上海市桃浦中学 2025 学年第一学期高三年级
数学学科 期中试卷
（试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
1．已知集合 A { 1,1,2 ， B {0,1}，则 A B ．{1}
2.函数 y lg(2 x)的定义域为 ． ( ,2)
3.已知向量 a ( 2,3),b (3,m)，且 a b，则m ． 2
4.若 sin 1 ，则 cos( ) 1 ．
3 2 3
1 1
5.设 { , , 1, 2,3}，若 f (x) x 为偶函数，则 ． －2
3 2
6.竖直向上发射的火箭熄火后的位移H（单位：m）与时间 t（单位： s）近似满足函数关
系H 100t 5t2，则火箭在 t 3时的瞬时速度为 m / s．70
7.已知点 P(-2a,3a)(a < 0) 是角 3终边上的点，则 tana = ． -
2
8．已知{an}为等差数列，Sn为其前 n项和，若 a1 a9 18，a4 7，则 S11 ．121
9．已知平面向量 a 1, 3 ， a b 0, 3 1 ，则 a在b方向上的数量投影为 ．
2 6
2
f x 2x 1, x 1 110．设 ax , x 1 ，若 f f 1 ，则 a ． 3 27
11.若一个正项等比数列的前 4项和为 4，前 8项和为 68，则该等比数列的公比
为 ． 2
12.设 a,b Z，若对任意 x 0，都有 (ax 3)(x2 b) 0，则 a b ． －2
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分）
1 1
13．“ 2”是“ x ”的（ ）条件．B
x 2
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
14．VABC 2 2的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，满足 a b c bc，角 A为锐角，
则角 A的取值范围是（ ） D
A． 0,
π π π π π π
B．6
0, C． , D． ,
3 6 2 3 2
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
15．在 ABC中，D 是 AB 边上的中点，则CB =（ ） C
A． 2CD CA B．CD 2CA C．2CD CA D．CD 2CA
| log5(1 x) | x 1
16.已知 f (x) ，则方程 f (x
1
2) a（ a R ）的实数根个数不
(x 2)
2 2 x 1 x
可能是（ ） A
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17～19 题每题 14 分，20～21 题每题 18 分）
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.
求下列不等式的解集：
（1） 2x 3 7； （2） 4x 4 2x 12 0．
解：（1）由 | 2x 3 | 7得 7 2x 3 7，………………4 分
解得 2 x 5．
所以原不等式的解集是 ( 2,5)．………………6 分
（2 x）原不等式可化为 2 2 2x 6 0， ………………8 分
2x因为 2 0 x，所以 2 6， ………………10 分
解得 x log2 6． ………………12 分
所以原不等式的解集是 log2 6, ． ………………14 分
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.
x x 2 x
已知 f (x) 2 2 sin cos 2 2 cos 2 .
2 2 2
（1）求函数 y f (x)在区间 0,π 上的值域；
（2）若方程 f ( x)= 3( 0)在区间 0,π 上至少有两个不同的解，求 的取值范围.
x x
解:（1） f (x) 2 2 sin cos 2 2 cos2 x 2 2 sin x 2 cos x 2sin(x )，
2 2 2 4
………………3 分
x 0, ， x ,
5 sin(x 2 ) ,14 4 4 4 2
，
2sin x 2,2 ，所以函数 f (x)的值域为 2,2 .………………6 分 4
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
（2） f ( x) 2sin( x )( 0) Q f ( x)= 3， 2sin( x
) 3，
4 4
即 sin( x )= 3，………………8 分
4 2
x 0, ， x , ， ………………10 分4 4 4
且 x =2k (k Z)或 x =2k 2 (k Z)
4 3 4 3
由于方程 f ( x)= 3( 0)在区间 0, 上至少有两个不同的解，所以
2 ， ………………12 分
4 3
5
5 解得 ，所以 的取值范围为 , . ………………14 分12 12
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.
某工厂某种产品的年固定成本为 300 万元，每生产 x件，需另投入成本为C(x)（万元），
1 2
当年产量不足 80 件时， C(x) x 10x （万元）；当年产量不小于 80 件时，
3
C(x) 51x 10000 1450（万元）．每件产品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的
x
产品能全部售完．
（1）写出年利润 L(x)（万元）关于年产量 x（件）的函数解析式；
（2）年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？
L(x) 50x 1 119.解：（1）当0＜x＜80时， x 2 10x 300 x 2 40x 300 ；
3 3
L(x) 50x 51x 10000 1450 300=1150 (x 10000当 x 80时， )
x x
1 x2 40x 300,0 x 80 3
所以 L(x) ，x N ………6分
1150 (x 10000 ), x 80
x
1
2 2
1 2
（ ）当0＜x＜80时， L(x) x 40x 300 (x 60) 900
3 3
∴当 x 60时， L（x）取得最大值 900 万元； ………9 分
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
x 80 L(x) 1150 10000 10000当 时， (x ) 1150 2 x 950
x x
x 10000当且仅当 ，即 x 100时，（L x）取得最大值 950 万元 ………13 分
x
所以当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 950 万元
………14 分
20．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分）.
已知 f (x) ln x 1= + +1.
x
（1）求曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）求函数 y = f (x)的单调区间；
（3）设m R，对任意的 a (-1,1)，总存在 x0 [1,e]，使得不等式ma - f (x0 ) < 0
成立，求实数m的取值范围.
解：（1） f '(x) 1 1 x -1= - = , x > 0………2分
x x2 x2
\ f '(1) = 0 ………3分
又由 f (1) = 2得曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y = 2………5 分
f '（2）令 (x) > 0，得 x >1，此时，函数 y = f (x)严格增………7分
令 f '(x) < 0，得0 < x <1，此时，函数 y = f (x)严格减………9分
所以，函数 f (x)的单调增区间为 (1,+ )，单调减区间为 (0,1)………10 分
（3）由题意可知，ma < f (x)的最大值 ………12 分
由（2）知，函数 f (x)在[1,e]上是增函数
\ f (x)的最大值为f (e) = ln e 1+ +1 1= 2 + ………14 分
e e
ma 2 1\ < + 对任意的 a (-1,1)恒成立
e
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
ì 1
m 2 +
\ í e ………16 分
，
-m 2
1
+
e
1
-2 - m 2 1+
解得 e e
1 1
所以实数m的取值范围为[-2 - , 2 + ] ………18 分
e e
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）.
已知非空集合 A R，函数 y f (x) 的定义域为 D ，若对任意 t A且 x D，不等式
f (x) f (x t)恒成立，则称函数 f (x)具有 A性质．
（1）当 A { 1}，判断 f (x) x、 g(x) 2x是否具有 A性质，不需要说明理由；
（2）当 A (0,1)， f (x) x 4 ，x [a， )，若 f (x)具有 A性质，求实数 a的取值范围；
x
（3）当 A { 2，m}，m Z ，若D为整数集且具有 A性质的函数均为常值函数，求所有
符合条件的m的值．
解：（1）Q f (x) x为减函数， f (x) f (x 1)， f (x) x具有 A性质 ………2分
Q g(x) 2x为增函数， g(x) g(x 1)， g(x) 2x不具有 A性质 ………4分
（2）依题意，对任意 t (0,1)， f (x) f (x t)恒成立，
f (x) x 4 在 x [a， )上是增函数， ………6分
x
因为 f (x)的增区间为 ， 2 及 2, ………8分
所以 a 2，故实数 a的取值范围为 [2， )． ………10 分
（3）若m 0， f (x) x满足 f (x) f (x t) 恒成立，
但 f (x) x不是常值函数，所以m 0 ………12 分
D为整数集，具有 A性质的函数均为常值函数，
当 t 2， f (x) f (x 2)恒成立， f (x)的周期为 2， ………14 分
设 f (2k) p(k Z )， f (2n 1) q(n Z )，
由题意， p q，则 f (2k) f (2n 1)，
当 x 2k 时， f (x) f (x 2n 2k 1)， m 2n 2k 1(n,k Z )，
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
当 x 2n 1时， f (x) f (x 2k 2n 1)， m 2k 2n 1(n,k Z )，………16 分
综上所述，m为正奇数. ………18 分
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}上海市桃浦中学 2025 学年第一学期高三年级
数学学科 期中试卷
（试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分）
1．已知集合 A { 1,1,2 ， B {0,1}，则 A B ．{1}
2.函数 y lg(2 x)的定义域为 ． ( ,2)
3.已知向量 a ( 2,3),b (3,m)，且 a b，则m ． 2
4.若 sin 1 ，则 cos( ) 1 ．
3 2 3
1 1
5.设 { , , 1, 2,3}，若 f (x) x 为偶函数，则 ． －2
3 2
6.竖直向上发射的火箭熄火后的位移H（单位：m）与时间 t（单位： s）近似满足函数关
系H 100t 5t2，则火箭在 t 3时的瞬时速度为 m / s．70
7.已知点 P(-2a,3a)(a < 0) 是角 3终边上的点，则 tana = ． -
2
8．已知{an}为等差数列，Sn为其前 n项和，若 a1 a9 18，a4 7，则 S11 ．121
9．已知平面向量 a 1, 3 ， a b 0, 3 1 ，则 a在b方向上的数量投影为 ．
2 6
2
f x 2x 1, x 1 110．设 ax , x 1 ，若 f f 1 ，则 a ． 3 27
11.若一个正项等比数列的前 4项和为 4，前 8项和为 68，则该等比数列的公比
为 ． 2
12.设 a,b Z，若对任意 x 0，都有 (ax 3)(x2 b) 0，则 a b ． －2
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 18 分，第 13、14 题每题 4 分，第 15、16 题每题 5 分）
1 1
13．“ 2”是“ x ”的（ ）条件．B
x 2
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
14．VABC 2 2的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，满足 a b c bc，角 A为锐角，
则角 A的取值范围是（ ） D
A． 0,
π π π π π π
B．6
0, C． , D． ,
3 6 2 3 2
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
15．在 ABC中，D 是 AB 边上的中点，则CB =（ ） C
A． 2CD CA B．CD 2CA C．2CD CA D．CD 2CA
| log5(1 x) | x 1
16.已知 f (x) ，则方程 f (x
1
2) a（ a R ）的实数根个数不
(x 2)
2 2 x 1 x
可能是（ ） A
A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17～19 题每题 14 分，20～21 题每题 18 分）
17．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.
求下列不等式的解集：
（1） 2x 3 7； （2） 4x 4 2x 12 0．
解：（1）由 | 2x 3 | 7得 7 2x 3 7，………………4 分
解得 2 x 5．
所以原不等式的解集是 ( 2,5)．………………6 分
（2 x）原不等式可化为 2 2 2x 6 0， ………………8 分
2x因为 2 0 x，所以 2 6， ………………10 分
解得 x log2 6． ………………12 分
所以原不等式的解集是 log2 6, ． ………………14 分
18．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.
x x 2 x
已知 f (x) 2 2 sin cos 2 2 cos 2 .
2 2 2
（1）求函数 y f (x)在区间 0,π 上的值域；
（2）若方程 f ( x)= 3( 0)在区间 0,π 上至少有两个不同的解，求 的取值范围.
x x
解:（1） f (x) 2 2 sin cos 2 2 cos2 x 2 2 sin x 2 cos x 2sin(x )，
2 2 2 4
………………3 分
x 0, ， x ,
5 sin(x 2 ) ,14 4 4 4 2
，
2sin x 2,2 ，所以函数 f (x)的值域为 2,2 .………………6 分 4
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
（2） f ( x) 2sin( x )( 0) Q f ( x)= 3， 2sin( x
) 3，
4 4
即 sin( x )= 3，………………8 分
4 2
x 0, ， x , ， ………………10 分4 4 4
且 x =2k (k Z)或 x =2k 2 (k Z)
4 3 4 3
由于方程 f ( x)= 3( 0)在区间 0, 上至少有两个不同的解，所以
2 ， ………………12 分
4 3
5
5 解得 ，所以 的取值范围为 , . ………………14 分12 12
19．（本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分）.
某工厂某种产品的年固定成本为 300 万元，每生产 x件，需另投入成本为C(x)（万元），
1 2
当年产量不足 80 件时， C(x) x 10x （万元）；当年产量不小于 80 件时，
3
C(x) 51x 10000 1450（万元）．每件产品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的
x
产品能全部售完．
（1）写出年利润 L(x)（万元）关于年产量 x（件）的函数解析式；
（2）年产量为多少时，该厂在这一产品的生产中所获利润最大？
L(x) 50x 1 119.解：（1）当0＜x＜80时， x 2 10x 300 x 2 40x 300 ；
3 3
L(x) 50x 51x 10000 1450 300=1150 (x 10000当 x 80时， )
x x
1 x2 40x 300,0 x 80 3
所以 L(x) ，x N ………6分
1150 (x 10000 ), x 80
x
1
2 2
1 2
（ ）当0＜x＜80时， L(x) x 40x 300 (x 60) 900
3 3
∴当 x 60时， L（x）取得最大值 900 万元； ………9 分
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x 80 L(x) 1150 10000 10000当 时， (x ) 1150 2 x 950
x x
x 10000当且仅当 ，即 x 100时，（L x）取得最大值 950 万元 ………13 分
x
所以当产量为 100 千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为 950 万元
………14 分
20．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 8 分）.
已知 f (x) ln x 1= + +1.
x
（1）求曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）求函数 y = f (x)的单调区间；
（3）设m R，对任意的 a (-1,1)，总存在 x0 [1,e]，使得不等式ma - f (x0 ) < 0
成立，求实数m的取值范围.
解：（1） f '(x) 1 1 x -1= - = , x > 0………2分
x x2 x2
\ f '(1) = 0 ………3分
又由 f (1) = 2得曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程为 y = 2………5 分
f '（2）令 (x) > 0，得 x >1，此时，函数 y = f (x)严格增………7分
令 f '(x) < 0，得0 < x <1，此时，函数 y = f (x)严格减………9分
所以，函数 f (x)的单调增区间为 (1,+ )，单调减区间为 (0,1)………10 分
（3）由题意可知，ma < f (x)的最大值 ………12 分
由（2）知，函数 f (x)在[1,e]上是增函数
\ f (x)的最大值为f (e) = ln e 1+ +1 1= 2 + ………14 分
e e
ma 2 1\ < + 对任意的 a (-1,1)恒成立
e
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
ì 1
m 2 +
\ í e ………16 分
，
-m 2
1
+
e
1
-2 - m 2 1+
解得 e e
1 1
所以实数m的取值范围为[-2 - , 2 + ] ………18 分
e e
21．（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分）.
已知非空集合 A R，函数 y f (x) 的定义域为 D ，若对任意 t A且 x D，不等式
f (x) f (x t)恒成立，则称函数 f (x)具有 A性质．
（1）当 A { 1}，判断 f (x) x、 g(x) 2x是否具有 A性质，不需要说明理由；
（2）当 A (0,1)， f (x) x 4 ，x [a， )，若 f (x)具有 A性质，求实数 a的取值范围；
x
（3）当 A { 2，m}，m Z ，若D为整数集且具有 A性质的函数均为常值函数，求所有
符合条件的m的值．
解：（1）Q f (x) x为减函数， f (x) f (x 1)， f (x) x具有 A性质 ………2分
Q g(x) 2x为增函数， g(x) g(x 1)， g(x) 2x不具有 A性质 ………4分
（2）依题意，对任意 t (0,1)， f (x) f (x t)恒成立，
f (x) x 4 在 x [a， )上是增函数， ………6分
x
因为 f (x)的增区间为 ， 2 及 2, ………8分
所以 a 2，故实数 a的取值范围为 [2， )． ………10 分
（3）若m 0， f (x) x满足 f (x) f (x t) 恒成立，
但 f (x) x不是常值函数，所以m 0 ………12 分
D为整数集，具有 A性质的函数均为常值函数，
当 t 2， f (x) f (x 2)恒成立， f (x)的周期为 2， ………14 分
设 f (2k) p(k Z )， f (2n 1) q(n Z )，
由题意， p q，则 f (2k) f (2n 1)，
当 x 2k 时， f (x) f (x 2n 2k 1)， m 2n 2k 1(n,k Z )，
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
当 x 2n 1时， f (x) f (x 2k 2n 1)， m 2k 2n 1(n,k Z )，………16 分
综上所述，m为正奇数. ………18 分
{#{QQABaQCgwwCwkpRACS7bAQGUCguYkIATLIguBQCeKAQKAQNABCA=}#}
