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专题22圆的有关位置关系（9大考点，精选51题）
考点概览 考点1点与圆的位置关系 考点2切线的性质 考点3有关切线性质的计算与证明 考点4切线的判定 考点5切线的性质与判定综合问题 考点6切线长定理 考点7利用点与圆的模型求最值 考点8圆与实际生活的材料探究题 考点9有关圆位置关系的新定义问题
考点1点与圆的位置关系
1．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则．
【详解】解：∵点在上，
∴点到圆心的距离为，
故答案为：．
考点2切线的性质
2．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果．
【详解】连接，，则：，
∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故选C．
3．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，先画图，连接，，求解，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
【详解】解：如图，连接，，
∵分别与相切于两点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
故选：D
4．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解；如图所示，连接，
∵与相切于点B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和．
【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴轴，轴，
∵半径为1，
∴，
∴A点的纵坐标为1，
把代入，求得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴第一象限中阴影的面积，
同理，第三象限中阴影的面积，
∴．
故答案为：．
6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键．
7．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（1）线段的长为 ；
（2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
（1）利用勾股定理进行求解即可；
（2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出．
【详解】解：（1）由勾股定理得，
故答案为：；
（2）如图所示，点即为所求，
作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求．
理由：∵，
∴为圆的直径，
∵为正方形的对角线，
∴,
∴垂直平分线段，
∴点为圆的圆心，
∴，
又，
，
，
平分，
∴点为线段的中点，
由网格可知点为线段的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴点为线段的中点，
∵，
，
，
∴，
又，
∴，
,
即，
延长交于点，
∵，
∴,
，
∴
∵为圆的切线，
∴，
，
,
∴，
即，
∵，
，
∴为等腰三角形，
∴，
∴点即为所求．
考点3有关切线性质的计算与证明
8．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立；
（2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
9．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，．
(1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ；
(2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长．
【答案】(1)在线段上；；
(2)补图见解析，为等腰三角形
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案；
（2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论；
（3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案.
【详解】（1）解：∵是直角，
∴为直径，
∵为圆心，
∴在线段上；
∵为的中点，
∴，
∴；
（2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下：
连接，
∵为的切线交的延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（3）解：如图，过作于，
∵的半径为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
10．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
连接，根据圆的切线的性质得到，则根据平行线的判定与性质得到，再由等边对等角得到，即可等量代换求证．
【详解】证明：连接，
∵与边相切于点，
∴，即，
∵为直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴平分．
11．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案；
（2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明．
【详解】（1）解：∵与相切与点，
∴，
∴，
∵，
∴;
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
12．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点，
①求__________；
②求的半径；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
【答案】(1)见解析
(2)①30°；②
(3)见解析
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证；
（2）①根据菱形的性质，得到，等角对等边得到，三角形的外角得到，切线得到，再根据角的和差关系进行求解即可；②解直角三角形，进行求解即可；
（3）利用尺规作图作，即可．
【详解】（1）解：，
四边形为平行四边形，
又，且为中点
，
平行四边形为菱形．
（2）①四边形为菱形．
，
，
又，
，
，
切于，
，
；
；
②设半径为，
，
，
，，
；
解得：；
（3）由题意，作图如下：
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，切线的性质，解直角三角形，尺规作平行线，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
13．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据等边对等角导角得到，再结合圆的切线性质得到，即可证明垂直；
（2）先得到是等边三角形，则，解求出，根据，求出，再由梯形面积公式求解．
【详解】（1）证明：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
14．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得；
（2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案.
【详解】（1）解：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
15．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求半圆O的半径及的长．
【答案】(1)见解析
(2)半圆O的半径为2，
【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证；
（2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设半圆O的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
16．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．
(1)如图①，求的大小；
(2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可；
（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接．
与相切于点，
．又，
平分．
∴．
，
．
在中，，
．
（2）由（1）知：．
，
．
为的一个外角，
．
由题意，为的直径，
．
又的半径为3，则：．
在中，，
．
17．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．
(1)求的长；
(2)求的度数；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查圆的相关性质与计算，涉及切线的性质，弧长的计算，还考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含角的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关性质与定义是解题的关键．
（1）连接，判定是等边三角形，得出，利用弧长公式求解即可；
（2）利用，求出，再利用，等边对等角即可求解；
（3）连接， 求出，即可得，利用是的切线，求出，，证明，再利用三角函数定义求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接，
在中，，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴的长；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)的半径
【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解；
（2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵，是的切线，即，
∴，
∴，
∴，即是等腰直角三角形，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
如图所示，连接，设，则，
∴在中，，
∴，
解得，，
∴，
∴的半径．
【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键．
19．（2025·四川德阳·中考真题）在中直径与弦交于点，，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)连接，，再连接并延长交于点，
证明：；
若，求的直径．
【答案】(1)；
(2)见解析； ．
【分析】（）先由切线的性质可得，则，又，所以，最后通过三角形外角性质即可求解；
（）由，则，因为，故有，则，得到，通过等腰三角形的性质可证明，再根据全等三角形的性质可得，从而求证；
连接，证明，则有，所以，由知，故有，即，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：∵是直径，是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴；
连接，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
由知，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
20．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接，，，等边对等角，得到，切线推出，直径得到，进而得到，推出，平行线的性质，结合圆周角定理得到，等角对等弧，即可得证；
（2）延长交于点，连接，由（1）可推出是含30度角的直角三角形，利用三角函数进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，，，则：，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：延长交于点，连接，则：为的直径，
∴，
∵的半径为2，
∴
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴．
考点4切线的判定
21．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，弧长公式，含30度角的直角三角形的性质．
（1）先由三角形内角和定理得出，再根据得，进而可得，再根据切线的判定可得出结论；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得，设，则，求出，再得，然后根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
且是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：在中，，
∴，
设，
∴，
解得，
∵，
∴的长为：．
22．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)．
【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线；
（2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴为的切线；
（2）解：如图，过点D作，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
23．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，得到，即可证明结论；
（2）证明，求出，得到，即可求出的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵于点F，
∴,
∵
∴，
∵
∴，
∴，
即
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴
解得，
∵
∴
解得，
∴
∴，
∴
【点睛】此题考查了解直角三角形、切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定和性质是关键．
24．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键：
（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证；
（2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，即，
．
为的半径，
是的切线．
（2）解：点B是的中点，
．
，
．
，
．
又，
．
．
在中．
．
即半径为．
25．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
，，
．
，
．
是的直径，
，即．
，
，即．
为的半径，
是的切线．
（2）解：如图2，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴．
在中，．
26．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
，，
．
，
．
是的直径，
，即．
，
，即．
为的半径，
是的切线．
（2）解：如图2，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴．
在中，．
27．（2025·山东·中考真题）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等．
（1）利用等边对等角求得，由角平分线的定义求得，可证明，即可证明为的切线；
（2）先证明等腰三角形，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
即且为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，又，
∴等腰直角三角形，
∵的半径为2，
∴，
∴，
∴．
28．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使．
(1)求证：是的切线．
(2)点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得，又由等腰三角形的性质及已知可得，即得，进而即可求证；
（2）连接，由得，即得，，即得到，设，则，由勾股定理得，解得，再证明，得，即得，进而由得，代入计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
29．（2025·四川广安·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知切线的判定定理，相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）连接，由等边对等角得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则可导角证明，据此可证明结论；
（2）证明，得到，则，设，则，，证明，得到，则，据此可求出，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
，
又，
，
，
的面积是的面积的3倍，
，
，
设，
，，
，
，，
，
，
，
∴，
在中，．
30．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长及的半径．
【答案】(1)见解析
(2)；的半径为
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键；
（1）连接并延长交于点，连接，根据已知得出，根据圆周角定理得出，进而等量代换可得即，即可得证；
（2）证明，即可得出，过点作于点，得出，进而求得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接，
∵，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵是直径
∴
∴即
∴是的切线；
（2）∵
∴
∴
∵
∴ ，
又∵，
∴
解得：
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴
∴
又∵
∴
∴的半径为
31．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，试求与半径的数量关系．
【答案】(1)是的切线，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）连接，则，根据可得，根据是的切线，可得，进而得出，即可得证；
（2）根据已知条件，根据一线三等角证明得出相似比为，进而得出，过点作于点，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可得证．
【详解】（1）解：是的切线，理由如下：
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，连接，过点作于点，则，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴在中，，，
∴，
∴，
∴．
32．（2025·四川南充·中考真题）如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，．
(1)求证：是的切线．
(2)若， ，求的长．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的证明、直径所对的圆周角等于90度、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点．熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）如图：连接，利用证明 得到即可证明是的切线；
（2）如图：连接，先说明，即．再根据圆周角定理可得；设，，由勾股定理可得，即．解答，进而得到、；由全等三角形的性质可得，进而得到；则，然后求得即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接，
在与中，
，
∴．
∴，
∴为的切线．
（2）解：如图：连接．
∵，，
∴．
∴．．
∵为直径，
∴，．
设，，，
∴．
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
33．（2025·四川自贡·中考真题）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．
(1)___________度；
(2)求证：为的切线；
(3)若，求上的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，，，证明，四边形是菱形，，是等边三角形，可得，进一步可得结论；
（2）如图，连接，由（1）得：，是等边三角形，可得，证明为等边三角形，可得，，证明，可得，再进一步证明即可；
（3）由，，，可得，结合，再利用弧长公式计算即可.
【详解】（1）解：如图，连接，，，
∵和相交于两点，且经过的圆心，
∴，，
∴四边形是菱形，，是等边三角形，
∴，
∴．
（2）证明：如图，连接，
由（1）得：，是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴为的切线；
（3）解：∵，，，
∴，
∵，
∴上的长.
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键.
考点5切线的性质与判定综合问题
34．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线；
（2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可；
（3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵点E为的中点，
∴，
∵，
∴，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵是的直径，
∴，
在中，，
设，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，．
35．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）方法一：过点作于点，证明，则，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；由角平分线的性质定理得到，由为的半径得到为的半径，由即可证明是的切线；
（2）证明，则，求出，则，在中，求出，得到，，证明，则，设，则，即可求出答案．
【详解】（1）方法一：
证明：过点作于点，
，
，
与相切于点，
，
，
，，
，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
方法二：
证明：过点作于点，
与相切于点，
，
，
是的平分线，
，
为的半径，
为的半径，
，
是的切线；
（2），为半径，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，，
，
，
设，则，
，
解得，
．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线性质定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质是关键．
36．（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，由切线的性质可得，证明，可得，据此由切线的判定定理可证明结论；
（2）过点C作于H，过点D作于M，设，则，解得到，则，解方程可得，则，，，由勾股定理得，则；解得到，则，，由勾股定理得；由等面积法可得，证明，得到；证明可得，则．
【详解】（1）证明；如图所示，连接，
∵是的切线，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，过点C作于H，过点D作于M，
设，则，
由（1）可得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
在中，，
∴，，
在中，由勾股定理得；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴．
37．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．
(1)若，且，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)存在常数，，理由见解析．
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）证明是等边三角形即可；
（）延长交于点，连接，由圆周角定理可得，即，又，，所以，然后由切线的判定方法即可求证；
（）设与交于点，由平分，可得，，通过圆周角定理可得，证明，，故有，，即有，，然后通过即可求解．
【详解】（1）解：∵，且，
∴是等边三角形，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵是的直径，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（3）解：存在常数，，使等式成立；
理由如下：
如图，设与交于点，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，，
得：，
∵，
∴，
∴，．
38．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求与的长度；
(3)在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)，
(3)
【分析】（1）连接， 可得，，由直径性质，得，可得，即得直线是的切线；
（2）证明，得，得，可得，证明，得,，由,得；
（3）过点E作于点G，则，当四边形面积最大时，面积最大，点F是的中点，可得，得 ，得，∴，得，由，得,即得．
【详解】（1）解：连接，
则，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴直线是的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或；
（3）过点E作于点G，
则，
当四边形面积最大时，面积最大，点F到的距最大，点F是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定和性质，正切定义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．
考点6切线长定理
39．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，
【答案】/70度
【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵是切线，
∴，即，
∵，
∴，
∵、是圆O的切线，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
40．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆的切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键．
设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由圆的切线的性质证明四边形为矩形，则，可求圆的半径为，设，在中有勾股定理建立方程，解得：或（舍），同理可得：，，最后由即可求解．
【详解】解：设分别与的切点记为点，连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
∴，，
∴，
∵梯形，，
∴点共线，
∴四边形为矩形，
∴，
∵的面积为，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
∵在中，，
∴，
解得：或（舍），
∴，
同理可得：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离为，
故答案为：．
41．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)长为44．
【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明；
（2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长．
【详解】（1）证明： ，分别切于A点，B点，
平分，
，
又 ，
，
．
（2）延长交于点F，连接，则，
，分别切于A点，B点，
C为的中点，
，
，
又 ，，
，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．
42．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明；
（2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
设，
∴，，
∵是的切线，是的切线，
∴，
∵
∴，
解得：，
∴半径为．
43．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足．
(1)求证：与该半圆相切；
(2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由；
(3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围）
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点．
根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切．
（2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得．
（3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出．
【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点．
∵与均为该半圆的切线，
．
．
．
∵为的中点，
．
在与中，
，
．
．
，
．
．
，即平分．
又，
．
∴与该半圆相切．
（2）解：．理由如下：
如图4，过点作，交于点，
在中，由勾股定理可得，
，
．
，
代入可得．
（3）解：如图5，均为该半圆的切线，
，
，
．
，
，
．
，
．
．
．
，
，
．
同理可得，
，
由（2）可知，
．
又在中，
，
．
，
．
【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
考点7利用点与圆的模型求最值
44．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论：
①；
②；
③当时，；
④点与点之间的距离的最小值为．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，可得在以为圆心，为直径的圆上，当共线时，最小，再进一步可判断④.
【详解】解：∵正方形，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，故①符合题意；
∵，，
∴，
∴，故②符合题意；
当时，，
∴，，
∴，故③不符合题意；
如图，取的中点，连接，
∵，
∴在以为圆心，为直径的圆上，
当共线时，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，点到圆上各点距离的最小值的含义，本题难度较大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
45．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有 ．（填序号）
【答案】①②④
【分析】证明即可判断①，在上取一点，使得，证明，进而判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点，
∴，
∴，
∴，故①正确；
如图，在上取一点，使得，
∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，故②正确；
如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵在正方形中，，
∴
∴
∵
∴
∴
在中，
∵
∴
∴
∴，故③错误
如图
∵
∴
即
∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动
取的中点，连接，
∴当在上时，取得最小值，最小值为的长，
∴
∴
∴
∴，故④正确
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
46．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，，，求的度数；
(2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明：
(3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积．
【答案】(1)
(2)，理由见解析.
(3)
【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解；
（2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出；
（3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出．
【详解】（1）解：∵，，
∴是等边三角形，
∴．
由旋转得，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即；
（3）解：取中点，中点，连接，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵是中点，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，
由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，
即点和点重合时，最小，
此时如图，
由翻折可知，
∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，
此时如图，连接，过点作于点，过点作于点，
由旋转知，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
考点8圆与实际生活的材料探究题
47．（2025·山东·中考真题）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度．
【问题解决】
已知，的长度要求是．
（1）求的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析
【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用．
（1）根据切线长定理求解即可；
（2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可；
（3）能，将圆柱换成正方体．
【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，，
∴，；
（2）∵钢柱的底面圆半径为，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴该部件的长度符合要求；
（3）能，将圆柱换成正方体．如图，
设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
48．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气 液界线的切线与固 液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）图见解析（2）变强（3），理由见解析（4）见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图，切线的判定和性质，熟练掌握新定义，切线的判定和性质，是解题的关键．
（1）圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接，分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心，连接，过点作，则为圆的切线，即为所求；
（2）根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
（3）连接，等边对等角，得到，切线的性质，结合等角的余角相等，得到，进而得到即可；
（4）可以根据，进行判断，根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可．
【详解】解：（1）①圆弧上取一点，交界面与圆弧的交点为，连接；
②分别作的中垂线，交于点，则点为圆弧的圆心；
③连接，过点作，则为圆的切线，故即为所求；
（2）由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强；
故答案为：变强；
（3），理由如下：
连接，则：，
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（4）∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
49．（2025·河北·中考真题）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
(1)图中，矩形的周长为______；
(2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．
(4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
当时，求的值；
当最大时，直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)；
(4)；．
【分析】根据矩形的周长公式计算即可；
以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，连接，由作图可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可证，根据矩形的性质可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可证直线把矩形分成了周长相等的两部分，所以线段即为所求；
根据矩形的性质可证四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据平行四边形的性质和矩形的性质可以证明书，，所以可以证明，所以直线把矩形分成了周长相等的两部分，从而可证直线符合要求；
过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，根据矩形的性质可得：，，，根据勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可得：，，从而可得：，，根据等腰直角三角形的性质可得：，，根据正切的定义可以求出的正切；
连接交于点，把矩形分成了周长相等的两部分，点为和的中点，利用勾股定理可以求出，，过点作，则，根据相似三角形的性质可以求出，，，在中，利用勾股定理可得：，在中，利用勾股定理即可求出的长度．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，
，，
，，
矩形的周长为，
故答案为：；
（2）解：如下图所示，
以点为圆心为半径画弧，交于点，延长交于点，线段即为所求，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
矩形的对角线交于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，，
，
，
，
，
直线把矩形分成周长相等的两部分；
（3）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
直线是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
把矩形分成了周长相等的两部分，
直线符合要求；
（4）解：如下图所示，过点作，连接交于点，过点作于点，过点作，
四边形是矩形，且直线将矩形分成周长相等的两部分，
则点是矩形的对角线与的交点，
点是的中点，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在和中，，
，
，，
，
，
，
于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
；
解：如下图所示，连接交于点，
把矩形分成了周长相等的两部分，
点为和的中点，
，
点在以为直径的上，
当与相切时，最大，
，，
，
，
，
过点作，
，
四边形是矩形，
，
则，
，
，
，，
，
，
是的切线，
，
．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、中心对称图形的性质、圆的基本性质、切线的性质、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质，本题的综合性较强，难度较大，需要综合运用矩形、圆、切线等图形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质求解．
50．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形中，，．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
（2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ．
【答案】探究一：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：在上；证明见解析；拓展应用：（1）作图见解析；（2）；（3）；
【分析】探究一：根据三角形的三边关系可得答案；
探究二：利用直角三角形斜边上的中线的性质证明即可得到答案；
拓展应用：（1）连接，交于点，以为圆心，为半径作圆即可；
（2）结合矩形性质与勾股定理计算即可；
（3）作的垂直平分线，交于，交于，可得四边形，是两个全等的矩形，，用两个等圆完全覆盖矩形，可得两圆一定过，再进一步解答即可.
【详解】解：探究一：
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（三角形的任意两边之和大于第三边）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．
故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；
探究二：∵，为的中点，
∴，
∴在上；
拓展应用：（1）如图，即为矩形的最小覆盖圆；
（2）∵矩形，，，
∴，；
（3）作的垂直平分线，交于，交于，
∴四边形，是两个全等的矩形，
∴，
∵用两个等圆完全覆盖矩形，
∴两圆一定过，
连接，交点分别为，
同理可得：这样的两个等圆的最小直径为或或或，
∴最小直径为，
如图，作的垂直平分线交于，
同法作，，此时不是直径最小的等圆；
综上：用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为.
【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，点与圆的位置关系，多边形的外接圆的含义，矩形的判定与性质，熟练的作图是解本题的关键.
考点9有关圆位置关系的新定义问题
51．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
(1)如图，的半径为．
①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为；
②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______；
(2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，；②
(2)或或
【分析】本题考查了新定义，直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，理解新定义是解题的关键；
（1）①根据新定义可得的是的关联点且其与的关联角度小于，进而根据切线的性质，解,即可求得，即可求解．
②根据定义可得为外一点，由，的半径为，得出，进而当时，勾股定理求得的值，即可求解；
（3）由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，根据，得出，根据已知可得，上距离最近的点在的圆环内，根据是固定线段，让移动，分四种情况讨论，求得的临界值，即可求解．
【详解】（1）解：①根据定义可得：当在上时，不存在都有，当在内部时，过的直径使得的关联角度为，当在的外部时，且为的切线时，最大；
如图，是的关联点且其与的关联角度小于，与的关联角度为，与的关联角度大于，
∵，的半径为，
∴，且是的切线，
∴，
∴
∴，即与的关联角度为
故答案为：，．
②根据定义可得为外一点，
∵，的半径为，
∴，当时，
如图，取点，则，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
（2）解：由（1）可得，当在圆的外部时，且为圆的切线时，最大，且距离圆心越近，
∵，
∴当时，由，如图，
∴四边形是矩形，
由∵
∴四边形是正方形，
∴
当时，
∵点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，则，
∴上距离最近的点在的圆环内，
①和的圆相切，如图，
∴
解得：
②和半径为的圆相切时，如图，
∴（不包含临界值）
∴
③当在半径为的圆，如图
解得：（不包含临界值）
∴时，都在内部，此时
④当在半径为的圆，如图
设的半径为，则，
∵，
解得：，
∴时，此时，
综上所述，或或．
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专题22圆的有关位置关系（9大考点，精选51题）
考点概览 考点1点与圆的位置关系 考点2切线的性质 考点3有关切线性质的计算与证明 考点4切线的判定 考点5切线的性质与判定综合问题 考点6切线长定理 考点7利用点与圆的模型求最值 考点8圆与实际生活的材料探究题 考点9有关圆位置关系的新定义问题
考点1点与圆的位置关系
1．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ．
考点2切线的性质
2．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川自贡·中考真题）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．或
4．（2025·安徽·中考真题）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为 ．
5．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
6．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．
（1）线段的长为 ；
（2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） ．
考点3有关切线性质的计算与证明
8．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
9．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，．
(1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ；
(2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长．
10．（2025·广东·中考真题）如图，点是斜边边上的一点，以为半径的与边相切于点．求证：平分．
11．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切于点，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：．
12．（2025·广东深圳·中考真题）如图1，在中，是的中点，，．
(1)求证：四边形为菱形；
(2)如图2，若点为上一点，，且，，三点均在上，连接，与相切于点，
①求__________；
②求的半径；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图2中作射线，交于点，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
13．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
14．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求半圆O的半径及的长．
16．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．
(1)如图①，求的大小；
(2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
17．（2025·内蒙古·中考真题）如图，是的直径，半径，垂足为，，是延长线上一点，连接，交于点，连接，．过点作的切线，切点为，交的延长线于点．
(1)求的长；
(2)求的度数；
(3)求的值．
18．（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)若，求的半径．
19．（2025·四川德阳·中考真题）在中直径与弦交于点，，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，的延长线与的延长线相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)连接，，再连接并延长交于点，
证明：；
若，求的直径．
20．（2025·四川眉山·中考真题）如图，为的直径，点C为圆上一点，过点C作的切线，交延长线于点D，过点B作，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，的半径为2，求的长．
考点4切线的判定
21．（2025·青海·中考真题）如图，线段经过圆心，交于点，，为的弦，连接，．
(1)求证：直线是的切线；
(2)已知，求的长（结果保留）．
22．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求的长．
23．（2025·新疆·中考真题）如图，为的直径，C为上一点，于点F，，交于点G，交于点D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
24．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
25．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
26．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，．求的长．
27．（2025·山东·中考真题）如图，在中，点在上，边交于点，于点．是的平分线．
(1)求证：为的切线；
(2)若的半径为2，，求的长．
28．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使．
(1)求证：是的切线．
(2)点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值．
29．（2025·四川广安·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点E在的延长线上，连接，．
(1)求证：是的切线．
(2)过点C作，垂足为D，若的面积是的面积的3倍，，求的长．
30．（2025·山东烟台·中考真题）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)当，时，求的长及的半径．
31．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，试求与半径的数量关系．
32．（2025·四川南充·中考真题）如图，中，于点D，以为直径的交于点E，交于点F，M为线段上一点，．
(1)求证：是的切线．
(2)若， ，求的长．
33．（2025·四川自贡·中考真题）如图，等圆和相交于两点，经过的圆心，连接，作直径，延长到点，使，连接．
(1)___________度；
(2)求证：为的切线；
(3)若，求上的长．
考点5切线的性质与判定综合问题
34．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积；
(3)连接，若，求的值．
35．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图．，与相切于点、连接，与相交于点，过点作，垂足为，交于点，连接交于点．
(1)求证：是的切线．
(2)当，时，求线段的长．
36．（2025·四川泸州·中考真题）如图，是的直径，过点的直线与过点的切线交于点，与的延长线交于点，且，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
37．（2025·云南·中考真题）如图，是五边形的外接圆，是的直径．连接，，，．
(1)若，且，求的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)探究，发现与证明：已知平分，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出一个的值和一个的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由．
38．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，已知是的直径，是上一点，过作直线与的延长线交于点，过点A作于点，连结、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求与的长度；
(3)在（2）的条件下，若为上的一动点，且在直线上方，连结．当四边形面积最大时，求的长度．
考点6切线长定理
39．（2025·黑龙江·中考真题）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，
40．（2025·四川泸州·中考真题）如图，梯形中，，与梯形的各边都相切，且的面积为，则点到的距离为 ．
41．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．
42．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
43．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足．
(1)求证：与该半圆相切；
(2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由；
(3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围）
考点7利用点与圆的模型求最值
44．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上．连接，作于点，交于点．给出下面四个结论：
①；
②；
③当时，；
④点与点之间的距离的最小值为．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
45．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有 ．（填序号）
46．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，，，求的度数；
(2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明：
(3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积．
考点8圆与实际生活的材料探究题
47．（2025·山东·中考真题）【问题情境】
2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1．
【问题提出】
部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）．
操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度．
【问题解决】
已知，的长度要求是．
（1）求的度数；
（2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：）
【结果反思】
（3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．
48．（2025·江苏扬州·中考真题）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似的看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点或点）所作的气 液界线的切线与固 液界线的夹角，图1中的就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而______（选填“变强”“不变”“变弱”）．
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度和底面圆的半径，求出的度数，进而求出接触角的度数（如图3）．
（3）请探索图3中接触角与之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
【创新思考】
（4）材料的疏水性除了用接触角以及图3中与相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
49．（2025·河北·中考真题）综合与实践
［情境］要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图），需找到合适的切割线．
［模型］已知矩形（数据如图所示）．作一条直线，使与所夹的锐角为，且将矩形分成周长相等的两部分．
［操作］嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题．
［探究］根据以上描述，解决下列问题．
［拓展］操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题．
如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接，交于点； ②过点作，分别交，于点， …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边上截取，连接； ②作线段的垂直平分线，交于点； ③在边上截取，作直线．
(1)图中，矩形的周长为______；
(2)在图的基础上，用尺规作图作出直线（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
(3)根据淇淇的作图过程，请说明图中的直线符合要求．
(4)如图，若直线将矩形分成周长相等的两部分，分别交边，于点，，过点作于点，连接．
当时，求的值；
当最大时，直接写出的长．
50．（2025·吉林长春·中考真题）数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段的覆盖圆有无数个，其中，以为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段的最小覆盖圆一定经过点、点．如图①，以为直径作，再过、两点作（与不重合），连结．在中，有（）．
，
，即的直径大于的直径．
是线段的最小覆盖圆．“”处应填写的推理依据为 ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．如图②，在中，．是以为直径的圆．请你判断点与的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，是最长边的最小覆盖圆，所以，是的最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图③，在矩形中，，．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图③中作矩形的最小覆盖圆：（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描点）
（2）该矩形的最小覆盖圆的直径为 ；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形．则这样的两个等圆的最小直径为 ．
考点9有关圆位置关系的新定义问题
51．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若上存在两个不同的点，，对于上任意满足的两个不同的点，，都有，则称点是的关联点，称的大小为点与的关联角度．（本定义中的角均指锐角、直角、钝角或平角）
(1)如图，的半径为．
①在点，，中，点_______是的关联点且其与的关联角度小于，该点与的关联角度为；
②点在第一象限，若对于任意长度小于的线段，上所有的点都是的关联点，则的最小值为_______；
(2)已知点，经过原点，线段上所有的点都是的关联点，记这些点与的关联角度的最大值为．若，直接写出的取值范围．
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