，若被截正方体的棱长为 0.5 ，则该石凳的表面积为( )
A. 6m2 B. 3 3m2 C. 3 + 3m2 D. 3+ 3m24
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8.定义在 上的奇函数 ( )满足 (1 + ) = (1 )，已知当 ∈ 0,1 时， ( ) = 2 ，若 ( ) = 1
恰有六个不相等的零点，则实数 的取值范围为( )
A. ( 1 , 1 1 1 1 1 1 16 4 ) ∪ [ 2 , 6 ] B. ( 8 , 4 ) ∪ [ 2 , 6 ]
C. ( 1 , 1 ) ∪ { 1 } D. ( 1 , 1 16 4 6 8 4 ) ∪ { 6 }
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = cos 120° + 120°( 是虚数单位)，则( )
A. | | = 1 B. 2 = C. 2 + + 1 = 0 D. 1 + 1 2 = 1
10.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < )的部分图象如图所示，则( )
A. ( )的最小正周期为
B. = 3
C. ( )的图象关于点( 4 3 , 0)中心对称
D. 将 ( )图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到函数 ( )的图象，则 ( )是区间
[ , 7 4 ]上的增函数
11.关于函数 = 1 + 2ln ，下列判断正确的是( )
A. = 12是 的极大值点;
B. 函数 = 有且只有 1 个零点;
C. 对 > 1 不等式 < 在[1, + ∞)上恒成立;
D. 对任意两个正实数 1， 2，且 1 > 2，若 1 = 2 ，则 1 + 2 < 1．
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2
12.双曲线 2 = 1 的离心率为 2，则 = ．
2
13.函数 ( ) = +3 +2 +1 的最大值为 ．
14.设函数 ( ) = ( )( )( )，其中 < < .若 (1 + ) (2 ) ≤ 0，则 + + = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，已知( 3tan 1)( 3tan 1) = 4．
(1)若△ 为锐角三角形，求角 的值，并求sin2 cos2 的取值范围;
(2)若 = 3，线段 的中垂线交边 于点 ，且 = 1，求 的值．
16.(本小题 15 分)
某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性，调查 100 人购买情况，得到如下列联表：
新能源汽车 款新能源汽车 款总计
男性 50 10
女性 25 15 40
总计 25 100
(1)求 ， ；
(2)根据小概率值 = 0.05 的独立性检验，能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联？
(3)假设用样本估计总体，用频率估计概率，所有人选购汽车的款式情况相互独立．若从购买者中随机抽取
3 人，设被抽取的 3 人中购买了 款车的人数为 ，求 的数学期望．
附： 2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
( 2
≥ ) 0.10 0.05 0.0100.005
2.7063.8416.6357.879
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17.(本小题 15 分)
已知无穷数列{ }满足， 1， 2为正整数， = | +1 +2|， ∈ ．
(1)若 1 = 1， 3 = 2，求 4;
(2)证明：“存在 ∈ ，使得 = 0”是“{ }是周期为 3 的数列”的必要不充分条件;
(3)若 1 ≠ 2，是否存在数列{ }，使得 < 2025 恒成立 若存在，求出一组 1， 2的值;若不存在，请说
明理由．
18.(本小题 17 分)
设 是由直线构成的集合，对于曲线 ，若 上任意一点处的切线均在 中，且 中的任意一条直线都是 上
某点处的切线，则称 为 的包络曲线．
(1)已知圆 1： 2 + 2 = 1 为 1的包络曲线，判断直线 ： = 1( 为常数， ∈ )与集合 1
的关系；
(2)已知 2的包络曲线为 22： = 4 ，直线 1， 2 ∈ 2.设 1， 2与 2的公共点分别为 ， ，记 1 ∩ 2 = ，
2的焦点为 ．
①证明： 是 ， 的等比中项；
②若点 在圆 2 + ( + 1)2 = 1 上，求 的最大值．
19.(本小题 17 分)
某次投篮游戏，规定每名同学投篮 次( ≥ 2, ∈ )，投篮位置有 ， 两处，第一次在 处投，从第二次
开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处;若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在 处每次
投进得 2 分，否则得 0 分;在 处每次投进得 3 分，否则得 0 分.已知甲在 ， 两处每次投进的概率分别为35，
1
2，且每次投篮相互独立.记甲第 ( ≤ , ∈
)次在 处投篮的概率为 ，第 次投篮后累计得分为 ．
(1)求 2的分布列及数学期望;
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(2)求{ }的通项公式;
(3)证明： ( ) > 4 4 3 27．
参考公式：若 ， 是离散型随机变量，则 ( + ) = ( ) + ( )．
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四川省罗江中学校 2024-2025 学年度高三下高考模拟考试（一）
数学科目参考答案
1-4 5-8 D
9 10 11
12.3 13.2 2 14.4.5
15.解：(1) ∵ ( 3tan 1)( 3tan 1) = 4，∴ 3tan tan 3tan 3tan + 1 = 4，
∴ 3tan tan tan tan = 3，∴ tan +tan = 3，
1 tan tan
∴ tan( + ) = 3，∴ tan = 3，∵ ∈ (0, )，∴ = 3，∴角 的值为

3；
1 cos2 1+ cos2 1
sin2 cos2 = 2 2 = 2 [cos2 + cos2( + 3 )]
= 1 3 1 1 2 ( 2 sin2 2 cos2 ) = 2 sin(2 6 )，
0 < < ,
∵ 为锐角三角形， 2 1 1 1 2 2
0 < = 2
∴ ∈ ( , )，∴
< , 6 2 2
sin(2 6 ) ∈ ( 4 , 2 ]，∴ sin cos 的取
3 2
值范围为( 14 ,
1
2 ]；
(2)由题可知， = 3，若 = 3，
中，由 = sin sin = sin ，得 = 2 ， = 2 ，
中， = ，
sin∠ sin
∵ = = 1，∠ = 2 ，
∴ = 1 = 2sin2 sin 3 ( 1)，3
∴ (2 1) = 32 ，
∵ = sin( + 3 ) =
1
2 sin +
3
2 cos ，
∴ (sin + 3cos 1) = 32 ，
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∴ + 3cos2 = 32 ，
∴ 12 sin2 +
3
2 cos2 = ，
∴ (2 + 3 ) = = (

2 )，
∴ = 6或

18，
若 = 6，但此时∠ =

2，tan 不存在，与题设矛盾；
若 = 18 (经检验适合题意)，
综上所述， 的值为 18．
16 解：(1)由题意所给的列联表可得 x=60,y=75；
(2)零假设为 0:选购新能源汽车的款式与性别无关联.
根据列联表中的数据,可得 2=100×(50×15 25×10)
2
75×25×60×40 ≈5.556>3.841,
根据小概率值α =0.05 的独立性检验,推断 0不成立,
可以认为选购车的款式与性别有关,此推断犯错误的概率不大于 0.05；
(3)随机抽取 1 人购买 B 款车的概率为:p= 25100=
1
4,
X 的可能取值有 0,1,2,3,依题意 X~B(3,14),n=3.
因此,E(X)=np=3×1=34 4.
17 解：(1)因为 = | +1 +2|对任意 ∈ 成立;
令 = 1 得 1 = 1 = | 2 3|，所以 1 = | 2 2|，则 2 = 1 或 3
若 2 = 1，由 2 = | 3 4|，则 1 = |2 4|，所以 4 = 1 或 3，
若 2 = 3，由 2 = | 3 4|，则 3 = |2 4|，所以 4 = 1 或 5，
因为 4 = | 5 6| ≥ 0，
综上所述： 4 = 1 或 3 或 5．
(2)记 1 = ， 2 = ，
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必要性：若{ }是周期为 3 的周期数列， 3 = 1 + 2或 2 1，
当 3 = 1 + 2时，数列{ }前 5 项为： ， ， + ， ， ，
由 3 = | 4 5|得 + = | |，当且仅当 = 0 或 = 0 时成立，
与 1， 2为正整数矛盾;
当 3 = 2 1时，数列{ }前 5 项为： ， ， ， ， ，
由 2 = | 3 4|得 = | 2 |，则 = 2 或 = 2 (此时 = 0，舍去)，
因此 = ， 3 = 0，此时数列{ }: ， ，0， ， ，0， ， ，0， ，存在 ∈ ，使得 = 0，
充分性：取数列{ }: 1，1，0，1，1，2，3，5， 其中当 ≥ 3 时， +2 = +1 + ，
此时数列{ }不是周期数列，
综上，“存在 ∈ ，使得 = 0”是“{ }是周期为 3 的周期数列”的必要不充分条件
(3)不存在，理由如下：
+1 ( ) +1 = | +1 +2|等价于 +2 = +1 + ( ) +1 <
首先说明不存在 ∈ ，使得 = 0，否则由 2 = | 1 |得 2 = 1记为 ，
所以 3 = | 2 1| = 0， 4 = | 3 2| = ， 5 = | 4 3| = ，
依此类推得前 项为 ， ，0， ， ，0， ， ，0，
则 1， 2要么相等，要么有一项为 0，矛盾，因此 ≥ 1 对任意 ∈ 成立，
其次，不存在 ∈ ，使得 +2 = +1 以及 +3 = +2 +1同时成立，
否则两式相加得 +3 = ，矛盾．
( )若( )式只对有限个正整数 才成立，不妨设当且仅当 ∈ 1， 2， ， }时( )式成立，
其中 1 < 2 < < ，
则当 ≥ + 1 时，( )式恒成立，
此时 +2 = +1 + ≥ +1 + 1 恒成立，
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由此易知当 ≥ + 1， ≥ ，
因此数列{ }是无界数列，
( )若存在无限个正整数 使得( )式成立，
不妨设当且仅当 ∈ { 1, 2, , , }时( )式成立，
其中 1 < 2 < < < ，考虑 +1与 ，令 = ， +1 = + ， ≥ 2，
则 = 1 2， +1 = + 1，
若 = 2，则 + 1 = +1 = 1 + ≥ 1 + 1，
若 > 2，则 +2 = +1 + ， ， + 1 = + 2 + + 3， + = + 1 + 2，
则 < +1 < < + 2 < + 1，
此时 + 1 = + + + 2 ≥ 1 + + 2 ≥ 1 + +1 ≥ 1 + 2，
无论哪种情况总有 + 1 ≥ 1 + 1 成立，
即 +1 ≥ 1 + 1 恒成立，
记 = 1，则 +1 ≥ + 1 恒成立，
由此易得数列{ }是无界数列，
所以存在 ∈ 使得 ≥ 2025，
故不存在符合题意的 1， 2．
18.解：(1)圆心 1到 的距离 =
1 = 1，
sin2 +( cos )2
即直线 与圆 1相切，所以 ∈ 1；
(2) ①证明：由 = 14
2，知 (0,1)， 2的准线方程为 = 1，
′ = 12 ，设 ( , )， ( 1, 1)， ( 2, 2).
因为 1 ∈ 2，且 1与 2的公共点为 ，
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所以 1是曲线 2在点 处的切线，
其方程为 : = 12 1( 1) + 1，即 =
1
2 1 1，
则 = 12 1 1( )，
同理， : = 1 12 2 2，则 = 2 2 2( )
由( )( )得直线 的方程为 = 12 ，即 =
1
2 ，
2 = 4
由 1 ，消去 得 2 + (2 2) + 2 = 0， = 2
则 + = 21 2 2 ， 21 2 = ，
又因为 = 1 + 1， = 2 + 1，
则 = ( 1 + 1)( 2 + 1) = 1 + 2 + 1 + 1 = 22 2 + 2 + 1 = 2 + ( 1)2．
又因为 2 = 2 + ( 1)2，所以 2 = ，
故 FA 是 ， 的等比中项；
②由 ①知，
2
2 = 2 = ，
2+1 1+1 ( 1 2)2 2( 2则 + = +1 + +1 = 2 +
4 )
1 2 (
= 2 + ，
1+1)( 2+1) 2+( 1)2
因为 2 + ( + 1)2 = 1，所以 2 + ( 1)2 = 1 4 ，
2 2
则 +

= 2 +
( 4 )
1 4 ，
又因为 2 ≤ < 0， 2 ≤ 1，
则
2( 2 4 ) ≤
2(1 4 ) = 21 4 1 4 ≤ 1，
2 2
从而可得 2 + 2 ≤ 3，
解得 1+ 5 ≤ 2 ，
当 (1, 1)， (1 5, 3 52 )时等号成立，
故 的最大值为
1+ 5
2 ．
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19.解：(1)设“甲第 次在 处投进”为事件 ，“甲第 次在 处投进”为事件 ，
= 1，2，依题意， 2的可能取值为 0，2，3，4．
( 2 = 0) = ( 1 2) = (1
3 1 1
5 ) × (1 2 ) = 5，
( 2 = 2) = ( 1 2) =
3
5 × (1
3 6
5 ) = 25，
( 2 = 3) = ( 1 2) = (1
3 ) × 1 = 15 2 5，
( 2 = 4) = (
3 3 9
1 2) = 5 × 5 = 25，
所以 2的概率分布为
( 2) =
1
5 × 0 +
6
25 × 2 +
1
5 × 3+
9
25 × 4 =
63
25 (分)．
(2)当 2 ≤ ≤ 时，甲第 次在 处投篮分两种情形：
①第 1 次在 处投篮且投进，这种情形概率为 × 3 1 5 :
②第 1 次在 处投篮且未投进，这种情形概率为(1 1) × (1
1
2 ).所以
3
= 1 × 5 + (1 1) ×
1
2 =
1 1
10 1 + 2，
故 5 = 1 ( 5 )，因为 5 = 4 9 10 1 9 1 9 9，所以{
5
9 }是以
4 1
9为首项，10为公比的等比数列．
所以
5 = 4 19 9 × ( 10 )
1，即 = 5 4 1 1 9 + 9 × ( 10 ) ， = 1，2， ， ．
(3)因为第 次在 处投篮的概率为 ，在 处投篮的概率为 1 ，
记第 次得分 ，则 的可能取值为 0，2，3，
( = 2) =
3
5 ，
( 1 = 3) = 2 (1 )，
( = 0) = (1
3
5 ) + (1
1
2 )(1 ) =
1 1
2 10 ，
所以 ( ) = 2 ×
3
5 + 3 ×
1 3 3 4 2 1 1
2 (1 ) = 2 10 = 3 15 × ( 10 ) ，
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因为 = =1 ，
所以 ( ) =
4 2 1 1
=1 ( ) = =1 [ 3 15 × ( 10 ) ]
1 ( 1 )
= 43
2 10 4 4
15 × 1 = 3 27 +
4
27 × (
1
10 )
，
1 10
因为 4 × ( 127 10 )
> 0，
所以 ( 4 4 ) > 3 27．
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