《数学探究-杨辉三角的性质初探》教学课件（共21张PPT）-人教A版高中数学选择性必修三

(共21张PPT)
数学探究：杨辉三角的性质与应用
—杨辉三角的性质初探
单元框架
杨辉三角的性质初探
杨辉三角的性质再探
杨辉三角的性质应用
杨辉三角
二项式定理
组合数
图形化
直观体现
学习目标
（1）通过探究杨辉三角的历史渊源，提升民族自豪感与文化传承力，发展学生的数学文化素养；
（2）通过路径问题探究、借助生成式人工智能，提升学生实践操作与数字化工具应用能力，发展学生的数学建模、数学运算、数据分析素养；
（3）通过杨辉三角的性质探究，提升学生的数学探究能力，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养（重点）；
问题1：回顾数学探究的一般流程
联想激活 寻求方法
探究流程
归纳
观察
猜想
证明
创设情境 提出问题
创设情境 提出问题
问题1：O是货物分发地点，若小黄车由O点出发，只能向下或向右运动，以最快的速度到达以下各点分别有多少路径？将其数量逐一标记在对应格点上。
O
A
B
C
D
E
G
H
J
K
L
I
F
M
N
探究1：数学建模引入杨辉三角
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
创设情境 提出问题
杨辉三角
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
探究2：小组展示项目式探究“杨辉三角的历史”，感受数学文化的魅力和民族自豪感。
追溯历史 感受魅力
第1行
第2行
第3行
第4行
第0行
第5行
第6行
第n行
旧知赋能 初探新知
问题2(杨辉三角与二项式系数的关系)：观察杨辉三角数阵中各行的数字与二项式系数的关系？
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
1
【学以致用】
杨辉三角中,第15行第15个数是____，用组合数表示是____
15
探究3：【合作探究】观察杨辉三角，用笔圈一圈、连一连、算一算，结合二项式系数，你能发现什么的规律，并进行归纳、猜想。
【小组合作】 1.独立思考1分钟；
2.小组合作3分钟；
3.请中心发言人做好记录以及分享准备。
问题1：仔细观察，发现数阵的规律并用组合数表述？
问题2：由特殊到一般，归纳猜想杨辉三角的此性质？
观察
归纳猜想
性质探究 合作推理
第1行
第2行
第3行
第4行
第0行
第5行
第6行
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
性质探究 合作推理
性质1对称性：
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
第0行
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
第6行
性质2：
+
求和
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
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6
15
20
15
6
1
1
1
+
=
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
8
16
32
4
性质3：
问题1：仔细观察，发现数阵的规律并用组合数表述性质？
问题2：由特殊到一般，归纳猜想杨辉三角的此性质？
观察
归纳猜想
性质探究 合作推理
1
性质4递推性：
1
1
1
2
1
1
3
3
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1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
递推性：除1以外的数等于肩上两数之和
第1行
第2行
第3行
第4行
第0行
第5行
第6行
问题1：仔细观察，发现数阵的规律并用组合数表述性质？
问题2：由特殊到一般，归纳猜想杨辉三角的此性质？
观察
归纳猜想
性质探究 合作推理
1
递推性：
证明
法一：
问题3：证明递推性
性质探究 合作推理
法二
1
递推性：
......
问题1：从n个如上所示的小球中选择m个，可能有哪些选择方式？
问题2：分别用组合数表述出来。
不包含紫色小球：
包含紫色小球：
证明
问题3：试着去证明递推性
性质探究 合作推理
技术赋能、拓展思路
1
递推性：
证明
问题3：试着去证明递推性
性质探究 合作推理
【学以致用】
性质探究 合作推理
探究4：观察杨辉三角，用笔圈一圈、连一连、算一算，结合二项式系数，你能发现什么有价值规律，并进行归纳、猜想、证明。
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
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1
5
10
10
5
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6
15
20
15
6
1
1
1
+
=
2
2
2
+
+
=
2
2
2
6
第1行
第2行
第3行
第4行
第0行
第5行
第6行
性质5：第n行各数的平方和等于第2n行中间的数。
联想结构，如何证明？
问题1：计算杨辉三角的前4行的平方和；
问题2：在杨辉三角中找到这些数字，并用组合数表示出来？
问题3：归纳猜想杨辉三角的此性质？
问题4：试着去证明此性质。
2
2
2
2
2
+
+
+
=
70
+
+
+
+
=
2
2
2
20
2
观察
归纳
猜想
性质探究 合作推理
证明
性质5：
联想结构，如何证明？
【学以致用】
AI提示词：杨辉三角的性质：第n行各数的平方和等于第2n行中间的数。利用与二项式定理相关的代数法证明该性质，请利用苏格拉底提问法给出几个子问题，引导证明，学情为已经熟悉杨辉三角的对称性、递推性以及二项式定理。
评价小结 分层作业
归纳小结 分层作业
【分层作业】
A 层：写出有10行的杨辉三角数字，验证对称性、递推性；
B 层：查阅三角垛相关的知识，探究杨辉三角的其余性质；
C 层：杨辉三角是高维的数阵，探究杨辉三角与数列的关系。