2025-2026学年重庆市开州区九年级（上）第一次月考数学试卷(含部分答案)

2025-2026学年重庆市开县九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，最小的数是（　　）
A. 0 B. 2 C. -3 D. 3
2.美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A. 了解小米新能源汽车SU7的抗撞击能力的调查
B. 了解在长江流域过冬的候鸟的数量情况的调查
C. 了解某班学生的身高情况的调查
D. 了解我国超音速导弹东风-17的杀伤半径的调查
4.下列说法正确的是（　　）
A. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形
5.小川一家春节期间团圆相聚，他和兄弟姐妹们约定了互赠礼物，若他们一共购买了90份礼物，则小川及兄弟姐妹一共多少人？假设一共有x人，则可以列方程为（　　）
A. x（x+1）=90 B. x（x-1）=90 C. D.
6.小明在一条公路上开车从A地出发行驶至B地，他行驶的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示.则下列说法中，错误的是（　　）
A. 第1小时小明行驶了21千米
B. 在行驶的前0.4小时内，小明行驶的平均速度是42千米/小时
C. 在0.4～1小时内，小明行驶的速度相比前0.4小时变慢
D. A地到B地的距离为40千米
7.估计的值应在（　　）
A. 3到4之间 B. 2到3之间 C. 1到2之间 D. 0到1之间
8.如图，下列图形均是由完全相同的小圆点按照一定规律所组成的，第①个图形中一共有5个小圆点，第②个图形中一共有8个小圆点，第③个图形中一共有11个小圆点， ，按此规律排列下去，第⑩个图形中小圆点的个数是（　　）
A. 30 B. 31 C. 32 D. 33
9.如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于点O，E为OB上一点，连接CE，F为CE的中点，∠EOF=90°.若OE=3，OF=2，则BE的长为（　　）
A. 1 B. 2 C. D.
10.式子1a2b3c4d5中的a,b、c、d是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“+”“-”“×”“÷”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数.如：在a添加“×”，在d添加“+”，b,c不添加符号，得到的算式为：1×234+5，结果为239.下列说法中正确的个数是（　　）
①添加“×”“÷”两个运算符号，得到的算式有12种不同的结果；
②存在一种添加“+”“-”“×”“÷”四个符号的算式，其结果为；
③只添加“+”“-”“×”三个符号，得到的算式中，结果最大为88.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.抛物线y=x2+1的顶点坐标是 ．
12.已知一元二次方程x2+mx-3=0的一个根是3，则另一个根是 .
13.若二次函数y=x2-3的图象过点A（-2，y1），B（3，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是 .
14.某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 .
15.如图，在 ABCD中，点E是BC的中点，将△ECD沿直线ED翻折至 ABCD所在平面内，得到△EC′D，连接DC′并延长与BA的延长线交于点F，若，AF=1，则AB的长为 ，DF的长为 .
16.如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，∵41-29=12，∴4129是“差中数”；又如：四位数5324，∵53-24=29≠32，∴5324不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为 ；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组：的所有整数解的和.
18.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中∠ABC=90°，AB=BC=AD，连接BD.
（1）尺规作图：作∠BAD的平分线交BD点E（只保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若BD⊥CD，试探究DE与DC的数量关系，并说明理由补全下面的解题过程：
证明：∵AB=AD，AE平分∠BAD.
∴ ______，BE=DE.
∴∠AEB=90°.
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBD= ______=90°.
∴∠CBD=∠BAE.
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠AEB=90°.
∵在△AEB和△BDC中，
，
∴△AEB≌△BDC（AAS）.
∴ ______.
∴DE=CD.
19.(本小题10分)
我校开展了“传统节日”的知识竞答活动，初2024届800名学生参与了此次竞答活动（满分：50分）.答题完成后，在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x≤42，B：42＜x≤44，C：44＜x≤46，D：46＜x≤48，E：48＜x≤50），并给出了下列信息：
1班E等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，49
2班D等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48.
1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
平均数 中位数 众数
1班 47.5 48.5 c
2班 47.5 b 49
（1）根据以上信息可以求出：a= ______，b= ______，c= ______；
（2）你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；
（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生有多少人？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
21.(本小题10分)
如图1，在矩形ABCD中，AB=12，AD=6，动点E从点A出发以每秒3个单位的速度沿折线A-D-C运动；动点F从点B出发以每秒2个单位的速度从点B运动到点A，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动时间为x秒，四边形AECF面积为y.
（1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并写出该函数的一条性质：
（3）结合函数图象，请直接写出当y=42时x的值：______.（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）
22.(本小题10分)
数学沈老师为了激励学生尺规作图作图规范，购买3个圆规和4支2B铅笔花费38元，奖励给（1）班作图优秀的学生；购买5个圆规和2支2B铅笔花费54元，奖励给（2）班作图优秀的学生.
（1）请问圆规和2B铅笔的单价分别为多少元？
（2）沈老师的奖励起到了非常好的效果，越来越多的学生作图规范，沈老师决定再购买一批圆规和铅笔奖励给学生，并且商家降价优惠卖给沈老师，其中2B铅笔的售价降低a元，圆规的售价降低5a元.沈老师花30元购买2B铅笔，花75元购买圆规，此次购买圆规和铅笔共30个，求a的值.
23.(本小题10分)
如图，笔直的海岸线上有A、B两个观测站，A在B的正东方向.有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方向，且测得 B、P两点之间的距离为20海里.
（1）求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）；
（2）渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得渔船在北偏西15°的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：.73）
24.(本小题10分)
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
25.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点D为线段AB上一动点，连接CD.
（1）如图1，若AC=9，BD=，求线段AD的长；
（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G.若∠G=∠BCE，求证：GF=BF+BE；
（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE.点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM.连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】（0，1）
12.【答案】-1
13.【答案】y1＜y2＜y3
14.【答案】20%
15.【答案】
2

16.【答案】5138
9174

17.【答案】-3．
18.【答案】见解答．
AE⊥BD；∠ABE+∠BAE；AB=BC；BE=CD．
19.【答案】30，48，50；
1班的学生知识竞答成绩较好，理由见解答；
380人．
20.【答案】3a2+3，6．
21.【答案】；
图象见解析，当0＜x＜2时，y随x的增大而增大；在2＜x＜6时，y随x的增大而减少；或当x=2时，y有最大值60；
x1≈0.5，x2≈3.2．
22.【答案】圆规的单价为10元，2B铅笔的单价为2元；
0.5
23.【答案】观测站A、B之间的距离为（10+10）海里；
补给船能在83分钟之内到达C处，
过点B作BF⊥AC，垂足为F，
在Rt△ABF中，∠BAF=30°，AB=（10+10）海里，
∴BF=AB=（5+5）海里，
在Rt△BCF中，∠C=45°，
∴BC===（10+10）海里，
∴补给船从B到C处需要的时间===（+）小时≈81.9（分钟），
∵81.9分钟＜83分钟，
∴补给船能在83分钟之内到达C处
24.【答案】解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）设P（m,-m2+2m+3），
在y=-x2+2x+3中，令x=0得y=3，
∴C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=∠CBO=45°，
∵PE∥OC，PF∥x轴，
∴∠PEF=∠BCO=45°，∠PFE=∠CBO=45°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴S△PEF=PE PF=PE2，
∴当PE最大时，S△PEF最大，
由C（0，3），B（3，0）可得直线BC解析式为y=-x+3，
∴E（m,-m+3），
∴PE=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，
∵-1＜0，
∴当m=时，PE最大为，
此时P（，），S△PEF=×（）2=；
∴△PEF面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；
（3）抛物线上存在点Q，使∠CBQ+∠ACO=45°，理由如下：
作A（-1，0）关于y轴的对称点K（1，0），当Q在BC上方时，连接CK，过B作CK的平行线CT交抛物线于Q，如图：
∴∠ACO=∠KCO，
由（2）知，∠BCK+∠KCO=45°，
∴∠BCK+∠ACO=45°，
∵BT∥CK，
∴∠CBQ=∠BCK，
∴∠CBQ+∠ACO=45°，
由C（0，3），K（1，0）可得直线CK解析式为y=-3x+3，
设直线BT解析式为y=-3x+t,把B（3，0）代入得：0=-9+t,
解得t=9，
∴直线BT解析式为y=-3x+9，
联立，
解得或，
∴Q（2，3）；
当Q'在BC下方时，设BQ'交CK于W，
同理可知，∠CBW=∠BCW，
∴CW=BW，
设W（n,-3n+3），
∵C（0，3），B（3，0），
∴n2+（-3n+3-3）2=（n-3）2+（-3n+3）2，
解得n=，
∴W（，），
由W（，），B（3，0）得直线BW解析式为y=-x+1，
联立，
解得或，
∴Q'（-，）；
综上所述，Q的坐标为（2，3）或（-，）．
25.【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵∠B=60°，AC=9，
∴BC==3，AB=2BC=6
∵BD=，
∴AD=AB-BD=5；
（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：
在Rt△ABC 中，点O为斜边AB的中点，
∴OC=OB，
∵∠ABC=60°，
∴△BOC为等边三角形，
∴CO=CB，∠OCB=∠BOC=60°，
∴∠DOC=120°，
∵△CDE为等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠OCB=60°，即∠OCD+∠OCE=∠OCE+∠BCE，
∴∠OCD=∠BCE，
在△OCD和△BCE 中，
，
∴△OCD≌△BCE（SAS），
∴∠EBC=∠DOC=120°，
∴∠OCB+∠EBC=180°，
∴OC∥BE，
在GF上截取HF=BF，连接DH，
∵点F是DE的中点，
∴FE=FD．
在△BEF和△HDF中，
，
∴△BEF≌△HDF（SAS），
∴BE=HD，∠BEF=∠HDF，
∴DH∥BE，
∴DH∥OC，
∴∠HDG=∠OCD，
又∠G=∠BCE，
∴∠G=∠HDG，
∴HG=HD，
∴HG=BE，
∴GF=HG+FH=BE+BF；
（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：
在CD取得最小值时，CD⊥AB，
设AB=4a,则BC=2a,AC=2a,
∵2S△ABC=AC BC=AB CD，
∴CD==a,BD=BC=a,
∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE=60°，CD=CE，
∴∠BCE=∠DCE-∠DCB=60°-30°=30°=∠DCB，
∵BC=BC，
∴△BCD≌△BCE（SAS），
∴BD=BE=a,
∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，
∴BE=BN=a,
∴N的轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，
∵点P为AN的中点，S为AB的中点，
∴PS=BN=a,
∴P的轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，
当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图：
∵S是AB中点，
∴BS=AS=CS=AB=2a,
∵∠ABC=60°，
∴△BSC是等边三角形，
∴∠PCB=60°，BC=CS=2a,
∴∠PCA=30°，
∵CP=CS+PS=2a+a=a,
∴PT=CP=a,CT=PT=a,
∴AT=AC-CT=a,
连接PQ交NR于W，如图：
∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，
∴PQ⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴PQ∥AC，即PW∥AR，
∵P为AN中点，
∴PW是△ANR的中位线，
∴NW=RW=NR，
同理可得PT是△ANR的中位线，
∴PT=NR，
∴PT=NW=RW=a,PW=AR=AT=a,
∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，
∴∠QCB=∠PCB=60°，CP=CQ，
∴∠QCP=120°，
∴PQ=CP=a,
∴WQ=PQ-PW=a-a=a,
∴NQ===a,
∴==．
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