/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
专题02整式及因式分解（11大考点，精选53题）
考点概览 考点1列代数式 考点2代数式的求值 考点3整式的运算 考点4幂的运算 考点5因式分解 考点6整式的混合运算 考点7整式的化简求值 考点8代数式的变化规律 考点9图形的变化规律 考点10新定义探究问题 考点11勾股数（树）的变化规律
考点1列代数式
1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元．
4．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
5．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
考点2代数式的求值
6．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ．
7．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ．
8．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ．
9．（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为 ．
10．（2025·山东威海·中考真题）若，则 ．
11．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
考点3整式的运算
12．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·吉林长春·中考真题）下列计算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点4幂的运算
16．（2025·云南·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·湖北·中考真题）下列运算的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
20．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
21．（2025·江苏苏州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2025·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点5因式分解
24．（2025·广西·中考真题）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
25．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ．
26．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
27．（2025·北京·中考真题）分解因式： ．
28．（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ．
29．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
30．（2025·江西·中考真题）因式分解：
31．（2025·山西·中考真题）因式分解： ．
32．（2025·湖南·中考真题）因式分解： ．
考点6整式的混合运算
33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算：
（2）分解因式：
34．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
35．（2025·河南·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
36．（2025·新疆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
37．（2025·广西·中考真题）（）计算：
（）化简：
考点7整式的化简求值
38．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
39．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中．
考点8代数式的变化规律
40．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ．
41．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ．
42．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（ ）
A． B． C． D．
考点9图形的变化规律
43．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）．
44．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
45．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
46．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为
考点10新定义探究问题
47．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
48．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ．
49．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
考点11勾股数（树）的变化规律
50．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
51．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ．
52．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形．
53．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ．
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专题02整式及因式分解（11大考点，精选53题）
考点概览 考点1列代数式 考点2代数式的求值 考点3整式的运算 考点4幂的运算 考点5因式分解 考点6整式的混合运算 考点7整式的化简求值 考点8代数式的变化规律 考点9图形的变化规律 考点10新定义探究问题 考点11勾股数（树）的变化规律
考点1列代数式
1．（2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键； “a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方，即．
【详解】解：A. ：这是平方差公式的结果，表示的平方减去的平方，而非差的平方，错误，不符合题意；
B. ：表示先求差再平方，正确，符合题意；
C. ：仅对平方后减去，未对差整体平方，错误，不符合题意；
D. ：表示减去的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意；
故选：B．
2．（2025·湖南长沙·中考真题）智慧农业广泛应用智能机器人．某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果．若该机器人搭载m个机械手（），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，m个机械手同时工作时，总采摘数为每个机械手的效率之和．
【详解】解：当机器人搭载m个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数，
故选：D．
3．（2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是 元．
【答案】
【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的倍出售，据此求解即可．
【详解】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是元，
故答案为；．
4．（2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入．某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元．该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了 元（用含a的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a个布老虎增加的利润．
【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为（元），
则售出a个布老虎增加的利润为．
故答案为：．
5．（2025·内蒙古·中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键．
根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式．
【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：，
故答案为：．
考点2代数式的求值
6．（2025·吉林长春·中考真题）已知，则代数式的值为 ．
【答案】3
【分析】题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键．
将化为，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故答案为：3．
7．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：．
8．（2025·江苏扬州·中考真题）若，则代数式的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．先将变形为，再将变形为，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
9．（2025·江苏苏州·中考真题）若，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，根据，得到，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
10．（2025·山东威海·中考真题）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键．
先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则 ．
【答案】99
【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案．
【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ，
设重叠部分的长度为k，则，，
重叠后的总长度为：，即，
代入，得：，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：99．
考点3整式的运算
12．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．
根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可．
【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；
B． ，故该选项错误，不符合题意；
C． ，故该选项错误，不符合题意；
D． ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
13．（2025·吉林长春·中考真题）下列计算一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幂乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：A．
14．（2025·湖南长沙·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键．
【详解】解：A： 与不是同类项，无法合并，故A错误；
B：中，与的字母部分不同，无法合并，故B错误；
C：根据积的乘方法则， = ，等式成立，故C正确；
D：、、均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误；
故选：C
15．（2025·四川南充·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行解答即可．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
考点4幂的运算
16．（2025·云南·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题的关键．
运用合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方逐一验证各选项的正确性，即得．
【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变．，而非 ，故A错误．
B、同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，故B正确．
C、同底数幂相除，底数不变，指数相减．，而非 ，故C错误．
D、积的乘方等于各因式乘方的积．，故D错误．
故选：B．
17．（2025·上海·中考真题）下列代数式中，计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方等基本法则；逐一验证各选项的正确性即可．
【详解】解：A：，合并同类项时，系数相加，字母部分不变，的系数为1，故，结果为，计算正确；
B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为，而非，计算错误；
C：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；，结果应为，而非，计算错误；
D：幂的乘方运算中，底数不变，指数相乘；，结果应为，而非，计算错误；
故选：A．
18．（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算各选项的结果，即可得到答案．
【详解】A. ，故选项正确，符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项错误，不符合题意；
故选：A
19．（2025·湖北·中考真题）下列运算的结果为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法运算，幂的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为.
【详解】解：A. ，结果为，非，
B. ，结果为，非，
C. ，结果为，符合题意，
D. ，结果为，非；
故选：C
20．（2025·吉林·中考真题）计算的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了积的乘方运算及幂的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及幂的乘方运算是解题的关键．根据积的乘方法则及幂的乘方运算，逐步计算即可．
【详解】解：．
故选：D．
21．（2025·江苏苏州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂的运算性质，计算判断即可．
本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选项是否符合相关运算法则．
【详解】A. ，但选项A结果为，错误．
B. ，但选项B结果为，错误．
C. ，符合积的乘方法则，正确．
D. ，但选项D结果为，错误．
故选：C．
22．（2025·山西·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可．
【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误．
B．，正确．
C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误．
D．，选项中结果为，计算错误．
故选：B．
23．（2025·四川内江·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，逐一分析各选项的运算是否正确，利用幂的运算、完全平方公式、合并同类项及平方差公式进行判断．
【详解】解：A．，错误．
B．，错误．
C．与不是同类项，无法合并，结果应为，错误．
D．根据平方差公式，，正确．
故选：D．
考点5因式分解
24．（2025·广西·中考真题）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
故选：A
25．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可；
【详解】解：，
故答案为：
26．（2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
27．（2025·北京·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
原式提取7，再利用平方差公式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
28．（2025·江苏苏州·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用分解因式即可.
【详解】解：，
故答案为：
29．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可．
【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下：
，
∴符合题意，
故答案为：（答案不唯一）．
30．（2025·江西·中考真题）因式分解：
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键．
直接运用提取公因式法解答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
31．（2025·山西·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
32．（2025·湖南·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式a进行分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
考点6整式的混合运算
33．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）（1）计算：
（2）分解因式：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法、负整数指数幂、绝对值，再计算加减法即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：（1）原式；
（2）原式．
【点睛】本题主要考查了分解因式，二次根式的混合计算，负整数指数幂，绝对值的性质，求特殊角三角函数值，熟练掌握因式分解的方法，负整数指数幂、二次根式、绝对值以及特殊角的三角函数值等考点的运算是解本题的关键．
34．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
35．（2025·河南·中考真题）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）0；（2）1
【分析】（1）首先计算立方根，零指数幂和二次根式的乘法，然后计算加减；
（2）首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】此题考查了立方根，零指数幂和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则．
36．（2025·新疆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案；
（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
37．（2025·广西·中考真题）（）计算：
（）化简：
【答案】（）；（）
【分析】（）先算乘法，再进行加法运算即可；
（）先算乘法，再合并同类项即可；
本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式
；
（）原式
．
考点7整式的化简求值
38．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中．
【答案】，13
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键．
先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
39．（2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
考点8代数式的变化规律
40．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ．
【答案】
【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案．
【详解】解：第1个式子：，
第2个式子：，
第3个式子：，
第4个式子：，
……
观察发现，第个式子为，
故答案为：
41．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ．
【答案】58
【分析】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．
设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可．
【详解】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；
∵已知这五个和只有四个不同的值，
∴不妨设，
那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）．
∵这四个值分别是45、46、47、48，
∴，即，
∵
∴，
∴，即；
当时，即；
∴，解得：，不是整数，不符合题意；
当时，即；
∴，解得：，符合题意；
当时，即；
∴，解得：，不是整数，不符合题意；
当时，即；
∴，解得：，不是整数，不符合题意；
综上，，即．
故答案为：58．
42．（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果．
【详解】解：初始点：（第0次运算）．
第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点．
第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点．
第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同，
即三次一循环，
，
∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即．
故选：A．
考点9图形的变化规律
43．（2025·黑龙江绥化·中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作；图（2）有3个三角形，记作；图（3）有6个三角形，记作；图（4）有11个三角形，记作；按此方法继续下去，则 （结果用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律．仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利用规律解题即可．
【详解】解：第一个图形中有个三角形；
第二个图形中有个三角形；
第三个图形中有个三角形；
第四个图形中有个三角形；
；
第n个图形中有个三角形．
故答案为：
44．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ．
【答案】21
【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可．
【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：；
第2个图案中矩形的个数：；
第3个图案中矩形的个数：；
…
第n个图案中矩形的个数：，
∴则第10个图案中矩形的个数为：，
故答案为：21．
45．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ）
A．32 B．28 C．24 D．20
【答案】C
【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律．
【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点，
第②个图案中有8个黑色圆点，
第③个图案中有12个黑色圆点，
第④个图案中有16个黑色圆点，
则第个图案中有个黑色圆点，
所以第⑥个图中圆点的个数是个，
故选：C．
46．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：
．
【应用体验】
已知，则m的值为
【答案】
【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
考点10新定义探究问题
47．（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ．
【答案】
【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键．先根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得、5、7…对应等式，由此得到等式左右两边代数式的变化规律，进而可得答案．
【详解】解：；
由题意，
当时，，
当时，，
当时，，
……，
当时，，
又，
∴对于任意奇数k（），，
故答案为：；．
48．（2025·重庆·中考真题）我们规定：一个四位数，若满足，则称这个四位数为“十全数”．例如：四位数1928，因为，所以1928是“十全数”．按照这个规定，最小的“十全数”是 ：一个“十全数”，将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位置，得到一个新的数，记，．若与均是整数，则满足条件的M的值是 ．
【答案】
【分析】此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到，，然后求出，，即可得到最小的“十全数”是；根据题意表示出，，然后表示出，，然后表示出，，然后根据题意得到与均是整数，得到能被13整除，能被17整除，然后由，求出，进而求解即可．
【详解】解：设四位数
∵要求最小的“十全数”，
∴，
∴，
∴最小的“十全数”是；
∵一个“十全数”，
∴
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵与均是整数
∴与均是整数
∴能被13整除，能被17整除
∵，
∴，
∴
∴的值可以为13，26，39，52，65
∴依次代入可得，当，时，，均是整数，符合题意
∴，
∴满足条件的M的值是．
故答案为：，．
49．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴
，
∵不含项，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵均为的整数幂，为偶数，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：15．
考点11勾股数（树）的变化规律
50．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
∴第⑤组勾股数为；
故答案为：．
51．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答．
【详解】解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
∵正方形的边长为2，
，
∴面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形的边长为，
则，
……，
，
则的值为：，
故答案为：．
52．（2025·甘肃·中考真题）勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以这个正方形的边长为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第5个图形中共有 个正方形．
【答案】31
【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，第一个图形有1个正方形，第2个图形有个正方形，第3个图形有个正方形，依次类推求出第5个图形中小正方形的个数即可．
【详解】解：由图可知：第一个图形有1个正方形，
第2个图形有个正方形，
第3个图形有个正方形，
∴第5个图形中共有个正方形，
故答案为：31．
53．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“”是解题的关键．根据题意求出面积标记为的正方形的边长，得到，同理求出，得到规律，根据规律解答．
【详解】解：如图，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
∵正方形的边长为2，
，
∴面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形边长为，
则，
面积标记为的正方形的边长为，
则，
……，
，
则的值为：，
故答案为：．
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