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专题12反比例函数（8大考点，精选40题）
考点概览 考点1反比例函数的性质 考点2反比例函数的增减性 考点3反比例函数的k 的几何意义 考点4反比例函数与一次函数、不等式 考点5反比例函数与一次函数的交点问题 考点6反比例函数与一次函数综合问题 考点7反比例函数的实际应用 考点8反比例函数与几何综合问题
考点1反比例函数的性质
1．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．点在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
2．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
考点2反比例函数的增减性
3．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
5．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个）
6．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）．
8．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
考点3反比例函数的k 的几何意义
9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
11．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ．
考点4反比例函数与一次函数、不等式
12．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
13．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．
14．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图像，直接写出不等式的解集为________；
(3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值．
考点5反比例函数与一次函数的交点问题
15．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ．
17．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ．
18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为 ．
19．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，，求点P的坐标．
20．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．
考点6反比例函数与一次函数综合问题
21．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
(1)求a与k的值；
(2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积．
22．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
23．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
24．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当时x的取值范围；
(3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标．
25．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点，将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为3时，求m的值．
26．（2025·甘肃·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为3时，求m的值．
27．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式．
(2)结合图形，请直接写出不等式的解集．
(3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值．
28．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
29．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式．
(2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值．
30．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
(1)求的值；
(2)若，求点坐标；
(3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
考点7反比例函数的实际应用
31．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
32．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ）
A． B． C． D．
33．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A． B． C． D．
34．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
考点8反比例函数与几何综合问题
35．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ．
36．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值．
37．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式和点的坐标．
38．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
(1)求k的值；
(2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
(3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
39．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
40．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，．
(1)求一次函数的表达式，并求的面积．
(2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
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专题12反比例函数（8大考点，精选40题）
考点概览 考点1反比例函数的性质 考点2反比例函数的增减性 考点3反比例函数的k 的几何意义 考点4反比例函数与一次函数、不等式 考点5反比例函数与一次函数的交点问题 考点6反比例函数与一次函数综合问题 考点7反比例函数的实际应用 考点8反比例函数与几何综合问题
考点1反比例函数的性质
1．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．点在该函数的图象上
B．该函数的图象分别位于第二、第四象限
C．当时，随的增大而增大
D．当时，随的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意；
、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意；
、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意；
、当时，随的增大而减小，故符合题意；
故选：D．
2．（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（ ）
A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小
C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数的性质，当时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
【详解】解：反比例函数中，，因此其图象的两支分布在第二、四象限，对应选项C正确，选项A错误．
当时，在第二象限（）和第四象限（）内，随的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若跨象限变化（如从负数到正数），会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“随的增大而减小”与时的性质矛盾，错误．
故选：C．
考点2反比例函数的增减性
3．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点都在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选D．
4．（2025·内蒙古·中考真题）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．当时，
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可．
【详解】解：对于反比例函数的图象上，在各个象限内，随的增大而增大，且第二象限的函数值大于第四象限的函数值，
∵，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
当时，即时，
则，
综上，只有选项D正确，
故选：D．
5．（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案．
【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，
∴该反比例函数的比例系数大于0，
∴符合题意的反比例函数解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
6．（2025·河北·中考真题）在反比例函数中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解．
【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小，
当时，，
当时，
∴当时，，
故选：B．
7．（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）．
【答案】1（答案不唯一）
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点，在反比例函数的图象上，且，得到在同一象限内随着的增大而减小，进而得到图象过一，三象限，得到，即可．
【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，
又∵，，
∴在同一象限内随着的增大而减小，
∴双曲线过一，三象限，
∴，
∴（答案不唯一）；
故答案为：1（答案不唯一）．
8．（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，判断反比例函数的增减性，根据解析式得到反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标判断A，B，C三点的位置，从而根据增减性判断a，b，c的大小即可．
【详解】解：∵在反比例函数中，，
∴反比例函数的函数图象在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵、、，
∴A在第二象限，B，C在第四象限，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
考点3反比例函数的k 的几何意义
9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可．
【详解】解：延长交于点E，
设，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
∴，
∴，，
∵反比例函数经过、两点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
故选：D．
10．（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论：
①与的面积一定相等；
②与的面积可能相等；
③一定是锐角三角形；
④可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴
又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴，
∴
∴，即与的面积一定相等；故①正确，
由①可得
当与的面积相等时，如图，连接，
∴
∴在直线上，则重合，
∴与的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确,
如图
当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误
综上，①④正确、②③错误.
故选：B．
11．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
考点4反比例函数与一次函数、不等式
12．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
【详解】解：由图可知，正比例函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为，
∴点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：C．
13．（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式．
(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】（1）解：把点代入，得，解得，
反比例函数的解析式为，
把点代入，得，解得，
，
把，代入得，解得
一次函数的解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于x的不等式的解集或．
14．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)利用图像，直接写出不等式的解集为________；
(3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值．
【答案】(1)；
(2)
(3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；
（3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，
∴，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
在中，当时，，
∴，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，
∴，
解得，
∴一次函数解析式为；
（2）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为，
∴不等式的解集为；
（3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则，
由轴对称的性质可得；
∵，，
∴，
∴的周长，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵，
∴当有最小值时，的周长有最小值，
∵，
∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，
∵，，
∴，
∴的周长的最小值为；
设直线解析式为，则，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；
综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为．
考点5反比例函数与一次函数的交点问题
15．（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；
②点的坐标为；
③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，求出点的坐标进而求出的长，判断①，联立两个函数解析式，求出点坐标，判断②，图象法判断③即可．
【详解】解：∵点的横坐标为1，
∴，
∴，
∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，
∴；
∴；故①正确；
联立，解得：或（舍去）；
∴点的坐标为，故②正确；
由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误；
故选C．
16．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴，，
∴，，
∴，
把代入，
得，
解得，
故答案为：9．
17．（2025·广东深圳·中考真题）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据的横坐标为1，求出的值，进而求出点坐标，再根据对称性求出点的坐标即可．
【详解】解：令，
∵同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点，的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点关于原点对称，
∴；
故答案为：．
18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值．
【详解】解：当时，，解得，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，
设点A坐标为，
∴
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴点A坐标为，
∴，
解得，
故答案为：
19．（2025·四川达州·中考真题）如图，直线与双曲线交于点，点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)点P在x轴上，，求点P的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式等知识点，正确求出函数解析式是解题的关键．
（1）先由待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点坐标，再由待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据即可求解．
【详解】（1）解：∵双曲线经过点，，
∴，
∴，
∴，反比例函数解析式为：，
∵直线经过点，点，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵点P在x轴上，，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为或．
20．（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数图象的问题，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）把点A坐标分别代入两个函数解析式中计算求解即可得到答案；
（2）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得直线解析式为，则可求出，过点A作轴交直线于T，则，再根据列式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为；
∵反比例函数的图象经过，
∴，
∴，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
如图所示，过点A作轴交直线于T，
∵，
∴点T的横坐标为2，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴
．
考点6反比例函数与一次函数综合问题
21．（2025·安徽·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2．
(1)求a与k的值；
(2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积．
【答案】(1)，
(2)16
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键．
（1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可；
（2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，．
（2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为．
在中，令，得，令，得，
∴，，
∴．．
∴的面积为．
22．（2025·江西·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点．
(1)求一次函数和反比例函数解析式；
(2)将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离．
【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；
(2)点，直线l平移的距离为．
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∵直线经过点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为；
（2）解：作一三象限的角平分线，如图，
∵，∴，
根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称，
∴，
作轴于点，作轴于点，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴点，设直线l向上平移个单位经过点，
∴平移后的直线为，
∴，
解得，
∴直线l平移的距离为．
23．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为，点C的坐标为，点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)，
(2)10
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，令，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形的面积等于面积的和即可求解．
【详解】（1）解：∵点C的坐标为，且在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴反比例函数的解析式为；
设直线的解析式为，把A、C两点坐标分别代入得：
，解得：，
即直线的解析式为；
上式中，令，，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，
∴，
解得：；
由题意知，，
∴
．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．
24．（2025·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当时x的取值范围；
(3)点C为x轴上一动点，连接，若的面积为18，求点C的坐标．
【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数解析式为
(2)或
(3)点C坐标为或
【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析，三角形面积等．
（1）由待定系数法求解即可；
（2）根据图象即可求得；
（3）设与轴交于点，得出，设，则，然后根据三角形面积公式建立方程，解方程，即可求得的坐标．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点A和，点A的横坐标为2
∴将代入，
则，
∴反比例函数解析式为：，
∴将代入，
则，
∴，
将，代入，
则，
解得：
∴一次函数解析式为：；
（2）解：∵，
∴观察图象，当时，的取值范围是或；
（3）解：设与轴交于点，
当时，
∴
∴，
设，
∴
∵的面积为18，
∴
∴，
∴，即
解得：或
∴点C坐标为或．
25．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点，将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为3时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可正确求解；
（1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解；
（2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：点在一次函数的图象上，
∴，
∴；
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：对于一次函数，令，则；
∴；
一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；
对于一次函数，令，则；
∴；
∴
∵，，
∴；
解得：．
26．（2025·甘肃·中考真题）如图，一次函数的图象交x轴于点A，交反比例函数的图象于点．将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的图象交x轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)当的面积为3时，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及了求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题等知识点，熟记相关结论即可；
（1）由题意得：点在一次函数的图象上，可求出，即可求解；
（2）对于一次函数，令求出；一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；求出，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得：点在一次函数的图象上，
∴，
∴；
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：对于一次函数，令，则；
∴；
一次函数的图象向下平移个单位长度后的解析式为：；
对于一次函数，令，则；
∴；
∴；
解得：
27．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式．
(2)结合图形，请直接写出不等式的解集．
(3)点是轴上的一点，若是以为直角边的直角三角形，求的值．
【答案】(1)反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为
(2)或
(3)或
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）求出直线与反比例函数的交点坐标，进而根据函数图象解答即可；
（）分和两种情况，利用勾股定理列出方程解答即可；
本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的几何应用，掌握数形结合和分类讨论思想是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴，
∴反比例函数的关系式为，
把代入，得，
∴，
∴，
把，代入一次函数得，
，
解得，
∴一次函数的关系式为；
（2）解：如图，设直线与反比例函数的图象相交于点，
由，解得，，
∴，，
由函数图象可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象下方，即，
∴不等式的解集为或；
（3）解：当时，，
即，
整理得，，
∴；
当时，，
即，
整理得，，
∴；
综上，的值为或．
28．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集；
(3)过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键．
（1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式；
（2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围；
（3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点
∴，
故反比例函数的表达式为
把点代入反比例函数得，，解得
∴点的坐标为
∵一次函数的图象经过、两点
∴，解得
故一次函数的表达式为；
（2）∵
∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方
∴；
（3）∵点横坐标为，代入
解得：
∴
当时，代入，得
解得：
∴
如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵，
∴，
∵，
∴．
29．（2025·四川南充·中考真题）如图，一次函数与反比例函数图象交于点，．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式．
(2)点在反比例函数第二象限的图象上，横坐标为，过点作轴的垂线，交于点，，求的值．
【答案】(1)，；
(2)或
【分析】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式，解一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
（）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（）由题意可得，，因为，所以， 然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
∵经过点，
∴．
∴反比例函数为，
∵在图象上，，
∴，
设一次函数解析式为，
∴，解得，
∴一次函数为；
（2）解：∵轴，
∴，，
∵，
∴，
解得：或或或
∵点在第二象限，
∴或．
30．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点是线段上异于端点的一点，过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
(1)求的值；
(2)若，求点坐标；
(3)双曲线关于轴对称的图象为，直接写出射线绕点旋转后与的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【分析】（1）点在反比例函数上，可得，即，将代入正比例函数中，进一步求解即可；
（2）设，结合过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．可得，可得，再解方程进一步求解即可；
（3）求解，如图，由旋转可得：，，过作轴于，过作轴于，证明，可得，证明在的图象上；结合反比例函数是中心对称图形可得：，从而可得答案.
【详解】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，即，
将代入正比例函数中，
得，
解得：；
（2）解：∵在直线上，
设，
∵过点作轴的垂线．交反比例函数的图象于点．
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
∴；
（3）解：∵双曲线关于轴对称的图象为，
∴，
如图，
由旋转可得：，，
过作轴于，过作轴于，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
当时，，
∴在的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：，
∴射线绕点旋转后与的交点坐标为或.
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键.
考点7反比例函数的实际应用
31．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（ ）
A．24 B．27 C．45 D．50
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键．
先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断．
【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：，
代入点得：，
解得：，
∴关于的函数解析式为，
当时，；当时，，
∵，
∴在第一象限内，随着的增大而减小，
∴，
∴的值可以为，
故选：C．
32．（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式．
把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可．
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线，
∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
故选：．
33．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再结合在第一象限随的增大而减小可得答案．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
该反比函数解析式为，
∴在第一象限随的增大而减小；
当时，，
∴电流可以为，
故选：A．
34．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
(1)表格中的值是 ；
(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
(3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
【答案】(1)100
(2)见解析
(3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数．
（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；
（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；
（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴；
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
考点8反比例函数与几何综合问题
35．（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ．
【答案】20
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，求出的值，设，根据，利用勾股定理求出的值，进而求出的长，进而求出的面积即可．
【详解】解：∵直线与双曲线交于，两点，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，，，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积是；
故答案为：20．
36．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合性问题，等腰三角形的三线合一性质，一次函数和反比例函数图象上的坐标特征，利用等腰三角形的三线合一性质求反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．
（1）对于一次函数，分别令，和，即可求得答案；
（2）过点C作，垂足为E，根据等腰三角形的三线合一性质，可得，于是可逐步求得点D和点C的坐标，再代入，即可求得答案．
【详解】（1）解：令，则，
解得，
点A的坐标为，
令，则，
点B的坐标为；
（2）解：如图，过点C作，垂足为E，
，，
，
令，则，
，
点D的坐标为，
点C的坐标为，
点C在一次函数的图象上，
，
解得．
37．（2025·四川德阳·中考真题）如图，已知菱形，点在轴上，反比例函数的图象经过菱形的顶点，连接，与反比例函数图象交于点．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求直线的解析式和点的坐标．
【答案】(1)；
(2)，．
【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）由得，又四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，
∴
∴直线的解析式为，
∵点是反比例函数与正比例函数的交点，
∴联立解析式，
解得或，
∵，
∴．
38．（2025·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象的一个交点为，与x轴的交点为．
(1)求k的值；
(2)直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若，求直线的函数表达式；
(3)P为x轴上一点，直线交反比例函数的图象于点E（异于A），连接，若的面积为2，求点E的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键．
（1）把代入，可求出一次函数的解析式，从而得到点A的坐标，即可求解；
（2）连接，求出点C的坐标为，可得，设点D的坐标为，可得到，再由勾股定理求出m的值，即可求解；
（3）设点E的坐标为，求出直线的解析式，可用t表示点E的坐标，再由三角形的面积公式解答，即可求解．
【详解】（1）解：∵直线与x轴的交点为，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴点，
把点代入得：；
（2）解：如图，连接，
由（1）得：反比例函数的解析式为，
∵直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：或（舍去），
∴点D的坐标为，
设直线的函数表达式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的函数表达式为；
（3）解：设点E的坐标为，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴，
解得：或，
∴点E的坐标为或．
39．（2025·重庆·中考真题）如图，点为矩形的对角线AC的中点，，，，是上的点（，均不与，重合），且，连接，．用表示线段的长度，点与点的距离为．矩形的面积为，的面积为，的面积为，．
(1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围：
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
【答案】(1)，
(2)作图见解析，性质：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小
(3)（或或或或）
【分析】本题考查函数解析式，一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，反比例函数与不等式，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关性质，并能正确分段列出动点问题的相关线段是解题的关键．
（1）利用矩形性质和勾股定理得出，，分两部分：①当时；②当时，分别列出；过点作于点，利用等面积法求出，即可表示出的面积为，同理可得的面积为，再结合矩形的面积为与，即可列出；
（2）根据函数解析式画图即可，再根据函数图象写出性质；
（3）根据图象写出的图象在下方时对应的自变量的取值范围即可
【详解】（1）解：∵为矩形的对角线AC的中点，，，
∴，，
∴，
当时，，如图，
∴；
当时，，如图，
∴；
∴；
如图，过点作于点，
∵，
∴，
∴的面积为，
同理可得的面积为，
又∵矩形的面积为，
∴，
∴；
（2）解：作图如下：
性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大（不唯一）；当时，随的增大而减小；
（3）解：结合函数图象，可得时的取值范围为（或<或或或）．
40．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，．
(1)求一次函数的表达式，并求的面积．
(2)连接，在直线上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点C坐标，再把点A和点C坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式，进而求出点M的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可；
（2）利用对称性可得点B坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案当时，则，可求出；设，则，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入到中得：，解得，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
把，代入到中得：，解得，
∴一次函数的表达式为，
在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵直线经过原点，
∴由反比例函数的对称性可得点B的坐标为，，
∵，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴与不垂直，
∵与相似，
∴只存在和这两种情况，
当时，则，，
∴，，
∴此时点D为的中点，
∴点D的坐标为；
当时，则，，
∴；
设，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为；
综上所述，点D的坐标为或．
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