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专题23圆的有关计算（7大考点，精选33题）
考点概览 考点1正多边形与圆 考点2弧长的计算 考点3有关弧长的计算与证明问题 考点4扇形及阴影部分面积 考点5圆锥的有关计算 考点6新定义曲线问题的计算 考点7运动路径的计算
考点1正多边形与圆
1．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：连接相交于O，
∵正方形的内切圆的半径是2，
∴，，
∴，，
∴图中阴影部分的面积是．
故选D．
2．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ．
【答案】或
【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可．
【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角，
∴；
当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时，
则：，
∴，
∴；
综上：这个角的大小是或；
故答案为：或．
3．（2025·青海·中考真题）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 能
正方形 ①________ ②________ 能
正五边形 不能
正六边形 能
正七边形 不能
正八边形 ③________ ④________
．．． ．．． ．．． ．．．
（1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________．
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．
观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为．
（2）如图2，正方形的周长为__________；
（3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）．
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小．
（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________．
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．
【答案】（1）①，②，③，④不能；（2）8；（3）；（4），，
【分析】（1）根据正方形，正八边形内角性质解答；
（2）根据正方形内切圆半径为1，得正方形边长为2，即得正方形周长；
（3）根据正六边形内切圆半径为1，得正六边形边长为，即得正六边形周长；
（4）在周长都是12的情况下，得正三角形的边长为4，边心距为，积为；正方形的边长为3，面积为9；正六边形的边长为2，边心距为，面积为．
【详解】（1）∵正方形每个内角为 ，
∴，
∴能密铺；
∵正八边形的每个内角为，
∴，
∴不能密铺；
故答案为：①；② ；③；④不能；
（2）设切于点E，连接，
则交于点O，，
∵，
∴，
∴，
∴正方形的周长为8；
故答案为：8；
（3）设切于点G，连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴正六边形周长为；
（4）三角形：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
正方形：
∵，
∴，
正六边：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌．熟练掌握平面镶嵌的原理，正三角形，正方形，正六边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
考点2弧长的计算
4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可．
【详解】解：根据弧长公式：，其中，
代入得：
解得：
故选：A．
5．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求弧长，斜边上的中线，根据斜边上的中线求出得到，进而得到，三角形的外角得到的度数，作图可知，等边对等角求出的度数，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵，是斜边上的中线，，
∴，
∴，
∴，
由作图可知，
∴，
∴，
∴的长为；
故选B．
6．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
【答案】C
【分析】本题主要考查了求弧长，根据题意求出的度数，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解；由题意得，，
∴劣弧的长为千米，
故选：C．
7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴劣弧，
故答案为：．
8．（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为，
∴摩天轮的半径为，
∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B，
∴，
∴该轿厢所经过的路径长度为：
．
故答案为：．
9．（2025·四川凉山·中考真题）如图，内接于，若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接，根据三角形的内角和定理，求出的度数，圆周角定理求出的度数，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：连接，则：，
在中，，
∴，
∵内接于，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴的长为；
故答案为：．
考点3有关弧长的计算与证明问题
10．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．
（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
且是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：在中，，
∴，
设，
∴，
解得，
∵，
∴的长为：．
11．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，且，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可；
（2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，
在四边形中，∵
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴的长为：．
12．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作．
(1)当经过圆心O时（如图1），求的度数；
(2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出；
（2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出，
说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可．
【详解】（1）解：∵经过圆心O，
∴为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴；
（2）解：连接、，如图所示：
∵与相切，
∴，
∴，
∵在中，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质．
13．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．
(1)求的长；
(2)求的度数；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，还考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关性质与定义是解题的关键．
（1）连接，判定是等边三角形，得出，利用弧长公式求解即可；
（2）利用，求出，再利用，等边对等角即可求解；
（3）连接， 求出，即可得，利用是的切线，求出，，证明，再利用三角函数定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
在中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴的长；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上， ，扇形的弧交线段于点，记为．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，当四边形为菱形时，求的长；
(3)当时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可；
（2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可；
（3）分两种情况，根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）∵正方形的边长为5．
∴
∵当时
∴
∵
∴
∴四边形是菱形
∵
∴四边形是正方形
∴
∴；
（2）∵四边形为菱形
∴
∵扇形所在圆的圆心在对角线上，
∴
∴是等边三角形
如图所示，连接交于点G
∴
∴
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
∴；
（3）如图所示，当是劣弧时，
∵，半径
∴；
如图所示，当是优弧时，
∵，半径
∴
∴．
综上所述，的长为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
(1)求圆心角的度数；
(2)求的弧长（结果精确到米）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，圆的切线的性质，弧长公式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）由圆的切线的性质得到，再由直角三角形锐角互余即可求解；
（2）先解，设，，再解得到，求出，求出半径，再由弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与所在相切于点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵直线与所在相切于点，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的弧长为：，
答：的弧长为．
16．（2025·四川自贡·中考真题）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．
(1)___________度；
(2)求证：为的切线；
(3)若，求上的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，，，证明，四边形是菱形，，是等边三角形，可得，进一步可得结论；
（2）如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，可得，再进一步证明即可；
（3）由，，，可得，结合，再利用弧长公式计算即可.
【详解】（1）解：如图，连接，，，
∵和相交于两点，且经过的圆心，
∴，，
∴四边形是菱形，，是等边三角形，
∴，
∴．
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴为的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴上的长.
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.
考点5圆锥的有关计算
17．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D
∵是直径
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∵
∴，
∴
∴，
∴该粒米落在扇形内的概率为．
故选：D．
【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
18．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
19．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可．
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
20．（2025·吉林长春·中考真题）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度．
【答案】
【分析】本题考查了扇形面积公式，圆的面积公式，掌握扇形面积是解题的关键．
设扇形的圆心角度数为，半径为，由扇形面积公式和圆的面积公式得到，即可求解．
【详解】解：设扇形的圆心角度数为，半径为，
由题意得，
解得：，
故答案为：．
21．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可．
【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，，，
∴和为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质．
22．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和．
【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴轴，轴，
∵半径为1，
∴，
∴A点的纵坐标为1，
把代入，求得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴第一象限中阴影的面积，
同理，第三象限中阴影的面积，
∴．
故答案为：．
23．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
24．（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为．
【答案】[初步尝试]见解析；[拓展探究]见解析
【分析】本题主要考查了扇形的面积，基本作图，熟练掌握扇形的面积公式和尺规作图是解题的关键．
[初步尝试] 经过圆心的直线平分扇形的面积，作圆心角的角平分线或作扇形弧对应弦的垂直平分线；
[拓展探究]根据扇形面积公式，扇形面积之比等于扇形半径的平方之比，从而得到 扇形的面积与扇形半径之比为，只要画出或的中点即可．方法一：作扇形半径的垂直平分线找到中点，然后以为半径作弧交半径于点．方法二：扇形的圆心角为，根据含的直角三角形是斜边的一半，过点作出的垂线，构造直角三角形，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．
【详解】解：[初步尝试]
作法一：如图所示
①连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，
两弧交于点，标注出点
②画直线
③直线即为所求
作法二：如图所示
①以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，
②分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，标注出点.
③画直线，直线即为所求
[拓展探究]
扇形的面积与扇形的面积比为，设扇形的半径为，扇形的半径为
扇形的面积∶扇形的面积
只要画出或的中点即可
作法一：
①作的垂直平分线交于点，标注出点
②以为圆心长为半径画弧，交于点，标注出点
③弧即为所求．（同理作的垂直平分线也可得分）
作法二：
过点作出的垂线或者过点作的垂线，取垂线段的长度为半径，以为圆心画弧即可．（依据：含的直角三角形是斜边的一半）
25．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线；
（2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可；
（3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的直径，
∴，
在中，，
设，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
考点4扇形及阴影部分面积
26．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长．
设圆锥底面圆半径为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长得到，即可求解半径．
【详解】解：设圆锥底面圆半径为，
由题意得：，
解得，
因此，该圆锥的底面圆半径为，
故选：B．
27．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】本题考查了与圆锥相关的计算，熟知圆锥侧面展开后是扇形及与圆锥的底面半径的关系是解题的关键；
先计算圆锥展开图的扇形的弧长，再进一步计算即可
【详解】解：圆锥侧面展开图的扇形的弧长，
∴该圆锥的底面圆的半径为；
故选：A
28．（2025·黑龙江·中考真题）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据勾股定理求出母线长，再根据侧面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长为，
∴圆锥侧面展开图的面积为；
故答案为：．
29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度．
【答案】160
【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．圆锥的底面半径为，则底面圆的周长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是，母线长为即侧面展开图的扇形的半径长是．根据弧长公式即可计算．
【详解】解：根据弧长的公式得到：
，
解得．
即侧面展开图的圆心角为160度．
故答案为：160．
30．（2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，明确扇形的弧长=圆锥底面圆的周长是解题的关键；
根据扇形的弧长=圆锥底面圆的周长计算求解即可．
【详解】解：扇形的弧长=圆锥底面圆的周长；
故答案为：．
考点6新定义曲线问题的计算
31．（2025·四川德阳·中考真题）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，利用弧长计算公式计算即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴这个等宽曲线的周长为．
故答案为：
32．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示）
【答案】
【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
【详解】解: ∵黄金矩形中，且，
∴，
∵四边形是正方形，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∵四边形是正方形，
，
∴“黄金螺线”的长为，
．
故答案为：．
考点7运动路径的计算
33．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ．
【答案】
【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵翻折，
∴，
当点在矩形内部时，作，交于点，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，
∴点的运动路径长为：；
当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点，
同法可得：，，
∴，点在以为直径的上运动，连接，
当点运动到点时，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为，
∴点的运动路径总长为：；
故答案为：
【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键．
34．（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，把深色硬币的圆心移动路径都画出来，根据三边都等于，证明是等边三角形，同理得出其他三角形都是等边三角形，再求出每条弧长，再加起来得出图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长，再进行求解，即可作答．
【详解】解：依题意，，
则是等边三角形；
则，
同理得、、是等边三角形，
则
∴
∴，
∴，
∴；
依题意，，
∴是等边三角形；
则，
同理得、、是等边三角形，
则
则，
则
故答案为：．
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专题23圆的有关计算（7大考点，精选33题）
考点概览 考点1正多边形与圆 考点2弧长的计算 考点3有关弧长的计算与证明问题 考点4扇形及阴影部分面积 考点5圆锥的有关计算 考点6新定义曲线问题的计算 考点7运动路径的计算
考点1正多边形与圆
1．（2025·山东·中考真题）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ．
3．（2025·青海·中考真题）活动与探究
解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？
蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．
探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？
平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺
正三角形 能
正方形 ①________ ②________ 能
正五边形 不能
正六边形 能
正七边形 不能
正八边形 ③________ ④________
．．． ．．． ．．． ．．．
（1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________．
探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？
数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．
观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为．
（2）如图2，正方形的周长为__________；
（3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）．
探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？
数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小．
（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________．
【得出结论】
综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．
考点2弧长的计算
4．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点E．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖南·中考真题）如图，北京市某处位于北纬（即），东经，三沙市海域某处位于北纬（即），东经；设地球的半径约为千米，则在东经所在经线圈上的点和点之间的劣弧长约为（ ）
A．（千米） B．（千米）
C．（千米） D．（千米）
7．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ．
8．（2025·江苏苏州·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为 ．（结果保留）
9．（2025·四川凉山·中考真题）如图，内接于，若，则的长为 ．
考点3有关弧长的计算与证明问题
10．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
11．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点．
(1)如图1，连接，求的度数；
(2)如图2，若点为的中点，且，求的长．
12．（2025·江西·中考真题）如图，点A，B，C在上，，以，为边作．
(1)当经过圆心O时（如图1），求的度数；
(2)当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
13．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．
(1)求的长；
(2)求的度数；
(3)求的值．
14．（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上，，扇形的弧交线段于点，记为．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，当四边形为菱形时，求的长；
(3)当时，求的长．
15．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，扇形为某运动场内的投掷区，所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上．直线与所在相切于点．此时测得；从点处沿方向前进8.0米到达B处．直线与所在相切于点，此时测得．（参考数据：）
(1)求圆心角的度数；
(2)求的弧长（结果精确到米）．
16．（2025·四川自贡·中考真题）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．
(1)___________度；
(2)求证：为的切线；
(3)若，求上的长．
考点4扇形及阴影部分面积
17．（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆心角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·山西·中考真题）如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·四川成都·中考真题）如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ．
20．（2025·吉林长春·中考真题）若扇形的面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角的大小是 度．
21．（2025·山东烟台·中考真题）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ．
22．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
23．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
24．（2025·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹）
[初步尝试]
如图（1）用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线，使扇形的面积被直线平分．
[拓展探究]
如图（2），若扇形的圆心角为，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点为圆心的弧，交于点，交于点，使扇形的面积与扇形的面积比为．
25．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
考点5圆锥的有关计算
26．（2025·云南·中考真题）若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为，母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
27．（2025·四川广安·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．5
28．（2025·黑龙江·中考真题）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的面积为 ．
29．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角为 度．
30．（2025·四川达州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，已知圆锥的底面半径为2，则扇形的弧长是 ．
考点6新定义曲线问题的计算
31．（2025·四川德阳·中考真题）等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是 ．
32．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为 ．（结果用表示）
考点7运动路径的计算
33．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ．
34．（2025·四川遂宁·中考真题）综合与实践——硬币滚动中的数学．将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
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