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专题25旋转（9大考点，精选30题）
考点概览 考点1旋转对称图形 考点2旋转的有关性质 考点3旋转与坐标问题 考点4旋转中的规律探究问题 考点5旋转与最值问题 考点6旋转与反比例函数 考点7旋转与线段及数量关系问题 考点8旋转与面积综合问题 考点9二次函数与旋转问题
考点1旋转对称图形
1．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可．
【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为，
∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合，
∴角的大小可以为，
故选：B．
考点2旋转的有关性质
2．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
由旋转的性质得：，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故选：D．
3．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是 ．（填写序号）
【答案】①③④
【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
由旋转性质得，可得，，，进而由即可判断①；由即可判断②；由、、、、在以为直径的圆上，可以证明，即可判定③，设，由勾股定理解三角形可得，，即可判断④．
【详解】解：由旋转可知：，
∴，，，
∵在正方形中，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，故①结论正确，
∵，，
∴，故②结论错误；
如图：
∵在正方形中，
∴，
∴，
∴、、、、在以为直径的圆上，
∵，
∴，故结论③正确；
如图：过点作，交于，
∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
设，
在中，，
∴，
∴，（负根已舍去）
∵，
∴，
∴．故结论④正确；
综上所述：①③④结论正确，
故答案为：①③④．
4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】由矩形的性质得，根据圆周角定理，可求得，根据，可推出为直角，从点为中点，可推出，接着再证明，利用相似三角形的性质求解即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
为所对的圆周角，所对的圆心角为，
，
将线段绕点顺时针旋转至，
，
，
，
，
，
又，
∴，
∴，
点为中点，
，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】本题考查矩形的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
考点3旋转与坐标问题
5．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案.
【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．
∴，在轴上，，
∵，
∴，，
∴，
故选：A
6．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形的相关计算，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，，，然后通过，，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，过作轴于点，则，
∵点的坐标为，
∴，
由题意得，，，
∴，，
∴点对应点的坐标为，
故答案为：．
7．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】(1)作图见解析，
(2)作图见解析，
(3)
【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解；
（2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标；
（3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求：
∵，
∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即；
（2）解：如图，即为所求，；
（3）解：，
∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为
考点4旋转中的规律探究问题
8．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，， ，进而得到，， 推出，根据，求出点的坐标即可．
【详解】解：过点作轴，
∵为斜边为1的等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的，
∴，
同理：，，， ，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：；
故答案为：．
9．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，
由直线得，当时，，
∴点，
∴，
∵，，
∴，，由勾股定理得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由旋转性质可知：，，
∴，
∴，即的纵坐标为，
同理的纵坐标为，
∵，
∴在直线上，
∴的纵坐标为，
故答案为：．
考点5旋转与最值问题
10．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】A
【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性．
【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，．
又∵，，，，
过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形，
∴．
∴，
∴（），
∴
∴，即点在上运动，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，，
∵， ，，，
∴
∴，
∴最大时，最大，
当点与点重合时，与重合时，最小此时， ，故错误，符合题意； 故B正确，不符合题意；
作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时 当、、三点共线时，最小，
∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∴的最小值 故正确，不符合题意；
当与重合时，
当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
综上，最大值为．故项正确，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键．
11．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ．
【答案】
【分析】先整理得，过点C向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点D在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答．
【详解】解：∵射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，
∴
∵面积为24，
∴
∴，
过点C向上作线段，使得，
∵
∴
即
∴，
连接，
∵，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故点D在以为直径的圆上，
∵，
记圆心为直径的中点，
即的半径
连接，并延长与交于一点，即为，
此时为的最大值，
故
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，正确分析出点D在以为直径的圆上是解题的关键．
考点6旋转与反比例函数
12．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为：
(2)
【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案；
（2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
∴，
∴反比例函数的表达式为：；
（2）解：∵，
∴，
∵含角的三角板为等腰直角三角形，，
∴，，
如图，连接，旋转到的位置；
∴，
∵的对应点在的图象上，
∴，
∴，
由旋转可得：，
∴.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键.
考点7旋转与线段及数量关系问题
13．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，平行四边形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；
（1）根据，得出，根据旋转可得，，进而证明四边形是平行四边形，得出，；即可得证；
（2）在上取一点，使得，证明得出，，进而根据三角形内角和定理得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边可得，则，根据三线合一可得，进而根据，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合
∴，，
∴，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2），
证明：如图，在上取一点，使得
∵
∴
∴，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∴
∴
∴
∴，
又∵
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
14．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析
【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解；
（2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得；
（3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得．
【详解】解：（1），理由如下，
如图，当点G，H重合时，
∵正方形与正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下，
由（1）得，
∴，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3），理由如下，
由（1）得，
∴，，
在上截取，
∵，，
∴，
∴，，
同理，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键．
15．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或.
【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案；
（2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论；
（3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案.
【详解】解：（1）∵在菱形中，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵点与线段的中点重合，
∴，；
（2）如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，当在线段上，记与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，延长交于，
同理可得：，，
∴，
设，而，则，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
综上：的长为或.
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
16．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)线段的长为 ；
(2)当时，求的长；
(3)当点在边上时，求证：；
(4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
(4)的长为或.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）如图，求解，，证明，结合，可得，再进一步求解即可；
（3）证明，结合，，从而可得结论；
（4）如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，过作于，过作于，可得，结合（1）可得：，证明，可得，再进一步解得即可；如图，当在的右边时，过作于，过作于，同法可得答案.
【详解】（1）解：∵在中，，，
∴；
（2）解：如图，在中，，，点为边的中点，
∴，，
∵，
∴，而，
∴，
∴；
（3）证明：∵旋转，
∴，
如图，∵，，
∴，
∵，，
∴；
（4）解：如图，当在的左边时，结合题意可得：，，，
过作于，过作于，
∴四边形为矩形，
∴，
结合（1）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图，当在的右边时，过作于，过作于，
同理：，
四边形四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
同理可得：，，
∴；
综上：的长为或.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
17．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；
②证明得出，即，由可得结论；
方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：[问题解决]①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
，
，
，
；
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：①为旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
∴，
，
，
，
四边形为双等四边形；
②作于点，
，，
，，
设，则： ，
在中，，即，
解得：，
，，
若，时，，
若，时，
，
作于点，
∴，
，
，
若，时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时，或或．
18．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究．
(1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了变换：旋转、平移与轴对称，等腰三角形的性质等知识；
（1）过点D作于H，则由等腰三角形的性质得；证明四边形是矩形，则有；再由旋转知，则可求得的长，最后求得结果；
（2）连接，把通过平移变换，再轴对称变换得到，则为满足条件的等腰三角形．
【详解】（1）解：如图，过点D作于H，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴；
由旋转知，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图（2），连接，把沿平移使M与P对应，得到；再把沿对折，得到，H与N是对应点，则是等腰三角形，其中两腰分别为，点N、Q分别是梯形的顶点．
19．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形中，相交于点O．
（1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________；
（2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值
类比探究
（3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）．
【答案】（1）；；（2）；（3）的值与α无关，理由见解析；（4）．
【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可；
（2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可；
（3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可；
（4）同理可证，，，根据，求解即可．
【详解】解：（1）∵正方形，
∴，，
∴旋转角为，，
故答案为：；；
（2）如图，
根据题意得，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）的值与α无关，理由如下，
如图，
同理可证，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∵O是的垂直平分线与的交点，
∴，
∴，
过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∴的值与α无关；
（3）同理可证，，，
∴，，
∵，
∴
，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
20．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
(1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________；
(2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形；
(3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________；
(4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________．
【答案】(1)相等（或）；相等（或）
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可证明，根据全等三角形的性质，即可求解；
（2）根据正方形的性质，旋转的性质，同（1）证明，得出，结合，即可得证；
（3）同（2）的方法证明，得出四边形是矩形，连接交于点，连接，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出共圆，勾股定理求得，，进而解，求得，再证明，根据正弦的定义，得出，即可求解．
（4）连接交于点，证明得出，当时，取得最小值，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）；
∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∵，
∴，即
又∵，
∴
∴；
故答案为：相等（或）；相等（或）．
（2）证明：∵四边形是正方形
∴，
∵绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∵，
∴即
∴
∴，
∵
∴
∴
∴四边形是矩形
又∵
∴四边形是正方形；
（3）解：∵绕点逆时针旋转得到线段，
∴
∵，
∴
∵四边形是矩形，，，
∴，
∴
∴
∵，
∴即
∴
∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形，
如图，连接交于点，连接
∵是的中点，
在中，
∴
∴共圆，
∴，
∵
∴
∴，
在中，
∴
∵，
在中，
∴，
∵
∴
又
∴
∴，即
∴
∴
∴
∴
故答案为：．
（4）解：如图，连接交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∴
∴是等边三角形，则
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，
∴
∴，即
又
∴，
∴
∴在上运动，且
∴当时，取得最小值，
∵
∴
又∵
∴
∴当时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质以及直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：
(1)若时，
如图①，点D在延长线上时，易证：；
如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析
(2)
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）①由，，得到是等边三角形，从而∴，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；②由，，得到是等边三角形，从而，进而推出，因此可证明，得到，，求得，因此，由即可得到结论；
（2）同（1）思路即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
②解：，理由如下：
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
，
∴，
∴．
22．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案；
（2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案；
（3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案．
【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到，
，，，，
四边形是正方形，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
E在上，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：．理由如下：
将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，
，，，，
，
，
E、B、N三点共线，
，
，
，
，
．
23．（2025·湖北·中考真题）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点．
①求证：；
②当时，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①见解析；②
【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明．
（2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出．
（3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出；
②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
过作，
∴，
∴，
在中，
即，
解得：，（舍去），
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）①证明：设旋转角为，
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：∵，
∴设，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由①得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由①可得，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
根据旋转可得，
∴，
联立可得，
∴．
【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似．
24．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系______．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；理由见解析
(2)；理由见解析
(3)；理由见解析
【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用“半角模型”，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由旋转的性质和正方形的性质，先证E，B，C三线共线．再证，进而证明，推出，可得．
（2）在上取，连接．依次证明，，可得．
（3）将绕点A逆时针旋转得，先证E，D，C三点共线，由（1）同理可得，进而可得．
【详解】（1）解：．理由如下：
由旋转的性质，可知，，，，
∴，
∴E，B，C三线共线．
∵，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：．理由如下：
如图，在上取，连接．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴．
∵，
∴．
（3）解：．理由如下：
如图，将绕点A逆时针旋转得，
∴．
∵，
∴，
∴E，D，C三点共线．
由（1）同理可得，
∴．
考点8旋转与面积综合问题
25．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可；
（2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解；
（3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，即，
∵，，
∴；
（2）∵，即，
∴，，，
作于点，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
（3）设，
由旋转的性质得，则，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，即，
∴．
26．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________．
实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
【答案】探究发现：，；实践应用：；拓展延伸：
【分析】探究发现：图形面积分割法得出 ，根据得出；
实践应用：过点分别作的垂线，垂足分别为，根据等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得，，进而根据旋转的性质可得是等边三角形，同理求得的长，进而根据探究发现的结论，即可求解；
拓展延伸：延长交于点，过点作于点，设，根据圆周角定理，得出，在，中，根据勾股定理，求得，进而根据弧与圆周角的关系，得出，根据前面的结论，即可求解．
【详解】解：探究发现：∵，，
∴ ，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，，；．
实践应用：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，则，
∴，
在中，．
∵将线段绕点逆时针旋转得，
∴
∴是等边三角形，
∴，则，
∴由探究发现可得：．
拓展延伸：如图，延长交于点，过点作于点，连接，
设，
∵是半圆的直径，
∴，
∵，
在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴由探究发现可得：，
∵，
∴，
∵，
∴
．
【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键．
考点9二次函数与旋转问题
27．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，，的最小值为
【分析】（1）对称性求出点坐标，两点式写出函数解析式即可；
（2）设对称轴与轴交于点，设，，分点在轴上方和点在轴下方两种情况进行讨论求解即可；
（3）在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，易得为等腰直角三角形，进而得到，推出，得到当点与点重合时，的值最小为的长，等积法求出的长，证明为等腰直角三角形，求出点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵点在对称轴上，设对称轴与轴交于点
∴设，；
∵旋转，
∴，
当点在轴上方时，
∵关于对称轴对称，
∴，
∴当时，满足题意，此时点与点重合，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
当点在轴下方时，如图，作对称轴于点，则：，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
把代入，得：，
解得：或（舍去）；
∴；
综上：或；
（3）存在；
在轴上取点，连接，过点作于点，交轴于，过点作于点，则：，，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴当点与点重合时，的值最小为的长，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为，
在中，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
综上：，的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
28．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②存在，或或
(3)
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可；
（3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，
∴，
∴
解得：，
∴抛物线表达式为；
（2）解：①对于抛物线表达式，
当，
∴，
设直线表达式为：，
则，
解得：，
∴直线：，
∵，
∴，，
∴，
∴；
②存在，
，而
当时，，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍），
，
∴；
当时，
整理得：，
解得：或（舍）或（舍），
，
∴，
综上：是等腰三角形时，或或；
（3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，
由旋转得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在线段上运动（不包括端点），
∴当时，最小，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，
∴，
∴，
∴线段长度的最小值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强．
29．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值；
(3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）直接由待定系数法即可求解；
（2）先联立抛物线与直线求出交点的坐标，再求出对称轴，则得到点的坐标表示，再由两点间距离公式建立方程求解即可；
（3）顶点，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：联立，
解得：，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，顶点为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的值为；
（3）解：由（2）得顶点，设，
由旋转得，
当时，
过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得：，
解得：，
∴或；
当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入，
得，
整理得：，
解得：，
或，
综上所述：所有符合条件的点P的坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，两点间距离公式等知识点，难度较大，解题的关键在于构造“三垂直”全等模型．
30．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点Q使，此时点Q的坐标为或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线的解析式为；过点P作轴交于E，连接，设，则，可得；根据，可得，则当有最大值是，有最大值，可求出的最大值为；求出，设点P到直线的距离为h，根据三角形面积计算公式可得，则当有最大值时，h有最大值，据此可求出答案；
（3）分当点Q在x轴下方时，当点Q在x轴上方时，两种情况求出对称轴，设出点Q坐标，根据“一线三垂直”模型构造全等三角形，用点Q的坐标表示出点D的坐标，再根据点D在抛物线上构造方程求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图像经过三点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为；
如图所示，过点P作轴交于E，连接，
设，则，
∴；
∵，
∴
，
∴当有最大值是，有最大值，
∵，，
∴当，即时，有最大值，最大值为，
∴的最大值为；
∵，
∴，
∵，
∴；
设点P到直线的距离为h，
∴，
∴，
∵当有最大值时，h有最大值，
∴h的最大值为，
∴点P到直线的最大距离为；
（3）解：如图3-1所示，当点Q在x轴下方时，设抛物线对称轴交x轴于H，过点D作交直线于G，
∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴；
∵，
∴；
设点Q的坐标为，则；
由旋转的性质可得，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
如图3-2所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作轴，分别过点A，点D作直线的垂线，垂足分别为R、S，设点Q的坐标为，
∴；
由旋转的性质可得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴点D的横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点D在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴此时点的坐标为；
综上所述，存在点Q使，此时点Q的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于把求点P到的距离的最大值转换成求的面积的最大值，解（3）的关键在于通过“一线三垂直”模型构造全等三角形．
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专题25旋转（9大考点，精选30题）
考点概览 考点1旋转对称图形 考点2旋转的有关性质 考点3旋转与坐标问题 考点4旋转中的规律探究问题 考点5旋转与最值问题 考点6旋转与反比例函数 考点7旋转与线段及数量关系问题 考点8旋转与面积综合问题 考点9二次函数与旋转问题
考点1旋转对称图形
1．（2025·吉林·中考真题）如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ）
A． B． C． D．
考点2旋转的有关性质
2．（2025·天津·中考真题）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ）
A． B． C．4 D．
3．（2025·四川南充·中考真题）如图，为正方形的对角线，平分，交于点，把绕点逆时针方向旋转90°得到，延长交于点，连接，交于点．给出下列结论：①；②；③；④．以上结论正确的是 ．（填写序号）
4．（2025·广东深圳·中考真题）如图，以矩形的点为圆心，的长为半径作，交于点，点为上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至，点落在上，且点为中点．若，，则的长为 ．
考点3旋转与坐标问题
5．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，则点对应点的坐标为 ．
7．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标；
(2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）．
考点4旋转中的规律探究问题
8．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ．
9．（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ．
考点5旋转与最值问题
10．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最大值是
11．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中， ，．将射线绕点C顺时针旋转到，在射线1上取一点D，连结，使得面积为24，连结，则的最大值是 ．
考点6旋转与反比例函数
12．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的表达式．
(2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标．
考点7旋转与线段及数量关系问题
13．（2025·北京·中考真题）在中，，，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点不在直线上），过点作，交直线于点．
(1)如图1，，点与点重合，求证：；
(2)如图2，点，都在的延长线上，用等式表示与的数量关系，并证明．
14．（2025·甘肃兰州·中考真题）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．
【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．
15．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
16．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在中，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段．
(1)线段的长为 ；
(2)当时，求的长；
(3)当点在边上时，求证：；
(4)当点到的距离是点到距离的2倍时，直接写出的长．
17．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
18．（2025·上海·中考真题）小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究．
(1)如图（1）所示，在梯形中，，．设为边中点，将绕点旋转，点旋转至点的位置，得到的是等腰三角形，其中，设，求边的长（用表示）；
(2)如图（2）所示，已知梯形中，，且，．请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形分割，并使得分割成的几个部分可以通过图形运动拼成与剩余部分不重叠无缝隙的等腰三角形．请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置．（模仿（1）中的论述语言：为边中点，是梯形的顶点）．
19．（2025·江西·中考真题）综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形中，相交于点O．
（1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________；
（2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值
类比探究
（3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）．
20．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践
在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”．
(1)【几何直观】如图1，中，，，在内部取一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，则与的数量关系是__________；与的数量关系是__________；
(2)【类比推理】如图2，在正方形内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，延长交的延长线于点，求证：四边形是正方形；
(3)【深度探究】如图3，矩形中，，，在其内部取一点，使，将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连接，延长交的延长线于点，连接，若，则__________；
(4)【拓展延伸】在矩形中，点为边上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，若，，则的最小值为__________．
21．（2025·黑龙江·中考真题）已知：如图，中，，设，点D是直线上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转α至，连接、，过点E作，交直线于点F．探究如下：
(1)若时，
如图①，点D在延长线上时，易证：；
如图②，点D在延长线上时，试探究线段、、之间存在怎样的数量关系，请写出结论，并说明理由．
(2)若，点D在延长线上时，如图③，猜想线段、、之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论，不需要证明．
22．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由．
23．（2025·湖北·中考真题）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，求的长；
(3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点．
①求证：；
②当时，直接写出的值．
24．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．
(1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接．用等式写出线段的数量关系______．
(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，用等式写出线段的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，用等式写出线段的数量关系，并说明理由．
考点8旋转与面积综合问题
25．（2025·辽宁·中考真题）（1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：；
（2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积．
26．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践
问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．
探究发现：如图1，在中，，是边上一点，过点作于，于，过点作于．连结，由图形面积分割法得：______；则____________．
实践应用：如图2，是等边三角形，，点是边上一点，连结．将线段绕点逆时针旋转得，连结交于，过点作于，于，当时，求的值．
拓展延伸：如图3，已知是半圆的直径，，是弦，，是上一点，，垂足为，，求的值．
考点9二次函数与旋转问题
27．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接，将线段绕点P逆时针旋转，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；
(3)在线段上是否存在点Q，使存在最小值？若存在，请直接写出点Q的坐标及最小值；若不存在，请说明理由．
28．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为，
①用含有的代数式表示线段的长度；
②是否存在点D，使是等腰三角形 若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值．
29．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，过点B的直线与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接，设点M的纵坐标为n，当时，求n的值；
(3)如图2，点N是抛物线的顶点，点P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
30．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数的图像经过三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线下方的抛物线上运动，求点P到直线的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线，若射线绕点Q逆时针旋转与抛物线交于点D，是否存在点Q使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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