四川省德阳市罗江中学校2024-2025学年高三下学期高考模拟考试（三）数学试卷（PDF版，含答案）

四川省罗江中学校 2024-2025 学年度高三下高考模拟考试（三）
数学科目试卷
说明：
1. 考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。
2. 开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用 2B 铅笔在答题卡的规定区域填写，
用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡的指定区域书写。
3. 考试结束后，只交回答题卡即可。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 = (2 + )，则 =( )
A. 1 + 2 B. 1 + 2 C. 1–2 D. 1 2
2.已知集合 = { | 2 2 > 0}， = { | 2 < 3 }，则 ∩ =( )
A. ( 1,0) B. ( 1,3) C. (2,3) D. (0,2)
3.对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )
A. 2 < 4 < 0 < 3 < 1 B. 4 < 2 < 0 < 1 < 3
C. 4 < 2 < 0 < 3 < 1 D. 2 < 4 < 0 < 1 < 3
4.正方形 的边长为 1，取正方形各边的中点 1， 1， 1， 1作第二个正方形 1 1 1 1，然后再取正
方形 1 1 1 1各边中点 2， 2， 2， 2作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前 11 个正方形的面
积和为( )
第 1页，共 8页
{#{QQABIQKk4wgQgJQACa6aFQUGCAsYsJGSLIgORQCQKARCQBFAFCA=}#}
A. 2 1 2(1 1 1 1212 B. 210 ) C. 2 211 D. 2(1 211 )
, ≤ 0
5.已知函数 ( ) = ln , > 0 , ( ) = ( ) + + .若 ( )存在 2 个零点，则 的取值范围是( )
A. [ 1,0) B. [0, +∞) C. [ 1, +∞) D. [1, +∞)
6.已知正四棱锥的侧棱长为 3 3，当该棱锥的体积最大时，它的高为( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
7.已知 0 < < < 2，则( )
A. sin sin < B. < tan tan
C. sin < cos D. tan >
8.任意实数 ∈ [1,2] ，函数 ( ) = 3 + ( 2 + )
2 在( , 3)上有最值，则实数 的取值范围为( )
( 32 , 19 38 19 32 38A. 3 2 ) B. ( 3 , 2 ) C. ( 3 , 4) D. ( 3 , 4)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正实数 ， 满足 + ≥ 2，则( )
A. ≥ 1 B. 2 + 2 ≥ 2 1C. +
1 ≥ 2 D. 2 + 2 ≥ 4
10.已知直线 : + = 0，圆 : 2 + 2 6 + 5 = 0, 0, 0 为圆 上任意一点，则下列说法正确的是
( )
2 + 2 5 0 2 5A. 0 0的最大值为 B. 的最大值为0 5
3
C. 直线 与圆 相切时， =± 3 D. 圆心 到直线 的距离最大为 4

2 2
11.已知 1， 2分别是椭圆 : 4 + 3 = 1 的左、右焦点， 为坐标原点， 为 上异于左、右顶点的一点，
是线段 2的中点，则( )
A. | | + | 2| = 2 B. | | > 1
C. △ 32内切圆半径的最大值为 6 D. △ 1 2外接圆半径的最小值为 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知等差数列{ }的公差 ≠ 0，若 2， 5， 9构成等比数列，则 2 = ．1
13.若曲线 = + 在点(0,1)处的切线也是曲线 = ln( + 1) + 的切线，则 = ．
第 2页，共 8页
{#{QQABIQKk4wgQgJQACa6aFQUGCAsYsJGSLIgORQCQKARCQBFAFCA=}#}
14.在一个不透明的袋子中装有 4 个形状大小相同、颜色互不相同的小球.某人先后两次任意摸取小球(每次
至少摸取 1 个小球)，第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中;第二次摸取后，也记下
摸到的小球颜色.则“两次记下的小球颜色能凑齐 4 种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率
为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在锐角△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 边上的高等于 ．
(1)求证：sin = sin sin ；
(2)若∠ = 45° + ，求 的值
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， ⊥平面 1 1, 1 ⊥ ．
(1)求证：平面 1 ⊥平面 ；
(2)若 1 = 2 = 2 ，求直线 1与平面 1 1所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
已知数列 , 2 满足 1 = 1，且 , +1是关于 的方程 2 = 0 的两个根．
(1)求 ；
(2)设 2 = + ( 1) ，求数列 的前 21 项和 21．
18.(本小题 17 分)
已知动点 ( , )满足关系式 2 + ( 2)2 2 + ( + 2)2 = 2．
(1)求动点 的轨迹方程;
(2)设动点 的轨迹为曲线 1，抛物线 : 22 = 4 的焦点为 ，过 1上一点 作 2的两条切线，切点分别为 ，
，弦 的中点为 ，平行于 的直线 与 2相切于点 ．
①证明： ， ， 三点共线;
第 3页，共 8页
{#{QQABIQKk4wgQgJQACa6aFQUGCAsYsJGSLIgORQCQKARCQBFAFCA=}#}
②当直线 与 1有两个交点时，求| |的取值范围．
19.(本小题 17 分)
设 1， 2，…， 是 1，2，…， ( ≥ 3 且 ∈ )的一个排列．数列{ }满足 +1为 ， +1， +2(0 ≤ ≤ 1)
的中位数，规定 0 = ， +1 = 1.将{ }中的所有取值构成的集合记为 ．
(1)当 = 3，4 时，求 3和 4；
(2)求 中所有元素之和的最大值；
(3)求 中元素个数的最小值．
第 4页，共 8页
{#{QQABIQKk4wgQgJQACa6aFQUGCAsYsJGSLIgORQCQKARCQBFAFCA=}#}
四川省罗江中学校 2024-2025 学年度高三下高考模拟考试（三）
数学科目参考答案
1-4 A D 5-8
9 10 11
9 1 32
12.8 13.ln2/ ln 2 14.225
15.(1)证明：设 边上的高为 ，则 = sin ，所以 = sin ，
由正弦定理得 sin = sin sinC.
(2)解：由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos45 = 2 + 2 2 ，
1 1
又因为2 sin45
= 2 ，所以
2 = 22 ，
2 = 2 + 2 2 2 + 2 = 3 2 3所以 2 ，即 2 ，所以 + = 2 2．
16.解：(1)在三棱柱 1 1 1中，由 ⊥平面 1 1, 1 平面 1 1，得 ⊥ 1 ，
又 1 ⊥ , ∩ = , , 平面 ，则 1 ⊥平面 ，
而 1 平面 1 ，所以平面 1 ⊥平面 ；
(2)由(1)知 , , 1两两垂直，以 为原点，直线 , , 1分别为 , , 轴建立空间直角坐标系，
由 1 = 2 = 2 ，令 = = 1, 1 = 2，则 (1,0,0), (0,1,0), 1(0,0,2)，
= ( 1,1,0), = (0,1,0), 1 = 1 = ( 1,0,2)， 1 = + 1 = ( 2,1,2)，

设平面 1 1的法向量为 = ( , , )
= = 0
，则 ，取 = 1，得 = (2,0,1)，
1 = + 2 = 0

设直线 | | 2 2 51与平面 1 1所成的角为 ，则 sin = |cos 1, | = 1| = = ，1|| | 3 5 15
所以直线 1与平面
2 5
1 1所成角的正弦值为 15 ．
第 5页，共 8页
{#{QQABIQKk4wgQgJQACa6aFQUGCAsYsJGSLIgORQCQKARCQBFAFCA=}#}
17.解：(1)因为 , 2 +1是关于 的方程 2 = 0 的两个根，
所以 + +1 = 2．
所以数列 是一个首项为 1，公差为 2 的等差数列．
因此 = 1 + ( 1) × 2 = 2 1．
(2)由(1)知 2 = 2 1，对于方程 2 = 0，
由韦达定理得 +1 = ，即 = (2 1)(2 + 1)．
2
所以 = + ( 1)
=
2
(2 1)(2 +1)
+ ( 1) (2 1)
= ( 1) (2 1) + 12 1
1
2 +1 ．
所以 21 = ( 1 + 3) + ( 5 + 7) + + ( 37 + 39) 41 + 1
1+ 1 1 + + 1 13 3 5 41 43
= 2 × 10 41 + 1 143 = 20
1
43．
18.解：(1)因为 2 + ( 2)2 2 + ( + 2)2 = 2，
由双曲线的定义知点 的轨迹是以(0, 2)，(0, 2)为焦点的双曲线的下支，
其中 2 = 2， = 2，则 2 = 2 2 = 1，
所以点 的轨迹方程为 2 2 = 1( < 0)；
(2) ①证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由 2 = 4 ，知 ′ = 2，

所以抛物线在 点处的切线方程为 = 11 2 ( 1)，
又 21 = 4 1，所以 1 2 2 1 = 0，
设点 的坐标为( 0, 0)，
由切线过点 ，得 1 0 2 0 2 1 = 0，
同理可知，由 点处切线过点 ，得 2 0 2 0 2 2 = 0，
所以直线 的方程为 0 2 2 0 = 0，
因为 / / ，所以直线 的斜率 = = 02，

又因为直线 的斜率 = 2，所以 = 0，
2 = 4
联立 0 2 2 0 = 0
，
第 6页，共 8页
{#{QQABIQKk4wgQgJQACa6aFQUGCAsYsJGSLIgORQCQKARCQBFAFCA=}#}
消去 得 2 2 0 + 4 0 = 0，
= 1+ 因为 是弦 的中点，所以 2 2 = 0，
所以 = = 0，即 ， ， 三点共线；
2 2
②因为 = 04 = 4，
2
所以直线 的方程为 0 04 = 2 ( 0)，即 2 0 4
2
0 = 0，
联立 2 2 = 1，消去 得(4 2 16) 2 8 2 4 4 20 0 0 0 = 0，
由题意知方程有两个不等的负根，
20 16 ≠ 0
= 64 40 + 16( 20 4)( 40 + 4 20) > 0
2
所以{ 8 02 < 0 ,4 0 16
40 4
2
0
2 > 04 0 16
解得 2 5 2 < 20 < 4，
2
所以| | = + 1 = 04 + 1 ∈ (
5+1
2 , 2)．
19.解：(1)当 = 3 时，1，2，3 无论按何种顺序排列，中位数只能是 2，故 3 = {2}．
当 = 4 时，在 1，2，3，4 中任取 3 个数：1，2，3; 1，2，4; 1，3，4 和 2，3，4，中位数只能为 2 或 3，
所以 4 = {2,3}．
(2)显然，不存在 使得 = 1 或 = ，
2 2
故 中所有元素的和≤ 2+ 3 + + ( 1) = 2 ，
2, = 1
且当 = 时，有 = , 2 1 ,
1, =
此时 = {2,3,4, , 1}成立.
(3)注意到对于任意 1 ≤ ≤ ， +3 ≠ ，
记 中元素个数的最小值为 ( )，由(1)可知， (3) = 1， (4) = 2．
考虑 = 5 的情形：
对于 1，2，3，4，5 的排列，1 和 5 不可能作为中位数;不妨 1 = 1，
考虑三元素组( 4, 5, 1)，( 5, 1, 2)，(1, 2, 3)，至少产生 2 个不同的中位数．
①若此时中位数为 5， 2，不妨 5 > 2，则 4 > 5 > 3， 3 > 2．
所以三元组( 2, 3, 4)将产生新的中位数，所以 (5) ≥ 3;
第 7页，共 8页
{#{QQABIQKk4wgQgJQACa6aFQUGCAsYsJGSLIgORQCQKARCQBFAFCA=}#}
②若此时的中位数为 4， 2，则 5 > 4， 5 > 2， 3 > 2.若 3 < 4，
则三元组( 2, 3, 4)产生新的中位数;若 3 > 4，则三元组( 3, 4, 5)产生新的中位数.所以 (5) ≥ 3.
③同理可知，若此时中位数为 3， 5; 3， 4也有 (5) ≥ 3;
所以 (3) = 1， (4) = 2， (5) ≥ 3.
下面证明： ( + 3) ≥ ( ) + 1．
比较下面两个数列：
( ) 1， 2， ， ， 1， 2. ( ) 1， 2， ， ， +1， +2， +3， 1， 2．
其中 1， 2， ， 和 1， 2， ， 具有相同的大小顺序．
因此，这两个数列的前 2 个三元数组所对应的中位数个数相同.因此，只需要比较数列( )中三元组
( 1, , 1)，( , 1, 2)和数列．
( )中三元组( 1, , +1)，( , +1, +2)，( +1, +2, +3)，( +2, +3, 1)，( +3, 1, 2).
因为，数列( )中至少增加 1 个新的中位数，故结论成立．
因为若( 1, , 1)，( , 1, 2)的中位数在前面未出现，
则( 1, , +1)，( +3, 1, 2)的中位数在前面也不会出现．
对于新增( +1, +2, +3)的中位数，若( 1, , 1)，( , 1, 2)的 2 个中位数在前面出现过，则
( 1, , +1)，( +3, 1, 2)的中位数在前面也出现过，
至少新增( +1, +2, +3)的中位数．
, = 3
综上： ( ) ≥ + 1, = 3 + 1 ( , ∈ ).
+ 2, = 3 + 2
下面给出一种构造：
①当 = 3 时，构造{ }: {1, + 1,2 + 1,2, + 2,2 + 2,3, + 3,2 + 3, , , 2 , 3 }，
此时 = { + 1, + 2, ,2 }，满足 ( ) = ．
②当 = 3 + 1 时，构造{ }: {1, + 1,2 + 1,2, + 2,2 + 2,3, + 3,2 + 3, , , 2 , 3 , 3 + 1}，
此时 = { + 1, + 2, ,2 , 3 }，满足 ( ) = + 1．
③当 = 3 + 2 时，构造{ }：
{1, + 1,2 + 1,2, + 2,2 + 2,3, + 3,2 + 3, , 1,2 1,3 , , 2 , 3 + 1,2 + 1,3 + 2}，
此时 = { + 1, + 2, ,2 , 2 + 1,3 + 1}，满足 ( ) = + 2．
第 8页，共 8页
{#{QQABIQKk4wgQgJQACa6aFQUGCAsYsJGSLIgORQCQKARCQBFAFCA=}#}