四川省德阳市罗江中学校2024-2025学年高三下学期高考模拟考试（二）数学试卷（PDF版，含答案）

四川省罗江中学校 2024-2025 学年度高三下高考模拟考试（二）
数学科目试卷
说明：
1. 考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分。
2. 开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用 2B 铅笔在答题卡的规定区域填写，
用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡的指定区域书写。
3. 考试结束后，只交回答题卡即可。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = 1,1,2,4 , = 1 ≤ 1 ，则 ∩ =( )
A. { 1,2} B. {1,2} C. {1,4} D. { 1,4}
2.记 为数列{ }的前 项和，设甲：{ }是等比数列，乙：{ +2 }是等比数列，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
3.若命题“ ∈ [ 3,0]，不等式 2 + + 1 < 0 成立”是假命题，则实数 的取值范围是( )
A. [ 52 , +∞) B. [2,
5
2 ] C. [2, +∞) D. ( ∞, 2]
4.随着 的流行，各种 大模型层出不穷，现有甲、乙两个 大模型，在对甲、乙两个大模型进行
深度体验后，6 位评委分别对甲、乙进行打分(满分 10 分)，得到如图所示的统计表格，则下列结论不正确
的是( )
1 2 3 4 5 6
甲 7.0 9.3 8.3 9.2 8.9 8.9
乙 8.1 9.1 8.5 8.6 8.7 8.6
A. 甲得分的平均数大于乙得分的平均数 B. 甲得分的众数大于乙得分的众数
C. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差
2 2
5 已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点、右顶点分别为 ， ，过点 倾斜角为6的直线交 的两
条渐近线分别于点 ， .若△ 为等边三角形，则双曲线 的渐近线方程是( )
A. =± 33 B. =±
2 3
3 C. =± 3 D. =±
4 3
3
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6.已知△ 内角 ， ， 满足 sin = 6cos cos ，cos = 3sin sin ，则 tan =( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
7.已知向量 = (0,1)， = (1, ).若向量 + 在向量 上的投影向量为32 ，则 =( )
A. 1 B. 12 C. 1 D.
3
2
8.已知圆 : 2 + 2 2 2 2 = 0，直线 : 2 + + 2 = 0， 为 上的动点，过点 作圆 的切线 ， ，
且切点为 ， ，当| |·| |最小时，直线 的方程为( )
A. 2 1 = 0 B. 2 + 1 = 0 C. 2 + 1 = 0 D. 2 + + 1 = 0
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 = 3 5 1 ，则( )
A. = 4
B. | | = 17
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D. 复数 满足| | = 1，则| |的最大值为 17 + 1
10.在正四棱锥 中，侧棱 与底面边长相等， ， 分别是 和 的中点，则( )
A. // B. / /平面 C. ⊥ D. ⊥平面
11.设计一条美丽的丝带，其造型 可以看作图中的曲线 的一部分，已知 过坐标原点 ，且 上的点满足
横坐标大于 2，到点 (2,0)的距离与到定直线 = ( < 0)的距离之积为 4，则
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A. = 2 B. 点(2 2, 0)在 上
C. 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 D. 当点( 0, 0)在 上时， ≤
4
0 0+2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.函数 ( ) = 1 +1 + 的定义域是 ．
13.已知⊙ 是单位圆，正三角形 的顶点 ， 在⊙ 上，则| |的最大值为 ．
14.在斜△ 中， 为锐角，且满足 3 (2 + ) = ，则 2 1 1tan + tan + tan 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ， ， 分别为△ 内角 、 、 的对边， = 3 ，且 > ．
(1)求 ；
(2)若 = 3，△ 的面积为 32 ，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用
两台机床各生产了 200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品 二级品 合计
甲机床 150 50 200
乙机床 120 80 200
合计 270 130 400
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附： 2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )．
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
17.(本小题 15 分)
在三棱柱 1 1 1中， ⊥ ， 1 ⊥平面 ， ， 分别是 ， 1 的中点．
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(1)求证： / /平面 1 1；
(2)求证：平面 1 ⊥平面 1．
18.(本小题 17 分)
设抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过点 (3,0)的动直线 交抛物线 于 ， 两点，点 (2,2)，当直线
垂直于 轴时，| | = 3．
(1)求抛物线 的标准方程;
(2)若直线 过点 ，求△ 的面积;
(3)若直线 平分∠ ，求直线 的斜率．
19.(本小题 17分)
13 张大小质地完全相同的卡牌中有八张数字牌,正面标有 1~8,此外还有五张字母牌,正面标有 A~E,将这十
三张牌随机排成一行.
(1)求五张字母牌互不相邻的概率;
(2)求在标有 8的卡牌左侧没有数字牌的概率;
(3)对于给定的整数 k(1≤k≤8),记“在标有 k的数字牌左侧,没有标号比 k小的数字牌”为事件 ,求 发生
的概率.(结果用含 k的式子表示)
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四川省罗江中学校 2024-2025 学年度高三下高考模拟考试（二）
数学科目参考答案
1-4 A 5-8C
9 10 11
12{ | > 0} 132 142 133
15解：(1)因为 = 3 ，
所以 + 3 = 2 ，即 2 ( + 3 ) = 2 ，
因为 > ，可得 > ，
所以 + 3 + = ，可得 + =
2
3，所以 =

3；
(2)因为 = 3，△ 的面积为 3 12 = 2 ，
又 = 32 ，
所以 = 2，
2
由余弦定理可得 = +
2 2 2= ( + ) 2 32 2 =
1
2，
2
所以12 =
( + ) 4 3
4 ，可得 + = 3，
所以△ 的周长的值为 3 + 3．
16.解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为 200 件，
因为甲的一级品的频数为 150，所以甲的一级品的频率为150 = 3200 4；
因为乙的一级品的频数为 120，所以乙的一级品的频率为120 = 3200 5；
2
(2)根据 2 × 2 列联表，可得 2 = ( )( + )( + )( + )( + )
= 400(150×80 50×120)
2
270×130×200×200 ≈ 10.256 > 6.635．
所以有 99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
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17证明：(1) ， 分别是 ， 1 的中点．
所以 / / 1，因为 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 / /平面 1 1；
(2)因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ 1 = ， 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
因为 平面 1，
所以平面 1 ⊥平面 1．
18.解：(1)抛物线 的方程为 2 = 2 ( > 0)，焦点 2 , 0 ，
当直线 垂直于 轴时， 点横坐标与 点相同，即 = 2，
因| | = 3，则 +

2 = 3
解得 = 2，故抛物线 的标准方程为 2 = 4 ．
(2)由(1)知抛物线方程为 2 = 4 ，焦点 (1,0)，
直线 过 (3,0)和 (2,2)，斜率 = 2 02 3 = 2，
方程为 = 2( 3)即 2 + 6 = 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
由
2 = 4
2 + 6 = 0，得
2 + 2 12 = 0，显然 > 0，
则 1 + 2 = 2, 1 2 = 12，
= + 21 2 1 2 4 1 = 2 22 4 × ( 12) = 2 13，
△ = △ + △
1 1
= 2 · + 2 ·
= 12 ·
1
== 2 × 2 × 2 13 = 2 13．
(3)设直线 的斜率为 ，方程为 = ( 3)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
焦点 (1,0)，向量 = ( 1 1, 1)， = ( 2 1, 2)， = (1,2)，
平分∠ ，故 cos∠ = cos∠ ，
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得
| | |
= ，
| | | | |
又| | = 1 + 1，| | = 2 + 1，
从而得 1 1+2 1 +1 =
2 1+2 2
1 2+1
，
又 1= ( 1 3)， 2= ( 2 3)，
得 1 1+2 ( 1 3) = 2 1+2 ( 2 3) 1+1 2+1 ，
变形得(2 +1)( 1+1) 8 2 = (2 +1)( 2+1) 8 2 1+1 +1 ，2
得 8 2 8 2 +1 =1 2+1 ，
即4 +1 = 4 +1 1+1 2+1
1 1
4 + 1 ( ) = 01 +1 2 +1
因 1 ≠ 2，故 1 + 4 = 0，得 =
1
4．
19解：（1）13张牌全排列，共有 1313种排法.
五张字母牌互不相邻，
先排八张数字牌，共有 88种排法.
将 8张数字牌排好, 形成 8+1=9 个间隔.
从这 9个间隔中选 5个放置字母牌,共有 59种排法.
则五张字母牌互不相邻的排法有 88 59种.
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59
8
8 9×8×7×6×5×8！所以五张字母牌互不相邻的概率为 13 =
14
13 13!
=143；
（2）当标有 8的卡牌在左端第一个时，剩下 12张牌可以随意排列，共有 1212种排法.
当标有 8的卡牌在左端第二个时，先从 5个字母牌里选一个排在左端第一位，再将剩下 11张牌全排列，
共有 1 115· 11种排法.
当标有 8的卡牌在左端第三个时，先从 5个字母牌里选两个排在标有 8的卡牌的左侧，再将剩下 10张牌
全排列，共有 25· 1010种排法.
当标有 8的卡牌在左端第四个时，先从 5个字母牌里选三个排在标有 8的卡牌左侧，再将剩下 9张牌全排
列，共有 35· 99种排法.
当标有 8的卡牌在左端第五个时，先从 5个字母牌里选四个排在标有 8的卡牌左侧，再将剩下 8张牌全排
列，共有 45· 88种排法.
当标有 8的卡牌在左端第六个时，将 5个字母牌排在标有 8的卡牌左侧，再将剩下 7张牌全排列，共有 5· 75 7
种排法.
所以在标有 8的卡牌左侧没有数字牌的概率为
1212 + 1 11 2 10 3 9 4 8 5 75 11 + 5 10 + 5 9 + 5 8 + 5 7
1313
=12·11·10·9·8+5·11·10·9·8+20·10·9·8+60·9·8+120·8+120 113·12·11·10·9·8 =8；
5+8
（3）标号比 k小的数字牌有 k-1 张,比 k大的数字牌有 8-k张,P( )=( 1)! 13 13 =
1.
13
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