《数学探究-杨辉三角的性质应用》教学课件（共19张PPT）-人教A版高中数学选择性必修三
文档属性
| 名称 | 《数学探究-杨辉三角的性质应用》教学课件（共19张PPT）-人教A版高中数学选择性必修三 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 21.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 10:36:33 | ||
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文档简介
(共19张PPT)
1.杨辉三角的应用1：方垛求和。
通过“拆数关联杨辉三角” 推导方垛求和公式，体会数形转化思想，发展数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养。
2.杨辉三角的应用2：弹球游戏概率。
通过探究会用杨辉三角计算小球落入不同区域的概率，掌握“具体情境→数学模型”的解题方法。
3.杨辉三角的应用3：开方古算法。
通过开方古算题材料，能借助杨辉三角的二项式系数求解简单高次方程，感受古人的智慧，培养文化传承意识。
学习目标
商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”。每层摆成三角形的就叫“三角垛”，摆成四边形的叫做“方垛”...“方垛”自上而下，第一层1个，第二层4个，第三层9个...如图所示.
商人物资运输前需要清点物品的数量，若物品的垒放成
“方垛”,且垒放n层，请你计算一共多少件物品。
杨辉三角的应用1—方垛求和
【自主探究一】
问题1.请列出以上问题的数学表达式。
问题2.观察以上式子中的数字是否按照某种特殊的规律直接出现在杨辉三角中？
不是
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
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5
10
10
5
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6
15
20
15
6
1
1
杨辉三角的应用1—方垛求和
问题3：能否将1,4,9,16,25 …这些平方数用杨辉三角中的数有规律的表示。
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拆数
组合数
1=1
4=1+3
9=3+6
16=6+10
25=10+15
杨辉三角的应用1—方垛求和
【自主探究二】
请根据以上拆数方法解决
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杨辉三角的应用1—方垛求和
【学以致用】
1.一个物流仓库中的酒坛垒放
成“方垛”，共12层，问一共
有多少个酒坛。
2.
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
游乐场有如图的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物等可能地向第三层跌落，如此，一直下跌，小球最终落入最底层，根据落入最底层的区域来获得奖品。
【情境猜想】
为了利润，你觉得游乐场将贵重的奖品放在靠近两边的区域还是中间的区域？
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
在游乐场可以看到如图的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物等可能地向第三层跌落，如此，一直下跌，小球最终落入最底层，根据落入最底层的区域来获得奖品。
【模拟实验】
1层
2层
3层
4层
5层
6层
结论：为了利润，游乐场应该将贵重的奖品放在靠近两边的区域。
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
【自主探究三】
假设游乐场有一个六层的弹球游戏。
1.求小球落入最底层各个区域的路径数。
2.求小球落入最底层各个区域的概率。
【探索求证】
1层
2层
3层
4层
5层
6层
【展示】
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
最底层七个区域的中奖的概率
1 6 15 20 15 6 1
1 6 15 20 15 6 1
第六层七个区域的路径数
1.求小球落入最底层各个区域的路径数。
2.求小球落入最底层各个区域的概率。
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
【乘胜追击】
一小球落入一个n层的弹球游戏底部的槽内（小球碰到阻挡物后等可能的向两侧跌落），
请写出小球落入第k(k=0,1,2...n)个槽的概率。
如图是竖直平面内的“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，
并且在交点处相遇。若有一条竖直线段为第一层，有二条竖直线段为
第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层通道向下运动，在通道
交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入
第n层的第m个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为A(n,m)。
(1)求A(2,1),A(3,1),A(4,2)
(2)猜想A(n,m)的表达式（不必证明），
解：(1)A(2,1)=1, A(3,1)=1,A(4,2)=3
(2) A
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
【学以致用】
杨辉《详解九章算法》记载：
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何.
在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方，
因此这个问题相当于解方程
杨辉三角的应用3—开方古算题
古人没有计算器，
是如何开方的呢？
发发方法试试dg
开方作法本源图
杨辉三角的应用3—开方古算题
【自主阅读】
阅读导学案的材料1分钟
跟着材料穿越回古代，顺着古人的足迹，经历古人开方的步骤。
杨辉三角的应用3—开方古算题
【合作探究】
小组任务：
2分钟分析开方步骤。
2分钟实战操作开方古算法解方程
要求：
组长统筹协调任务顺利进行。
中心发言人负责记录，准备分享
的古开方过程。
杨辉三角的应用3—开方古算题
【小组展示】
解方程
古
今
单元小结
杨辉三角
二项式定理
杨辉三角的性质初探
杨辉三角的性质再探
杨辉三角的性质应用
组合数
图形化
直观体现
性质和应用的拓展
方垛求和
弹球游戏概率
开方古算法
斐波那契数列
n阶等差数列求和
杨辉三角发展史
递推性
数学探究步骤
每一行的平方和
单元评价
请根据单元评价表自我评价
A层作业
课后作业
C层作业
借助AI赋能，进一步探究古开方算法中高次幂方程的根不是整数的具体操作及其中蕴含的算法思想，并撰写探究报告。
B层作业
1、用模拟程序调整高尔顿板的层数（如n=8），计算落入第 5 个槽的概率
用杨辉三角推导立方和公式。
感谢观看
数学探究：杨辉三角的性质和应用
古今应用 提升思维
1.杨辉三角的应用1：方垛求和。
通过“拆数关联杨辉三角” 推导方垛求和公式，体会数形转化思想，发展数学运算、直观想象、逻辑推理核心素养。
2.杨辉三角的应用2：弹球游戏概率。
通过探究会用杨辉三角计算小球落入不同区域的概率，掌握“具体情境→数学模型”的解题方法。
3.杨辉三角的应用3：开方古算法。
通过开方古算题材料，能借助杨辉三角的二项式系数求解简单高次方程，感受古人的智慧，培养文化传承意识。
学习目标
商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”。每层摆成三角形的就叫“三角垛”，摆成四边形的叫做“方垛”...“方垛”自上而下，第一层1个，第二层4个，第三层9个...如图所示.
商人物资运输前需要清点物品的数量，若物品的垒放成
“方垛”,且垒放n层，请你计算一共多少件物品。
杨辉三角的应用1—方垛求和
【自主探究一】
问题1.请列出以上问题的数学表达式。
问题2.观察以上式子中的数字是否按照某种特殊的规律直接出现在杨辉三角中？
不是
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杨辉三角的应用1—方垛求和
问题3：能否将1,4,9,16,25 …这些平方数用杨辉三角中的数有规律的表示。
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拆数
组合数
1=1
4=1+3
9=3+6
16=6+10
25=10+15
杨辉三角的应用1—方垛求和
【自主探究二】
请根据以上拆数方法解决
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杨辉三角的应用1—方垛求和
【学以致用】
1.一个物流仓库中的酒坛垒放
成“方垛”，共12层，问一共
有多少个酒坛。
2.
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
游乐场有如图的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物等可能地向第三层跌落，如此，一直下跌，小球最终落入最底层，根据落入最底层的区域来获得奖品。
【情境猜想】
为了利润，你觉得游乐场将贵重的奖品放在靠近两边的区域还是中间的区域？
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
在游乐场可以看到如图的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物等可能地向第三层跌落，如此，一直下跌，小球最终落入最底层，根据落入最底层的区域来获得奖品。
【模拟实验】
1层
2层
3层
4层
5层
6层
结论：为了利润，游乐场应该将贵重的奖品放在靠近两边的区域。
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
【自主探究三】
假设游乐场有一个六层的弹球游戏。
1.求小球落入最底层各个区域的路径数。
2.求小球落入最底层各个区域的概率。
【探索求证】
1层
2层
3层
4层
5层
6层
【展示】
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
最底层七个区域的中奖的概率
1 6 15 20 15 6 1
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第六层七个区域的路径数
1.求小球落入最底层各个区域的路径数。
2.求小球落入最底层各个区域的概率。
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
【乘胜追击】
一小球落入一个n层的弹球游戏底部的槽内（小球碰到阻挡物后等可能的向两侧跌落），
请写出小球落入第k(k=0,1,2...n)个槽的概率。
如图是竖直平面内的“通道游戏”，图中竖直线段和斜线都表示通道，
并且在交点处相遇。若有一条竖直线段为第一层，有二条竖直线段为
第二层，以此类推，现有一颗小球从第一层通道向下运动，在通道
交叉处，小球可以落入左右两个通道中的任意一个，记小球落入
第n层的第m个竖直通道（从左向右计）的不同路径数为A(n,m)。
(1)求A(2,1),A(3,1),A(4,2)
(2)猜想A(n,m)的表达式（不必证明），
解：(1)A(2,1)=1, A(3,1)=1,A(4,2)=3
(2) A
杨辉三角的应用2—弹球游戏概率
【学以致用】
杨辉《详解九章算法》记载：
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何.
在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方，
因此这个问题相当于解方程
杨辉三角的应用3—开方古算题
古人没有计算器，
是如何开方的呢？
发发方法试试dg
开方作法本源图
杨辉三角的应用3—开方古算题
【自主阅读】
阅读导学案的材料1分钟
跟着材料穿越回古代，顺着古人的足迹，经历古人开方的步骤。
杨辉三角的应用3—开方古算题
【合作探究】
小组任务：
2分钟分析开方步骤。
2分钟实战操作开方古算法解方程
要求：
组长统筹协调任务顺利进行。
中心发言人负责记录，准备分享
的古开方过程。
杨辉三角的应用3—开方古算题
【小组展示】
解方程
古
今
单元小结
杨辉三角
二项式定理
杨辉三角的性质初探
杨辉三角的性质再探
杨辉三角的性质应用
组合数
图形化
直观体现
性质和应用的拓展
方垛求和
弹球游戏概率
开方古算法
斐波那契数列
n阶等差数列求和
杨辉三角发展史
递推性
数学探究步骤
每一行的平方和
单元评价
请根据单元评价表自我评价
A层作业
课后作业
C层作业
借助AI赋能，进一步探究古开方算法中高次幂方程的根不是整数的具体操作及其中蕴含的算法思想，并撰写探究报告。
B层作业
1、用模拟程序调整高尔顿板的层数（如n=8），计算落入第 5 个槽的概率
用杨辉三角推导立方和公式。
感谢观看
数学探究：杨辉三角的性质和应用
古今应用 提升思维