2025-2026学年四川省绵阳市北川县九年级（上）期中数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年四川省绵阳市北川县九年级（上）期中数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 188.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 23:10:09 | ||
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文档简介
2025-2026学年四川省绵阳市北川县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把方程化为一般形式后是（ ）
A. x2-3=0 B. -x2-20x+53=0 C. x2+20x+53=0 D. x2+20x+47=0
2.如果2是方程x2-cx+2=0的一个根，那么c的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
3.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则a+2b=（ ）
A. -2 B. -1 C. -3 D. -6
4.关于x的一元二次方程x2-4x-k=0存在两实数根x1，x2，下列说法错误的是（ ）
A. 若x1=x2，则k=-4 B. 若x1≠x2，则k＞-4
C. x1和x2一定异号 D. 若x1=x2+2，则k=-3
5.方程（x-1）（x+3）=0的根是（ ）
A. x1=1，x2=3 B. x1=-1，x2=3 C. x1=1，x2=-3 D. x1=-1，x2=-3
6.若关于x的方程x2+（m+1）x+m2=0的两个实数根互为倒数，则m的值是（ ）
A. -1 B. 1或-1 C. 1 D. 2
7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x,则x满足方程（ ）
A. （1+0.5x）=0.5 B. （1-0.5x）2=0.5 C. （1+x）2=0.5 D. （1-x）2=0.5
8.二次函数y=4（x-h）2+3的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. h D. 2
9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，2），（1，0），如图所示，给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1.其中正确结论的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点在x轴的正半轴上，则一次函数y=ax和y=bx+c的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
11.对于二次函数y=-x2+2x-4，下列说法正确的是（ ）
A. 当x＞0，y随x的增大而减小 B. 当x=1时，y有最大值-3
C. 图象的顶点（-1，-3） D. 图象与x轴有两个交点
12.“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足的关系为h=-t2+12t+11.若“水火箭”的升空高度为4.75m,则此时的飞行时间为（ ）
A. 0.5s B. 2.5s C. 12.5s D. 0.5s或12.5s
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若关于x的方程（m-4）x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程，则m= ______.
14.若α，β是方程x2-2x-5=0的两个根，则α-αβ+β的值为 .
15.2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地.如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m,宽24m,要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区.如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为______m.
16.如图，A，B是抛物线y=x2上两点，点P为AB的中点，过P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，PQ=3.设A，B两点的横坐标分别为x1，x2（x2＞x1）.则x2-x1的值为 .
17.已知方程ax2+bx+c=0的两个根为1和-3，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线 .
18.一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.现测得当水面宽AB=2m时，涵洞顶点与水面的距离为2m.这时，离开水面1.5m处，涵洞ED的宽度是 .
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
（1）解方程：
①x2-6x-3=0；
②（x-1）2=2x（1-x）；
（2）先化简，再求值：（1-）-，其中x满足方程x2+2x-3=0．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m-1=0.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+-x1x2=9，求m的值.
21.(本小题6分)
如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面BC的高OA=2m时，水面宽BC=4m.
（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当水面BC下降1m到达EF时，求水面宽度增加多少m？
22.(本小题6分)
在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12.8cm,弧中点到弦的距离为2cm.设弧AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．求这个盏口半径OB的长（精确到0.1cm）．
23.(本小题8分)
综合实践：怎样才能命中篮筐
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究.
模型建立：如图2所示，以小玫的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分.
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB=3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB=m米，篮球距地面的最大高度CD=h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD=a米.
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变.
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c=2.2米，m=6米，h=4米，a=3米.
（1）小玫初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”）
（2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值（保留根号）.
（3）在比赛过程中，小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玫此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△PBC面积的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】0
14.【答案】7
15.【答案】1
16.【答案】
17.【答案】x=-1
18.【答案】1m
19.【答案】解：（1）①x2-6x-3=0，
x2-6x=3，
x2-6x+9=3+9，即（x-3）2=12，
∴x-3=±2，
∴x1=3+2，x2=3-2；
②（x-1）2=2x（1-x），
（x-1）2+2x（x-1）=0，
（x-1）（x-1+2x）=0，
∴x-1=0或3x-1=0，
∴x1=1，x2=；
（2）（1-）-
= -
=-
=-
=，
∵x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
∴x=-3或x=1，
∵x≠±1，
∴当x=-3时，原式==-1．
20.【答案】解：（1）x2-（m+2）x+m-1=0，
这里a=1，b=-（m+2），c=m-1，
Δ=b2-4ac
=[-（m+2）]2-4×1×（m-1）
=m2+4m+4-4m+4
=m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2-（m+2）x+m-1=0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2=m+2，x1x2=m-1．
∵+-x1x2=9，即（x1+x2）2-3x1x2=9，
∴（m+2）2-3（m-1）=9．
整理，得m2+m-2=0．
∴（m+2）（m-1）=0．
解得m1=-2，m2=1．
∴m的值为-2或1．
21.【答案】解：（1）设该抛物线表示的二次函数解析式为y=ax2，
∵点（2，-2）在该抛物线上，
∴-2=a×22，
解得a=-，
∴该抛物线表示的二次函数解析式为y=-x2；
（2）当y=-3时，-3=-x2，得x1=，x2=-，
∴EF=-（）=2（m），
∴EF-BC=（2-4）m,
即当水面BC下降1m到达EF时，水面宽度增加（2-4）m.
22.【答案】解：由题意得：AB=12.8cm,OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=6.4cm,
设这个盏口半径OB的长为r cm,则OD=（r-2）cm,
在Rt△BOD中，由勾股定理得：6.42+（r-2）2=r2，
解得：r≈11.2，
答：这个盏口半径OB的长为11.2cm。
23.【答案】不能；
t=3-；
1.95≤c≤2.1．
24.【答案】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），
则-4a=-4，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2-3x-4；
（2）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点C（0，-4），
设点E（x,0），
则BC2=32，BE2=（x-4）2，CE2=x2+16，
当BC是斜边时，
则32=（x-4）2+x2+16，
解得：x=0或4，
即点E（0，0）或（4，0）；
当BE或CE为斜边时，
同理可得：（x-4）2=x2+16+32或32+（x-4）2=x2+16，
解得：x=4或-4，
即点E（4，0）（舍去）或（-4，0）；
综上，点E（0，0）或（-4，0）；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x-4，
则S△PBC=S△PHB+S△PHC=OB×PH=4×（x-4-x2+3x+4）=2（-x2+4x），
∵-2＜0，
故当x=2时，S△PBC的最大值为8，
此时，点P（2，-6）．
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一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把方程化为一般形式后是（ ）
A. x2-3=0 B. -x2-20x+53=0 C. x2+20x+53=0 D. x2+20x+47=0
2.如果2是方程x2-cx+2=0的一个根，那么c的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. -2 D. -3
3.若x=1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b=0的解，则a+2b=（ ）
A. -2 B. -1 C. -3 D. -6
4.关于x的一元二次方程x2-4x-k=0存在两实数根x1，x2，下列说法错误的是（ ）
A. 若x1=x2，则k=-4 B. 若x1≠x2，则k＞-4
C. x1和x2一定异号 D. 若x1=x2+2，则k=-3
5.方程（x-1）（x+3）=0的根是（ ）
A. x1=1，x2=3 B. x1=-1，x2=3 C. x1=1，x2=-3 D. x1=-1，x2=-3
6.若关于x的方程x2+（m+1）x+m2=0的两个实数根互为倒数，则m的值是（ ）
A. -1 B. 1或-1 C. 1 D. 2
7.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，设每天“遗忘”的百分比为x,则x满足方程（ ）
A. （1+0.5x）=0.5 B. （1-0.5x）2=0.5 C. （1+x）2=0.5 D. （1-x）2=0.5
8.二次函数y=4（x-h）2+3的最小值是（ ）
A. 3 B. 4 C. h D. 2
9.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（-1，2），（1，0），如图所示，给出四个结论：①abc＜0；②2a+b＞0；③a+c=1；④a＞1.其中正确结论的个数是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
10.已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点在x轴的正半轴上，则一次函数y=ax和y=bx+c的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
11.对于二次函数y=-x2+2x-4，下列说法正确的是（ ）
A. 当x＞0，y随x的增大而减小 B. 当x=1时，y有最大值-3
C. 图象的顶点（-1，-3） D. 图象与x轴有两个交点
12.“科教兴国，强国有我”.某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，“水火箭”的升空高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）满足的关系为h=-t2+12t+11.若“水火箭”的升空高度为4.75m,则此时的飞行时间为（ ）
A. 0.5s B. 2.5s C. 12.5s D. 0.5s或12.5s
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.若关于x的方程（m-4）x|m-2|+2x-5=0是一元二次方程，则m= ______.
14.若α，β是方程x2-2x-5=0的两个根，则α-αβ+β的值为 .
15.2022版《义务教育数学课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入义务教育全过程，某校积极实施，建设校园劳动基地.如图，是该校一块矩形劳动场地，长36m,宽24m,要求在场地内修同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为种植区.如果种植区的总面积为805m2，则所修道路的宽为______m.
16.如图，A，B是抛物线y=x2上两点，点P为AB的中点，过P作x轴的垂线，交抛物线于点Q，PQ=3.设A，B两点的横坐标分别为x1，x2（x2＞x1）.则x2-x1的值为 .
17.已知方程ax2+bx+c=0的两个根为1和-3，则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线 .
18.一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示.现测得当水面宽AB=2m时，涵洞顶点与水面的距离为2m.这时，离开水面1.5m处，涵洞ED的宽度是 .
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
（1）解方程：
①x2-6x-3=0；
②（x-1）2=2x（1-x）；
（2）先化简，再求值：（1-）-，其中x满足方程x2+2x-3=0．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2-（m+2）x+m-1=0.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且+-x1x2=9，求m的值.
21.(本小题6分)
如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面BC的高OA=2m时，水面宽BC=4m.
（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当水面BC下降1m到达EF时，求水面宽度增加多少m？
22.(本小题6分)
在历史的长河中，很多文物难免损耗或破碎断裂，而文物修复师能运用自身拥有的多门学科的专业知识去修复破损的文物，使其重获新生．如图1，某文物修复师在修复一件破碎的古代瓷器束口盏（盏口原貌为圆形）的时候，仅凭一块碎片就初步推算出了该文物原貌口径的尺寸．如图2是文物修复师根据碎片的切面画出的几何图形．碎片的边缘是圆弧，表示为弧AB，测得弧所对的弦长AB为12.8cm,弧中点到弦的距离为2cm.设弧AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB于D，连接OB．求这个盏口半径OB的长（精确到0.1cm）．
23.(本小题8分)
综合实践：怎样才能命中篮筐
活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级2班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究.
模型建立：如图2所示，以小玫的起跳点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系：篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分.
信息整理：
素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为c米，篮筐中心离地面的高度AB=3米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离OB=m米，篮球距地面的最大高度CD=h米，此时离篮球出手位置的水平距离OD=a米.
素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足2.95≤n≤3.10时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变.
解决问题：在初次投篮时，数学兴趣小组同学测得相关数据为：c=2.2米，m=6米，h=4米，a=3米.
（1）小玫初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”）
（2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t值（保留根号）.
（3）在比赛过程中，小玫在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，小玫此次能否命中篮筐？如果不能，那么要想命中篮筐，则c的取值范围是多少？
24.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是直线BC下方抛物线上一动点.
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）如图（甲），在x轴上是否存在点E，使得以E，B，C为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（乙），动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点的坐标和△PBC面积的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】C
13.【答案】0
14.【答案】7
15.【答案】1
16.【答案】
17.【答案】x=-1
18.【答案】1m
19.【答案】解：（1）①x2-6x-3=0，
x2-6x=3，
x2-6x+9=3+9，即（x-3）2=12，
∴x-3=±2，
∴x1=3+2，x2=3-2；
②（x-1）2=2x（1-x），
（x-1）2+2x（x-1）=0，
（x-1）（x-1+2x）=0，
∴x-1=0或3x-1=0，
∴x1=1，x2=；
（2）（1-）-
= -
=-
=-
=，
∵x2+2x-3=0，
∴（x+3）（x-1）=0，
∴x=-3或x=1，
∵x≠±1，
∴当x=-3时，原式==-1．
20.【答案】解：（1）x2-（m+2）x+m-1=0，
这里a=1，b=-（m+2），c=m-1，
Δ=b2-4ac
=[-（m+2）]2-4×1×（m-1）
=m2+4m+4-4m+4
=m2+8．
∵m2≥0，
∴△＞0．
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程x2-（m+2）x+m-1=0的两个实数根为x1，x2，
则x1+x2=m+2，x1x2=m-1．
∵+-x1x2=9，即（x1+x2）2-3x1x2=9，
∴（m+2）2-3（m-1）=9．
整理，得m2+m-2=0．
∴（m+2）（m-1）=0．
解得m1=-2，m2=1．
∴m的值为-2或1．
21.【答案】解：（1）设该抛物线表示的二次函数解析式为y=ax2，
∵点（2，-2）在该抛物线上，
∴-2=a×22，
解得a=-，
∴该抛物线表示的二次函数解析式为y=-x2；
（2）当y=-3时，-3=-x2，得x1=，x2=-，
∴EF=-（）=2（m），
∴EF-BC=（2-4）m,
即当水面BC下降1m到达EF时，水面宽度增加（2-4）m.
22.【答案】解：由题意得：AB=12.8cm,OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=6.4cm,
设这个盏口半径OB的长为r cm,则OD=（r-2）cm,
在Rt△BOD中，由勾股定理得：6.42+（r-2）2=r2，
解得：r≈11.2，
答：这个盏口半径OB的长为11.2cm。
23.【答案】不能；
t=3-；
1.95≤c≤2.1．
24.【答案】解：（1）设抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-4）=a（x2-3x-4），
则-4a=-4，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2-3x-4；
（2）存在，理由：
由抛物线的表达式知，点C（0，-4），
设点E（x,0），
则BC2=32，BE2=（x-4）2，CE2=x2+16，
当BC是斜边时，
则32=（x-4）2+x2+16，
解得：x=0或4，
即点E（0，0）或（4，0）；
当BE或CE为斜边时，
同理可得：（x-4）2=x2+16+32或32+（x-4）2=x2+16，
解得：x=4或-4，
即点E（4，0）（舍去）或（-4，0）；
综上，点E（0，0）或（-4，0）；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点H，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=x-4，
则S△PBC=S△PHB+S△PHC=OB×PH=4×（x-4-x2+3x+4）=2（-x2+4x），
∵-2＜0，
故当x=2时，S△PBC的最大值为8，
此时，点P（2，-6）．
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