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专题07一元二次方程（9大考点，精选39题）
考点概览 考点1解一元二次方程 考点2不解方程判断根的情况 考点3已知根的情况求参数 考点4根与系数的关系 考点5一元二次方程与代数式求值问题 考点6判别式和根与系数的综合 考点7一元二次方程的应用：增长率问题 考点8一元二次方程的应用：面积问题 考点9一元二次方程的应用：销售问题
考点1解一元二次方程
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
【答案】，
【分析】本题主要考查解一元二次方程，将方程移项后运用因式分解法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
或，
∴，
考点2不解方程判断根的情况
2．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键．
【详解】解：选项A：
，，，
，无实数根，不符合题意；
选项B：
，，，
，有两个相等的实数根，不符合题意；
选项C：
，，，
，无实数根，不符合题意；
选项D：
，，，
，有两个不相等的实数根，符合题意；
故选：D．
3．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况．
【详解】解：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
4．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可．
【详解】解：对于方程，其判别式为：
由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根．
故选：B
6．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论
【详解】解：∵一元二次方程，
∴，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
考点3已知根的情况求参数
7．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
8．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故选C．
9．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
10．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可．
【详解】解：对于方程，
其根的判别式为：，
∵方程有两个实数根，
∴，
即，
解得，
故选：B．
11．（2025·四川德阳·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴．
故选：C．
12．（2025·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟知方程有实数根对应方程的判别式非负是解题的关键；
根据一元二次方程有实数根的条件，判别式非负，代入方程系数计算判别式，解不等式即可确定m的取值范围．
【详解】解：对于方程，其判别式为：，
方程有实数根需满足，即：，
解得；
故选：D．
13．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，树状图法或列表法求解概率，根据判别式和一元二次方程的定义可得，则且，再列出表格得到所有等可能性的结果数，接着找到且的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴且，
列表如下：
1 2
1
2
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中满足且的结果数有，，，共3种，
∴关于x的一元二次方程有实数根的概率为，
故答案为：．
14．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：．
15．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
16．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题关键．
分两种情况讨论：当时，方程为一元一次方程； 当时，方程是一元二次方程，分别求出的取值范围即可．
【详解】解：当且时，即时，原方程化为，这是一元一次方程，有实数根；
当时，原方程无实数根，
当且时，即时，原方程化为，此等式不成立，方程无解，但这种情况不属于一元二次方程的无实根情况；
当，即时，原方程是一元二次方程，
因为方程无实根，所以，即，
解得：；
综上，的取值范围是，
故答案为：．
考点4根与系数的关系
17．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴．
故选：C
18．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案.
【详解】解：对于方程 ，设其根为和，
根据根与系数的关系：
∴，；
故选：D
19．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ，，．
∴，．
∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
20．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
考点5一元二次方程与代数式求值问题
21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可．
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个根，
，
，
故答案为：．
22．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：方程的两根分别为和，
，，
，
．
故答案为：．
23．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴
；
故答案为：．
24．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．
先根据题意得到，，则将变形为，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：10．
考点6判别式和根与系数的综合
25．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根．
(1)当时，求及m的值．
(2)求证：．
【答案】(1)，；
(2)详见解析．
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键．
（）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可；
（）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．
【详解】（1）解：把代入方程得，
∴ ，
∴，即，
解方程得，，，
故，；
（2）证明：方程可化为，
∵，
∴原方程有两个不相同实数根，
由根与系数的关系得，，
∵，
∵，
∴．
26．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解．
【答案】或
【分析】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，分式有意义、解一元二次方程等知识点，在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程．
由于关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a，又由于关于x的方程有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k为正整数，利用判别式可以求出k，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】解：设方程的两个根为，
则，
由条件知，即且，
故．
则方程为．
当，即时，关于x的方程为有实数根，
不等式即为，
则，
或．
当时，，
．
又是正整数，且，
，但使不等式的分母无意义．
综上，不等式的解为：或．
考点7一元二次方程的应用：增长率问题
27．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．
【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，
根据题意，得．
故选：A．
28．（2025·云南·中考真题）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键．
根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程．
【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为，
由题意得： ，
故选：A．
29．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,利用该景区2024年接待游客人次数该景区2022年接待游客人次数该景区这两年接待游客的年平均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设年平均增长率为x，
可得方程，
解得或（舍去负值），
所以该景区这两年接待游客的年平均增长率为，
故选：B
30．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可．
【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即．
根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：．
故选B．
31．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均增长率为x，则二月份生产钢铁吨，则三月份生产钢铁吨，再根据第一季度共生产钢铁1860吨列出方程即可得到答案．
【详解】解：设月平均增长率为x，
由题意得，，
故选：C．
32．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为
(2)最少购进甲种商品40件
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可；
（2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，
由题意得，，
解得或（舍去），
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为；
（2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
∴，
解得，
∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件，
答：最少购进甲种商品40件．
考点8一元二次方程的应用：面积问题
33．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为步，利用矩形面积公式即可列出方程.
【详解】解：设宽为x步，则长为步
由题意，得：，
故选：A.
34．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.
【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为，
∴
故选：A.
35．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可．
【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得：
；
故选：C．
36．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；
如图，设，则，根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】解：如图，设，则，
则在直角三角形中，由勾股定理可得：，
即，
解得：或（舍去），
∴正方体的棱长为cm，
故答案为：．
37．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ．
【答案】
【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可．
【详解】解：根据题意得，四边形的面积
四边形面积
∵四边形的面积等于四边形面积的2倍
∴
整理得，
∴
设，
∴
解得或（舍去）
∴
故答案为：．
【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
38．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设小路的宽度为，根据题意可知种植园的面积等于一个长为，宽为的矩形面积，据此建立方程求解即可．
【详解】解：设小路的宽度为，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：小路的宽度为．
考点9一元二次方程的应用：销售问题
39．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)3元
(3)售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程与函数关系式是解题的关键；
（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案；
（2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出方程，解方程即可得解；
（3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润×销售数量=销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；
故答案为：；
（2）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
根据题意可得：，
整理可得：，
解得：，
由于要让利于游客，舍去，
∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元.
（3）解：设该款巴小虎吉祥物降价x元，
则
，
∵，
∴当时，取最大值为640元，此时销售价为38元，
答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元．
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专题07一元二次方程（9大考点，精选39题）
考点概览 考点1解一元二次方程 考点2不解方程判断根的情况 考点3已知根的情况求参数 考点4根与系数的关系 考点5一元二次方程与代数式求值问题 考点6判别式和根与系数的综合 考点7一元二次方程的应用：增长率问题 考点8一元二次方程的应用：面积问题 考点9一元二次方程的应用：销售问题
考点1解一元二次方程
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）解方程：
考点2不解方程判断根的情况
2．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·江苏扬州·中考真题）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断根的情况
4．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
5．（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
6．（2025·广东·中考真题）不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ．
考点3已知根的情况求参数
7．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．（2025·北京·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．4
9．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·四川德阳·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．2 B．0 C． D．
12．（2025·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2025·四川成都·中考真题）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为 ．
14．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ．
15．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ．
16．（2025·山东东营·中考真题）若关于的方程无实根，则的取值范围是 ．
考点4根与系数的关系
17．（2025·广西·中考真题）已知是方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．20 D．25
18．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
20．（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ．
考点5一元二次方程与代数式求值问题
21．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则 ．
22．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
23．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
24．（2025·四川泸州·中考真题）若一元二次方程的两根为，则的值为 ．
考点6判别式和根与系数的综合
25．（2025·四川南充·中考真题）设，是关于的方程的两根．
(1)当时，求及m的值．
(2)求证：．
26．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知关于x的方程的两个实数根的倒数和等于3，且关于x的方程有实数根．当k为正整数时，求不等式的解．
考点7一元二次方程的应用：增长率问题
27．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
28．（2025·云南·中考真题）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
29．（2025·重庆·中考真题）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
30．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
31．（2025·四川凉山·中考真题）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
32．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率；
(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
考点8一元二次方程的应用：面积问题
33．（2025·辽宁·中考真题）中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．2
34．（2025·新疆·中考真题）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
35．（2025·福建·中考真题）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ）
A． B． C． D．
36．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为，则折成立方体的棱长为 ．
37．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则 ．
38．（2025·山东威海·中考真题）如图，某校有一块长、宽的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）．小路把种植园分成面积均为的9个矩形地块，请你求出小路的宽度．
考点9一元二次方程的应用：销售问题
39．（2025·四川达州·中考真题）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件．
(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是_______件；
(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；
(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？
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