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专题27锐角三角函数（10大考点，精选62题）
考点概览 考点1特殊角的三角函数 考点2正弦的有关计算 考点3余弦、正切的有关计算 考点4锐角三角函数与几何性质计算 考点5锐角三角函数与解三角形 考点6三角函数与圆的计算与证明 考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 考点8锐角三角函数的应用：方向角问题 考点9锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 考点10锐角三角函数综合问题
考点1特殊角的三角函数
1．（2025·天津·中考真题）的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．
【详解】解：
故选：A．
2．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．
分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：0．
3．（2025·北京·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
4．（2025·青海·中考真题）计算：
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算．
【详解】解：
．
5．（2025·四川南充·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用二次根式性质，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值法计算即可求出值．
【详解】解：原式
．
6．（2025·云南·中考真题）计算：．
【答案】8
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
7．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得；
（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
8．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数．
【答案】（1）
（2），
【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可；
（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）
，
是使不等式成立的正整数，
且为正整数，
，2，3，
又，，
，3，，
，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
考点2正弦的有关计算
9．（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．
直接由正弦的定义即可求解．
【详解】解：∵，，
∴在中，，
故选：D．
10．（2025·广西·中考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．
【详解】解：∵在中，，
∴．
故选：B
11．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．
根据正弦的定义求解即可．
【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米，
∴根据题意得：，
故选：D
考点3余弦、正切的有关计算
12．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题．
【详解】解：如图，作交于，交圆弧于，
由题意：，
设，由，
∴，
∵，为半径，
∴，
在中，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
13．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵矩形，，是边上的三等分点，，，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
过点作，则，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故选：B．
14．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得．
【详解】解：如图，连接，交于点，
由题意得：，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
15．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长，交直线于点，设，则，先根据水的体积不变建立方程，解方程可得的值，再根据平行线的性质可得，然后根据正切的定义计算即可得．
【详解】解：如图，延长，交直线于点，
由题意得：，
设，则，
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为的斜坡上时，水的体积等于长为、宽为、高为的长方体的体积与长为、宽为、高为的长方体的体积的一半之和，
∴，
解得，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
17．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作轴，作交的延长线于点，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可．
【详解】解：过点作轴，作交的延长线于点，则：
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平移，
∴，
∴，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴；
故选B．
考点4三角函数与几何性质计算
18．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：∵，，
∴，
设，则：，
∵平分，，
∴点到的距离相等均为的长，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即：，
∴，
∴；
故选：A．
19．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，过作于，
∵正方形，
∴，，，，，，
由对折可得：，，，，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴；
故选：B.
【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
20．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12 B． C．16 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，
∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，
∴，，
∴，
∴，，
同理，
∴，
∴矩形的面积是．
故选：B．
21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】B
【分析】在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得都是定值，点F在射线上运动，从而得到当时，最短，并画出图形，再通过设未知数列方程，逐步求得和的长，最后根据相似三角形的性质，即可求得答案．
【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得，连结，，过点F作于点H，
直线，，
，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
和都是定值，
点F在射线上运动，
当时，最短（如图2所示），
延长，相交于点N，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，，，
，，
，
，
，
解得，
当最短时，则的长度为4．
故选：B．
【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段最短时的几何图形是解题的关键．
22．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
过点D作于G，过点F作于H，由正方形的性质得到；由线段中点的定义得到，由勾股定理求出，解直角三角形可得；可证明，解得到，由三线合一定理得到，则；解得到，，则，在中，由勾股定理得，即可解题．
【详解】解：如图所示，过点D作于G，过点F作于H，
∵四边形是边长为2的正方形，
∴；
∵为的中点，
∴；
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
在中，，
∵，，
∴，
∴；
在中，，
，
∴，
在中，由勾股定理得．
故选：B．
23．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则 ．
【答案】4
【分析】根据菱形的性质，得，又结合，，得出是等边三角形，就可以得知和都是含的直角三角形，解出三角形，即可求出的长．
【详解】解：连接，，
，，
垂直平分，
，
菱形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键．
24．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】如图，连接，交于，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可.
【详解】解：如图，连接，交于，过作于，
∵，，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，而，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
25．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得是等边三角形；得出，根据即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是等边三角形；
∴；
∵，
∴，
故答案为：．
26．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ．
【答案】6或8或9
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．
过点D作交于点E，分类讨论，逐个分析，即可解答．
【详解】解：过点D作交于点E，
①当时，如图（1），
∵是等边三角形，，
∴，，即是等边三角形，
∴
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴．
②当时，如图（2）
同理可得，，
∴，即，
∴，
∴．
③当时，如图（3）
同理可证，
∴
∴．
∴．
④当时，如图（4）
同理可证，
∴ ，
∴，
∴．
综上所述，的长是6或8或9．
故答案为：6或8或9．
27．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
【答案】/
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得，根据题意得到，则A点的纵坐标为1，代入解析式求得A的坐标，进而求得，再利用扇形的面积公式即可求得两个象限中扇形的面积，进一步求得阴影部分图形的面积之和．
【详解】解：当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，
∴轴，轴，
∵半径为1，
∴，
∴A点的纵坐标为1，
把代入，求得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴第一象限中阴影的面积，
同理，第三象限中阴影的面积，
∴．
故答案为：．
28．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ．
【答案】5
【分析】如图，在中，得出，根据是等边三角形，得出，连接，证明，得出，则，作的平分线交于点，证明是等边三角形，得出，根据，得出直线和直线重合，确定点在上运动，根据的面积，得出最大时，的面积最大，当点与点重合时，的面积最大，此时，根据等边三角形的性质得，则，得出．
【详解】解：如图，在中，，，，
则，
∵是等边三角形，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
作的平分线交于点，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴直线和直线重合，
即点在上运动，
∵的面积，
则最大时，的面积最大，
根据题意可得当点与点重合时，最大，即的面积最大，
此时，如图，
则，
∴，
∴，
故答案为：5．
【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点的轨迹是解题的关键．
29．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ．
【答案】 4 /
【分析】作，垂足分别为，易得四边形为矩形，得到，证明为等腰直角三角形，得到，三线合一得到，，证明，得到，设，，求出的长，正切的定义求出，勾股定理求出的值，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：作，垂足分别为，则四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴设，，则：，，
∴，
∴，
∴在中，，由勾股定理，得：，
∴（负值舍去），
∴，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
解得：（舍去）或；
故答案为：4，．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键．
30．（2025·重庆·中考真题）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为 ，的长度为 ．
【答案】 3 /
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．
由垂径定理以及勾股定理可得，即、，由菱形的性质可得，进而得到、、；如图：连接， 由圆周角定理可得、，再解直角三角形可得、；由菱形的性质以及平行线的性质可得，如图：过H作于M，解直角三角形可得、，易得，最后根据垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，即，
∴，
∵菱形，
∴，
∴，；
∴
如图：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
解得：；
，即，
解得：；
∵菱形，
∴，
∴，
如图：过H作于M，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
故答案为：3；．
31．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ．
【答案】
【分析】分点在矩形内部和点在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点在矩形内部时，作，交于点，证明，进而得到，进而得到点在以为直径的圆上运动，得到当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，当点在矩形外部时，同法可得，点在以为直径的圆上，得到当点运动到点时，点的运动轨迹是圆心角为的，求出两段路径的和即可得出结果．
【详解】解：∵矩形，
∴，
∵翻折，
∴，
当点在矩形内部时，作，交于点，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在以为直径的圆上运动，
∴当点从点开始运动直至点落在上时，点的运动轨迹为半圆，
∴点的运动路径长为：；
当点在矩形的外部时，作，交的延长线于点，
同法可得：，，
∴，点在以为直径的上运动，连接，
当点运动到点时，如图：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹为圆心角为的，路径长为，
∴点的运动路径总长为：；
故答案为：
【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点的运动轨迹，是解题的关键．
32．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ．
【答案】或
【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当时，过点作于点，由等腰三角形的性质得到，证明，得到，即可求出的长；②当时，过点作交于点，由等角对等边得到，再证明，设，进而得出，，根据求出的值，即可求出的长；③当时，利用锐角三角函数，得出，，即此种情况不存在；④当时，同③理可证，此种情况不存在；即可得解．
【详解】解：，
，
，
，
，
若为“反直角三角形”，
①当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②当时，过点作交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
；
③当时，
，，且，
，
，
若，则，即，
此种情况不存在；
④当时，
当点与点重合时，最小，此时，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，的长为或，
故答案为：或．
33．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，）
【答案】
【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D，首先得到线段的长与其他的都不相等，然后求出，解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可．
【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作于点D
由图可得，线段的长与其他的都不相等，
∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，
∴
∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为
∴
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵，
∴．
∴这条线段的长为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
考点5锐角三角函数解三角形
34．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）根据等边对等角导角得到，再结合圆的切线性质得到，即可证明垂直；
（2）先得到是等边三角形，则，解求出，根据，求出，再由梯形面积公式求解．
【详解】（1）证明：由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
35．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）①；②，理由见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）先根据等腰三角形的性质可得，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得；最后根据解直角三角形可得的长，根据线段的和差即可得；
（2）①过点作，垂足为，先解直角三角形可得的长，再利用勾股定理可得的长，然后根据线段的和差即可得；
②根据等腰三角形的性质可得，则可得，由此即可得．
【详解】解：（1）∵中，，
∴，
∵中，，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
∴．
（2）①如图，过点作，垂足为，
中，，
．
中，．
∴，
．
②，理由如下：
∵在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
36．（2025·山东威海·中考真题）问题提出
已知，都是锐角，，，求的度数．
问题解决
（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
策略迁移
（2）已知，都是锐角，，，则___________；
（3）已知，，都是锐角，，，，求的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】本题考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会路数形结合的思想解决问题．
（1）连接，利用等腰直角三角形的性质求解；
（2）构造等腰直角三角形可得结论；
（3）构造直角三角形可得结论．
【详解】解：（1）如图1中，连接，
，，
，
∴是等腰直角三角形，
，，
；
（2）如图中，连接，
由题意，，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
，
故答案为：；
（3）如图中，
由题意知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，
．
37．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求和的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理可得，即，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是矩形；
（2）求出，解得到，则；由线段中点的定义可得；过点A作于H，解得到，则，再利用勾股定即可求出的长．
【详解】（1）证明：∵D，E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵，
∴；
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴；
∵点D为的中点，
∴；
如图所示，过点A作于H，
在中，，
∴，
在中，由勾股定理得．
考点6三角函数与圆的计算与证明
38．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．
【答案】(1)见解析；
(2)长为44．
【分析】（1）利用切线长定理得平分，利用圆周角定理得，等量代换即可证明；
（2）延长交于点F，连接，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得长．
【详解】（1）证明： ，分别切于A点，B点，
平分，
，
又 ，
，
．
（2）延长交于点F，连接，则，
，分别切于A点，B点，
C为的中点，
，
，
又 ，，
，
，
，，
，
，
又，
，
，，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．
39．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）由切线的性质求得，由圆周角定理求得，利用同角的余角相等求得，再利用圆周角定理即可证明结论成立；
（2）由（1）得，求得，求得，利用勾股定理求得，证明，求得，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
40．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）如图，连接，证明，，即，可得，进一步证明，可得；
（2）求解，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案.
【详解】（1）解：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
41．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求半圆O的半径及的长．
【答案】(1)见解析
(2)半圆O的半径为2，
【分析】（1）连接，切线得到，等边对等角得到，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到，即可得证；
（2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接，则：，
∴，
∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）设半圆O的半径为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：半圆O的半径为2；
∴，
连接，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴到的距离相等，都等于的长，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
42．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．
(1)如图①，求的大小；
(2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可；
（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可．
【详解】（1）解：连接．
与相切于点，
．又，
平分．
∴．
，
．
在中，，
．
（2）由（1）知：．
，
．
为的一个外角，
．
由题意，为的直径，
．
又的半径为3，则：．
在中，，
．
43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键：
（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，等边对等角，得到，结合，推出，即可得证；
（2）根据线段之间的数量关系求出，进而求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果．
【详解】（1）证明：连接，
是的直径，
，
，
，
，即，
．
为的半径，
是的切线．
（2）解：点B是的中点，
．
，
．
，
．
又，
．
．
在中．
．
即半径为．
44．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）连接，证明，则，而，则，由于是的切线，则，再由等式的性质即可证明；
（2）可得，设，则，，由切线长定理得到，则，求出，即可求解半径．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
设，
∴，，
∵是的切线，是的切线，
∴，
∵
∴，
解得：，
∴半径为．
45．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
，，
．
，
．
是的直径，
，即．
，
，即．
为的半径，
是的切线．
（2）解：如图2，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴．
在中，．
46．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，．求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等边对等角，推出，根据直径得到，进而得到，继而得到，即，即可得证；
（2）由平行四边形的性质得到，根据，得到，求出的长，证明是菱形，得到为等边三角形，进而得到，解，求出的长即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
，，
．
，
．
是的直径，
，即．
，
，即．
为的半径，
是的切线．
（2）解：如图2，
四边形是平行四边形，
．
又，
，
．
，
是菱形，
．
为等边三角形，
∴．
在中，．
考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题
47．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
【答案】无人机离湖面的高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点作于点，设，根据题意得出，，在中，根据，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
依题意
设，
在中，
∴，
∵
∴，
在中，
∴
解得：
答：无人机离湖面的高度为米
48．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角． 3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离．
任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到）
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
【答案】该城市规划展览馆的高度为；打印模型的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键．
任务二：先由矩形得到，，然后解即可；
任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可．
【详解】解：任务二：由题意得为矩形，
∴，，
∵在中，
∴，
∴，
答：该城市规划展览馆的高度为；
任务三：设打印模型的高度约为，
则由题意得：，
解得：，
答：打印模型的高度约为．
49．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
【答案】信号杆的高为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，再在中，运用，，代入数值进行计算，得出的值，然后证明四边形是矩形，故，根据，，得，，把数值代入进行计算，即可作答．
【详解】解：过点E作于点，过点D作于点，如图所示：
∵，均与水平线垂直．
∴
∴，
∵
∴
在中，，
则，
在中，，
则，
∵过点E作于点，过点D作于点，
∴，
∴四边形是矩形
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
信号杆的高为．
50．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作，垂足为点E，则四边形为矩形，可得，解求出的长，再解求出的长即可得到答案．
【详解】解：过点A作，垂足为点E．
∵线段和都与地面垂直，
∴四边形为矩形，
∴．
在中，，
∴．
在中，，
．
答：的长为．
51．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）．
参考数据：，．
【答案】世纪钟建筑的高度约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长与相交于点，在Rt和中，分别求得和，再根据，列式计算求解即可．
【详解】解：如图，延长与相交于点，
根据题意，可得，
有，，，，，
在Rt中，，
，
在中，，
．
，
．
．
．
答：世纪钟建筑的高度约为．
52．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，四边形为矩形，
∴，，
∴，，
设米，则米，米，
在中，，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，解得，
∴（米），
答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米．
53．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角．
实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键．
由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解．
【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形，
∴，，
∵在中，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
答：校徽的高度为．
54．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，）
【答案】大楼的高度约为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过作于，过作于，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，设，解直角三角形即可得到结论，正确地添加辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过作于，过作于，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：大楼的高度约为．
55．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为．
(1)求的度数；
(2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。
（1）过点C作于H，则，利用三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案；
（2）过点E作于T，则，求出，则可求出；解得到，解得到，，则解可得，则，解可得；再证明四边形是矩形， 得到 ，则.
【详解】（1）解：如图所示，过点C作于H，则，
由题意得，，
∴，，
∴；
（2）解：如图所示，过点E作于T，则，
∴，
∴；
在中，，
在中，，
，
在中，，
∴，
在中，；
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
∴；
答：建筑物的高度为
56．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
(1)制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
(2)获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则___________， ___________， ___________（结果保留小数点后两位）．
(3)计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
(4)反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
【答案】(1)见解析
(2)，，
(3)50米
(4)见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
（2）根据正切的定义计算即可得解；
（3）延长交于，延长交于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，由题意可得米，，，，设米，则米，解直角三角形得出，求出米，米，再解直角三角形得出米，即可得解；
（4）结合题意提出合理的建议即可．
【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵在中，，，，，
∴；
∵，，，，
∴，，
∵在中，，，，，
∴；
∵，，，
∴，
∵在中，，，，，
∴；
（3）解：如图，延长交于，延长交于，
，
则，
∴四边形为矩形，
∴，，
由题意可得：米，，，，
设米，则米，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴米，米，
∵，
∴米，
∴米，
即该塔高度为米；
（4）解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．
考点8锐角三角函数的应用：方向角问题
57．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知．
(1)求的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．
（1）由题意可得，．从而得出，根据即可求解．
（2）根据，得出．由（1）得．则，故．在中，解直角三角形求出，，从而求出．再根据，求出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，由题意可得，．
．
．
（2）解：，
．
由（1）得．
．
又，
．
在中，，，
，
．
．
，
．
．
∴景点C与景点D之间的距离为．
58．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，．
(1)求岛与港口之间的距离；
(2)求．
（参考数据：，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据作辅助线构造相似三角形是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，证明，得出，结合，，求出，再在中利用三角函数即可求解；
（2）在中，利用三角函数求出，利用，得出，则可求出，再在中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
得：，
在中，由，
得．
答：岛与港口之间的距离为；
（2）解：在中，，
∵，
∴，
∴，
在中，．
59．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向
14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）．
【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
(2)不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；
（1）过点作于点，设，根据题意得出，解，得出，建立方程，即可求解；
（2）求得的距离，计算的距离，根据路程除以速度得到航行时间，结合题意，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，
设，
依题意，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里；
（2）解：在中，，，
∴，
∴，
小时分钟，
从14：30，经过分钟是，在之前到达，
∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头．
考点9锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题
60．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．
【答案】(1)10米
(2)米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定及性质．
（1）过点B作于点E，则，根据斜坡的坡度，得到，从而在中，根据勾股定理构造方程，求解即可；
（2）延长交于点F，得到四边形是矩形，因此米，，设米，则（米），通过解直角三角形在中，求得（米），在中，求得∴（米），进而根据列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：过点B作于点E，则
∵斜坡的坡度，
∴，
∵在中，，
即，
∴米，
∴平台的高度是10米．
（2）解：延长交于点F，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴米，，
设米，则（米），
∵在中，，
∴（米），
∵在中，，
∴（米），
∴米，
由（1）有（米），
∵，
∴，
解得，
∴（米），
即建筑物的高度（即的长）为米．
考点10锐角三角函数综合问题
61．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点．
(1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：；
(2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；
(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据正方形的性质，利用得到，即可证明结论；
（2）过点A作于点G，过点F作于点，根据勾股定理求出长，然后根据平行四边形的面积公式求出长，根据正切得到长，然后设，则，求出长，再根据正切得到求出a的值，解答即可；
（3）过点D作于点P，作于点Q，设，求出，，然后表示，，在射线上截取，在射线上截取，根据全等得到，，，然后根据勾股定理求出x值，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是正方形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点G，过点F作于点，
（3）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
设，则，
∴，
同理可得，即，
解得，
∴，
又∵O是的中点，
∴，
∴，
∴；
过点D作于点P，作于点Q，设，
∵是菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
在射线上截取，在射线上截取，
∵是菱形，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，，
同理：，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
解得：，
又∵O是的中点，
∴，
∴．
【点睛】本题考查四边形的综合，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
62．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
【答案】问题解决：①互相平行；②=；【方法应用】①见解析；②或或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
问题解决：①根据等腰三角形的性质得出，从而可得；
②证明得出，即，由可得结论；
方法应用：①根据双等四边形的定义进行证明；②分，或，或，三种情况讨论求解即可．
【详解】解：[问题解决]①∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
，
，
，
；
故答案为：①平行；②＝；
方法应用：①为旋转得到，
，
令，则，，
，
由旋转得，，
又，
∴，
，
，
，
四边形为双等四边形；
②作于点，
，，
，，
设，则： ，
在中，，即，
解得：，
，，
若，时，，
若，时，
，
作于点，
∴，
，
，
若，时，如图，
，
，
，
，
．
综上所述：满足条件时，或或．
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专题27锐角三角函数（10大考点，精选62题）
考点概览 考点1特殊角的三角函数 考点2正弦的有关计算 考点3余弦、正切的有关计算 考点4锐角三角函数与几何性质计算 考点5锐角三角函数与解三角形 考点6三角函数与圆的计算与证明 考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题 考点8锐角三角函数的应用：方向角问题 考点9锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题 考点10锐角三角函数综合问题
考点1特殊角的三角函数
1．（2025·天津·中考真题）的值等于（ ）
A．0 B．1 C． D．
2．（2025·广东·中考真题）计算的结果是 ．
3．（2025·北京·中考真题）计算：．
4．（2025·青海·中考真题）计算：
5．（2025·四川南充·中考真题）计算：．
6．（2025·云南·中考真题）计算：．
7．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
8．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中a是使不等式成立的正整数．
考点2正弦的有关计算
9．（2025·云南·中考真题）如图，在中，．若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·广西·中考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
考点3余弦、正切的有关计算
12．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ．
13．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则 ．（结果保留根号）
15．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ．
16．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度．将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 ．
17．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点4三角函数与几何性质计算
18．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（ ）
A． B．2 C． D．
20．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ）
A．12 B． C．16 D．
21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在中，，，，过点A作直线，点是直线上一动点，连结，过点作，连结使．当最短时，则的长度为（ ）
A． B．4 C． D．
22．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为上的点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
23．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在菱形中，，垂足为E，交于点F，．若，则 ．
24．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ．
25．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，为的弦，于点C，连接，若，，则的长为 ．
26．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形中，点在上，．点是直线上的一个动点，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接，当为直角三角形时，则的长是 ．
27．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的和．当，分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接，，则阴影部分图形的面积和为 ．（结果保留）
28．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，，，．动点，分别在边，上，且，以为边作等边，使点始终在的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ．
29．（2025·四川成都·中考真题）如图，在中，，点D在边上，，，，则的值为 ；点E在的延长线上，连接，若，则的长为 ．
30．（2025·重庆·中考真题）如图，是的直径，点C在上，连接．以为边作菱形，交于点F，，垂足为G．连接，交于点H，连接．若，，则的长度为 ，的长度为 ．
31．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将沿直线翻折得到，过点作，垂足为，点是线段上一点，且．当点从点运动到点时，点运动的路径长是 ．
32．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为 ．
33．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：，）
考点5锐角三角函数解三角形
34．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接
(1)求证：．
(2)若，求四边形的面积．
35．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践
小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中，，中，．
【观察感知】
（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号）
【探索发现】
（2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）．
①求线段的长；（结果保留根号）
②判断与的位置关系，并说明理由．
36．（2025·山东威海·中考真题）问题提出
已知，都是锐角，，，求的度数．
问题解决
（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出和，请你按照这个思路求的度数．（点A，B，C，D都在格点上）
策略迁移
（2）已知，都是锐角，，，则___________；
（3）已知，，都是锐角，，，，求的值．
（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）
37．（2025·北京·中考真题）如图，在中，D，E分别为的中点，，垂足为F，点G在的延长线上，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求和的长．
考点6三角函数与圆的计算与证明
37．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作的两条切线，切点分别为A，B，连接，，，取的中点C，连接并延长，交于点D，连接．
(1)求证：；
(2)延长交的延长线于点E．若，，求的长．
38．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，过点B的切线交的延长线于点D，连接并延长，交于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
40．（2025·陕西·中考真题）如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
41．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以为直径的半圆O上，连接，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求半圆O的半径及的长．
42．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点．
(1)如图①，求的大小；
(2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长．
43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，内接于，为的直径，点D在的延长线上，连接，，过点B作，交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若点B是的中点，且，求的半径．
44．（2025·山东威海·中考真题）如图，是的切线，点A为切点．点B为上一点，射线交于点C，连接，点D在上，过点D作，，交于点F，作，垂足为点E．．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
45．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F，点D是延长线上的一点，．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，，求的长．
46．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形的顶点A，B，C在上，，直径与弦相交于点F、点D是延长线上的一点且．
(1)求证：是的切线；
(2)若四边形是平行四边形，．求的长．
考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题
47．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的处，工作人员所乘小船在处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行米到达处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）
48．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的打印模型，需要测量并计算展览馆高度，为制作打印模型提供数据．
项目报告表 时间：2025年5月29日
项目分析 活动目标 测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其打印模型的高度
测量工具 测角仪、皮尺
项目实施 任务一测量数据 以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图． 1．测出测角仪的高． 2．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角． 3．测出测角仪底端D处到展览馆底端B处之间的距离．
任务二计算实际高度 根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆的高度．（结果精确到1m）（参考数据：，，）
任务三换算模型高度 将该城市规划展览馆的高度按等比例缩小，得到其打印模型的高度约为________．（结果精确到）
项目结果 为社团制作城市规划展览馆的打印模型提供数据
请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．
49．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面上的点处安装测角仪，测得信号杆顶端的仰角为，与坡面的夹角为，又测得点与信号杆底端之间的距离为．已知，点，，在同一条直线上，，均与水平线垂直．求信号杆的高．（参考数据：，，）
50．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，．
51．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）．
参考数据：，．
52．（2025·山西·中考真题）项目学习
项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
项目主题 景物的测量与计算
驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径
活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算
活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内．
数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计
计算 ……
交流展示 ……
请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据：
，，，，，）．
53．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：
实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等
实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角．
实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，．
请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值．
54．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角的度数，大楼底部点A的俯角的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角的度数．若，，，，求大楼的高度．（精确到）．参考数据：，，；，，）
55．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为．
(1)求的度数；
(2)求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
56．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
(1)制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
(2)获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，，，．在边上取两点，，使，，量得，，，则___________， ___________， ___________（结果保留小数点后两位）．
(3)计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
(4)反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
考点8锐角三角函数的应用：方向角问题
57．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东方向上，位于景点A的北偏东方向上，景点B位于景点D的南偏西方向上．已知．
(1)求的度数；
(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）
58．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛的正北方向，且、、三点在一条直线上，．
(1)求岛与港口之间的距离；
(2)求．
（参考数据：，，）
59．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向
14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）．
考点9锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题
60．（2025·四川资阳·中考真题）如图，已知水平地面上方有一个水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物．在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为，斜坡的坡度米，．（点在同一竖直平面内）．
(1)求平台的高度；
(2)求建筑物的高度（即的长）．
考点10锐角三角函数综合问题
61．（2025·四川资阳·中考真题）在四边形中，是边上的一点，是对角线的中点．
(1)如图1，四边形是正方形，连接，作交于点，求证：；
(2)如图2，四边形是平行四边形，，连接，作交于点，连接，求的值；
(3)如图3，四边形是菱形，，连接交于点是边上的一点，，若，求的长．
62．（2025·广东深圳·中考真题）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”．如图2，在中，，，．此时，四边形是“双等四边形”，是“伴随三角形”．
【问题解决】如图3，在四边形中，，，．求：
①与的位置关系为：__________：
②_____．（填“>”，“”或“”）
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至，点恰好落在边上，求证：四边形是双等四边形．
②如图5，在等腰三角形中，，，，在平面内找一点，使四边形是以为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由．
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