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专题01实数及其运算（10大考点，精选41题）
考点概览 考点1正数和负数 考点2数轴 考点3相反数、绝对值和倒数 考点4科学记数法 考点5算术平方根、平方根、立方根 考点6无理数 考点7实数的大小比较 考点8实数的估算 考点9实数的运算 考点10实数的新定义与材料阅读题
考点1正数和负数
1．（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，正负数是一对具有相反意义的量，若水位下降用“”表示，那么水位上升就用“”表示，据此求解即可．
【详解】解：如果水位下降记作，那么水位上升记作，
故选：B．
2．（2025·湖南长沙·中考真题）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【分析】本题考查正负数表示相反意义的量．根据正负数表示相反意义的量，向东记为正数，则向西记为负数，据此即可求解．
【详解】解：将向东走80米记作米，说明“向东”为正方向，与之相反的“向西”应为负方向．因此，向西走60米应记作米．
故选：A．
3．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若超出标准质量用“”表示，那么低于标准质量就用“”表示，据此求解即可．
【详解】解：如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作，
故答案为：．
4．（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ．
【答案】
【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，增加为正，则减少为负，进行作答即可．
【详解】解：体重增加记作，那么体重减少应记作；
故答案为：．
考点2数轴
5．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】A
【分析】本题主要考查了数轴，弄清数轴上表示数的位置是解题的关键．
观察数轴得到表示的点即可．
【详解】解：如图，在数轴上的点M、N、P、Q中，表示的点是M．
故选：A．
6．（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，用点A表示的数减去移到的距离即可得到答案．
【详解】解；∵点A表示的数是1．将点A向左移动3个单位长度得到点，
∴点表示的数为，
故选：B．
7．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先由数轴得，，且，再逐项分析即可．
【详解】解：由数轴得，，且
∴，，
故A，B，C均错误，不符合题意，D正确，符合题意，
故选：D．
8．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键．
根据数轴的特点得到，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，，
∴，
故选：A ．
9．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【分析】本题考查了实数与数轴，先结合数轴的信息，得，且，故，即可作答．
【详解】解：观察数轴，得，且，
∴
即，
故答案为：<．
考点3相反数、绝对值和倒数
10．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数，根据只有符号相反的两个数互为相反数，进行判断即可．
【详解】解：的相反数是
故选A．
11．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键；
根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案.
【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数；
2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义；
A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意；
故选B.
12．（2025·山东东营·中考真题）2025的相反数是（ ）．
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得答案．
【详解】解：根据相反数的定义可得：的相反数是．
故选：B．
13．（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解即可．绝对值表示一个数在数轴上到原点的距离，非负性是其核心性质．对于负数，其绝对值等于它的相反数．
【详解】解：，
因此，的绝对值为5，
故选：A．
14．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是倒数的含义，绝对值的含义，先计算绝对值，再求其倒数即可.
【详解】解：∵，
∴3的倒数是，
∴ 的倒数是，
故选：B
15．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
当时，方程无解，
当时，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
考点4科学记数法
16．（2025·辽宁·中考真题）十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选C．
17．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解．
【详解】解：3000亿．
故选：D．
18．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】A
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，首先得到400皮秒秒，然后根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】∵1皮秒秒，
∴400皮秒秒．
∴秒．
故选：A．
19．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：C．
考点5算术平方根、平方根、立方根
20．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
21．（2025·江西·中考真题）化简：
【答案】2
【分析】本题主要考查了立方根，牢记常见数的立方根是解题的关键．直接写出8的立方根即可解答．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为2．
22．（2025·吉林长春·中考真题）8的立方根是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，
8的立方根是2．
故答案为：2．
考点6无理数
23．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，设点表示的数为，根据点在数轴上的位置，判断出的范围，夹逼法求出无理数的范围进行判断即可．
【详解】解：设点表示的数为，由图可知：，
∵，即：，故选项A不符合题意；
∵，即：，故选项B不符合题意；
∵，即：，故选项C符合题意；
∵，即：，故选项D不符合题意；
故选C．
24．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
【答案】B
【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可．
【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意；
B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意；
故选：B．
考点7实数的大小比较
25．（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴最小的数为；
故选：A
26．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查实数比较大小，掌握实数大小的比较方法是关键.
根据零大于负数，正数大于零，比较各数的大小，先排除负数与零，再比较正数的大小.
【详解】解：1. 确定数的正负性：
D选项为，是负数；C选项为，非正非负；A选项和B选项均为正数，
负数一定小于非负数，则D和C均小于A和B，
2. 比较正数的大小：
，显然，
故A选项大于B选项，
故选：A.
27．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】D
【分析】比较各选项与2的大小关系，选出比2小的数即可．
本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．
【详解】解： A、 ，不符合条件．
B、 ，不符合条件．
C、 ，不符合条件．
D、 ，符合条件．
故选：D．
考点8实数的估算
28．（2025·天津·中考真题）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的值在3和4之间；
故选C．
29．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键；
根据，可得，即可得到答案
【详解】解：∵，
∴，
∴估计的值在1和2之间，
故选：A
30．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的估算，先整理得，结合，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴整数可以是，
故答案为：3（答案不唯一）
31．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的取值范围，得出，又因为n为正整数，且满足，即可得出．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
32．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴实数的整数部分为，
故答案为：
考点9实数的运算
33．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可．
【详解】解：原式
34．（2025·上海·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
.
35．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：．
【答案】10
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先去绝对值，进行乘方和开方运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
36．（2025·江苏连云港·中考真题）计算．
【答案】6
【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
【详解】解：原式．
37．（2025·福建·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的化简、零指数幂、化简绝对值等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．原式利用二次根式性质，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【详解】解：
．
38．（2025·广东深圳·中考真题）计算：．
【答案】7
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可.
【详解】原式
.
39．（2025·四川泸州·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，先计算45度角的正切值，再计算零指数和算术平方根，接着计算乘方，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
40．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
（2）计算：
【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2）
【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）第一步计算分配律时符号出错；
（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算乘除．
【详解】解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）
考点10实数的新定义与材料阅读题
41．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，根据新定义运算分类讨论是解题的关键．根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：①∵，
∴，故①正确，
②∵，
当时，，
当时，，即，故②不正确；
③不成立，例如，则，故③不正确；
④当即时，
则：，
解得：，
∴；
当，即时，
则：，
解得：，
∴，
综上所述，，故④正确，
故正确的有①和④，共2个，
故选：B．
42．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能根据找不等式的解集和已知得出关于P的不等式组是解此题的关键．先根据新定义化简关于的不等式，根据不等式组有3个整数解，得出，进而解不等式组，即可求解．
【详解】解：∵
∴关于a的不等式组即
解不等式①得：
解不等式②得：
∵不等式组有3个整数解，
∴整数解为，
∴
解得：
故答案为：．
43．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
【答案】 2 11
【分析】本题主要考查了新定义，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证符合题意的n，据此可得答案．
【详解】解；（1）∵，
∴15进行一次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行二次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则，符合题意；
当n除以3的余数为1时，则，不符合题意；
当n除以3的余数为2时，则，符合题意；
∴符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为，
故答案为；11．
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专题01实数及其运算（10大考点，精选41题）
考点概览 考点1正数和负数 考点2数轴 考点3相反数、绝对值和倒数 考点4科学记数法 考点5算术平方根、平方根、立方根 考点6无理数 考点7实数的大小比较 考点8实数的估算 考点9实数的运算 考点10实数的新定义与材料阅读题
考点1正数和负数
1．（2025·吉林长春·中考真题）中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位下降记作，那么水位上升记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南长沙·中考真题）在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量．如果把向东走80米记作米，那么向西走60米记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．（2025·辽宁·中考真题）在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量记作，那么低于标准质量记作 ．
4．（2025·福建·中考真题）为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作 ．
考点2数轴
5．（2025·山东·中考真题）如图，数轴上表示的点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
6．（2025·吉林·中考真题）如图，点A表示的数是1．若将点A向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数为（ ）
A． B． C．2 D．4
7．（2025·北京·中考真题）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·湖北·中考真题）数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·四川遂宁·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则 0．（填“>”“=”或“<”）
考点3相反数、绝对值和倒数
10．（2025·浙江·中考真题）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·四川眉山·中考真题）2025的相反数是（ ）
A．2025 B． C． D．
12．（2025·山东东营·中考真题）2025的相反数是（ ）．
A．2025 B． C． D．
13．（2025·江苏连云港·中考真题）的绝对值是（ ）
A．5 B． C． D．
14．（2025·山东烟台·中考真题）的倒数是（ ）
A．3 B． C．-3 D．
15．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为 ．
考点4科学记数法
16．（2025·辽宁·中考真题）十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待4超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·广东·中考真题）依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
18．（2025·山东威海·中考真题）据央视网2025年4月19日消息，复旦大学集成芯片与系统全国重点实验室、片与系统前沿技术研究院科研团队成功研制出半导体电荷存储器“破哓”．“破晓”存储器擦写速度提升至400皮秒实现一次擦或者写．一皮秒仅相当于一万亿分之一秒．400皮秒用科学记数法表示为（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
19．（2025·河南·中考真题）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
考点5算术平方根、平方根、立方根
20．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
21．（2025·江西·中考真题）化简：
22．（2025·吉林长春·中考真题）8的立方根是 ．
考点6无理数
23．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
24．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．0 B． C．3.14 D．
考点7实数的大小比较
25．（2025·福建·中考真题）下列实数中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．2
26．（2025·湖南·中考真题）下列四个数中，最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
27．（2025·江苏苏州·中考真题）下列实数中，比2小的数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
考点8实数的估算
28．（2025·天津·中考真题）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
29．（2025·四川广安·中考真题）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
30．（2025·陕西·中考真题）满足的整数可以是 （写出一个符合题意的数即可）．
31．（2025·重庆·中考真题）若为正整数，且满足，则 ．
32．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
考点9实数的运算
33．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：．
34．（2025·上海·中考真题）计算：．
35．（2025·江苏苏州·中考真题）计算：．
36．（2025·江苏连云港·中考真题）计算．
37．（2025·福建·中考真题）计算：
38．（2025·广东深圳·中考真题）计算：．
39．（2025·四川泸州·中考真题）计算：．
40．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程．
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
计算：
考点10实数的新定义与材料阅读题
41．（2025·四川泸州·中考真题）对于任意实数，定义新运算：，给出下列结论：①；②若，则；③；④若，则的取值范围为．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
42．（2025·四川内江·中考真题）对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是 ．
43．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
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