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人教版2025—2026学年九年级上册期中模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列是二次函数的是（ ）
A．y＝3x+1 B．x＝x2﹣2 C．y＝x2﹣1 D．
2．下列交通标志图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．如图，三角形中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把绕点C按顺时针方向旋转得．若于点D，则（ ）
A． B． C． D．
7．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
8．如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴的交点 在点 和 之间，下列结论正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．杭州地铁号线于2022年2月21日实现试运行，从星桥站至潮王路站共设计了1482种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是
.
12．若点 关于原点对称点是 ，则 的值是
13．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝-5的解为 .
14．把方程3x（x﹣1）＝2﹣2x化成一元二次方程的一般形式为
15．已知，那么当时，y= .
16．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，2），将三角形ABC绕点D（a，a）逆时针旋转90°得到△A'B'C'，若△A'B'C'上任意点都在半径为4的⊙O内部或圆上，则△ABC与△A'B'C'的“捷径距离”d（△ABC，△A'B'C'）的最小值是 ，最大值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：3x2﹣4x﹣5=0．
18．已知抛物线y=2x2﹣8x+k+8和直线y=mx+1相交于点P（3，4m），求这两个函数的解析式及另一交点坐标．
19．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门.若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为多少米？
20．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1．记当x＝c时，函数值为yc，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a，b，总有ya+yb≥1．
21．“燕赵味河北农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件.为尽快减少库存，商场决定降价促销.
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件.若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？
22．某超市销售一种矿泉水，进价为每箱24元，现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种矿泉水的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．如果该超市想要每月销售这种矿泉水的利润为650元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？
23．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的 ．
24．复习课中，教师给出关于x的函数 （k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图像经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当 时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
25．已知抛物线 （a、b、c为常数， 且）
（1）已知抛物线的对称轴为 ，若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为，求这两个交点的坐标；
（2）已知对于抛物线上的任意一点 点 也在此抛物线上，且 若存在一点恰在该抛物线上，求a的取值范围；
（3）已知当时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线只有一个交点D ， 若 恒成立，求c的取值范围．
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人教版2025—2026学年九年级上册期中模拟临考冲刺卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列是二次函数的是（ ）
A．y＝3x+1 B．x＝x2﹣2 C．y＝x2﹣1 D．
【答案】C
【解析】【解答】 根据二次函数的定义，形如的函数为二次函数.
y=3x+1为一次函数，为反比例函数，故选项A、D错误；
x=x2-2是一元二次方程，不是函数，故选项B错误；
y=x2-1为二次函数，故选项C正确.
故选：C.
【分析】利用二次函数的概念即可求解.
2．下列交通标志图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．抛物线的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴是，
即，故B正确．
故答案为：B．
【分析】利用二次函数的对称轴为直线，代入计算即可.
4．如图，已知关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，
∴一个根 ，另一个根，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴k的值可能为1．
故答案为：C．
【分析】先求出一个根 ，另一个根，再求出抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，最后求解即可。
5．如图，三角形中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意得：∠ABC=∠A'BC'
∵．
∴．
故答案为：A
【分析】根据旋转的性质可得∠ABC=∠A'BC'，再利用计算即可。
6．如图，把绕点C按顺时针方向旋转得．若于点D，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：绕点C按顺时针方向旋转得，
，，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据旋转得到，，然后利用三角形内角和定理解答即可．
7．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【答案】A
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程：200（1＋x）2＝242，
故答案为：A．
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，根据“ 第一天揽件200件，第三天揽件242件 ”列出方程200（1＋x）2＝242即可.
8．如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴的交点 在点 和 之间，下列结论正确的有（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：由抛物线与x轴有两个交点，可得： ＞0 故①错误；
抛物线 的顶点为 ，
抛物线的对称轴为：
抛物线与x轴的交点A在点 和 之间，
抛物线与x轴的另一个交点在点 和 之间，
在第四象限，
＜0， 故②错误；
抛物线的对称轴为：
故③正确；
抛物线 的顶点为 ，
把 代入上式可得：
故④正确，
综上：正确的有2个.
故答案为：B.
【分析】由抛物线与x轴有两个交点可判断①；根据抛物线的对称性可得与x轴的另一个交点的位置，推出（1，a+b+c）在第四象限，据此判断②；根据对称轴可得b=2a，据此判断③；将点B坐标代入可得a-b+c=3，将b=2a代入就可判断④.
9．杭州地铁号线于2022年2月21日实现试运行，从星桥站至潮王路站共设计了1482种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有个站点，根据题意下面列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设这段公路有x个站点，由题意可得x(x-1)=1482.
故答案为：B.
【分析】根据站点数×(站点数-1)=总共的往返车票就可列出方程.
10．已知，，若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴， ，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：B．
【分析】先求出， ，再求解即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＞0的解集是
.
【答案】-1＜x＜5
【解析】【解答】解：由题图可知，该二次函数的对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为(5，0)
∴函数图象与x轴的另一交点坐标为( ，0)
∴不等式 的解集是 .
故条案为： .
【分析】根据二次函数的对称轴以及与x轴的一个交点的坐标求出另一个交点的坐标，然后结合图象找出二次函数图象在x轴上方部分所对应的x的范围即可.
12．若点 关于原点对称点是 ，则 的值是
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵点 关于原点对称点是 ，
∴m=-2，n=1，
∴m+n=-2+1=-1．
故答案为：-1
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点可得m、n的值，进而可算出m+n的值．
13．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：
x … -3 0 1 3 5 …
y … 7 -8 -9 -5 7 …
则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝-5的解为 .
【答案】，
【解析】【解答】解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得，
整理得，
②×3+①，得
∴
把代入②得，
又
∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝-5可变形为：
即：
∴
∴，或
解得，，
故答案为：，.
【分析】将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得，关于字母a、b、c的三元一次方程组，求解可得a、b、c的值，将a、b、c的值代入一元二次方程，利用因式分解法求解即可.
14．把方程3x（x﹣1）＝2﹣2x化成一元二次方程的一般形式为
【答案】
【解析】【解答】解：3x（x﹣1）＝2﹣2x
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得：
故答案为：
【分析】去括号、移项、合并同类项，即可得出一元二次方程的一般形式。
15．已知，那么当时，y= .
【答案】0
【解析】【解答】解：当时，.
故答案为：0.
【分析】直接将x=-1代入y=x2-1中计算即可.
16．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣3，2），C（﹣1，2），将三角形ABC绕点D（a，a）逆时针旋转90°得到△A'B'C'，若△A'B'C'上任意点都在半径为4的⊙O内部或圆上，则△ABC与△A'B'C'的“捷径距离”d（△ABC，△A'B'C'）的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】2；
【解析】【解答】
（1）由题可知，点D(a，a)在直线y=x上移动，点C'在直线y=-1上运动，如图，当C'在点A的正下方时，C'A⊥直线y=-1，垂足为C'时，AC'距离最小，这时最小值为2
故答案为：2.
(2)当A'在⊙O上时，CC'最小，接OA'，过点A'作AE⊥x轴于点E，过点B作BE⊥x轴垂足为M，且交BC的延长线于点F，由题意可知：点A'在直线y=-2上运动，因此A'E=2，
又∵⊙O的半径是4，∴AO=4
在Rt△A'OE中，
又∵A'，B'之间的水平距离为1
∴EM=1，OM=
∵C（﹣1，2）， ∴CF=OM+1=+1=
∵C'F=1+2=3
在Rt△C'FC中，
故答案为：.
【分析】(1)当C'在点A 的下方时，C'A⊥直线y=-1，AC'距离最小，这时最小值为2
（2）当当A'在⊙O上时，CC'最小，作垂直构造直角三角形，利用勾股定理解题即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：3x2﹣4x﹣5=0．
【答案】解：△=（﹣4）2﹣4×3×（﹣5）
=4×19，
x= = ，
所以x1= ，x2=
【解析】【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．
18．已知抛物线y=2x2﹣8x+k+8和直线y=mx+1相交于点P（3，4m），求这两个函数的解析式及另一交点坐标．
【答案】解：把P（3，4m）代入y2=mx+1得3m+1=4m，解得m=1，
所以一次函数解析式为y=x+1，
把P（3，4）代入y1=2x2﹣8x+k+8得2×9﹣8×3+k+8=4，解得k=2，
所以抛物线解析式为y1=2x2﹣8x+10；
解 得 或
所以，抛物线与直线的另一个交点坐标为（ ， ）
【解析】【分析】先把P（3，4m）代入y2=mx+1求出m，从而得到一次函数解析式，且确定P点坐标，然后把P点坐标代入y1=2x2﹣8x+k+8求出k的值，于是可确定抛物线解析式；联立方程，解方程可确定抛物线与直线的另一个交点坐标．
19．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门.若花圃的面积刚好为，则此时花圃段的长为多少米？
【答案】解：设，则，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，.
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去.
答：若花圃的面积刚好为，则此时花圃的段长为4m.
【解析】【分析】设AB=xm，则BC=(20+2-3x)m，根据矩形的面积公式结合题意可得关于x的方程，求解即可.
20．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1．记当x＝c时，函数值为yc，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a，b，总有ya+yb≥1．
【答案】解：设y在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，M≥ ，
二次函数y＝x2﹣2mx+1的图象是一条开口向上的抛的线，
①当对称轴x＝m≤0时，由图象可知，x＝0时，y最小＝1，这时1≥ 成立；
②当对称轴x＝m，0＜m＜1时，由图象可知x＝m时，y最小且y最小＝1﹣m2，有1﹣m2≥ ，m2≤ ，故有0＜m≤ ；
③当对称轴x＝m，m≥1时，由图象可知，x＝1时，y最小且y最小＝2﹣2m，这时有2﹣2m≥ ，m≤ 与m≥1矛盾．
综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤ ．
【解析】【分析】求 ya+yb≥1． 就是求两函数在 0≤x≤1 内的最小值之和大于或等于1，从而将问题转化，根据对称轴x＝m 进行分类 ①当对称轴x＝m≤0 时， ②当对称轴x＝m，0＜m＜1时， ③当对称轴x＝m，m≥1时 ，三种情况进行讨论分别求出最小值，再根据最小值的范围列出不等式，求解并检验即可得出答案。
21．“燕赵味河北农产品”促销活动正在启动，某种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可销售48件.为尽快减少库存，商场决定降价促销.
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件.若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，求每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设每次降价的百分率为，
依题意，得.
解方程，得，（不符合题意舍去）.
答：每次降价的百分率为10%；
（2）解：设每件应降价元，
依题意，得.
整理，得.
解方程，得，.
要尽快减少库存，所以取.
答：每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价3元.
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用-平均增长率问题、销售问题。
（1）根据每次降价的百分率x和起始量40元，终点量32.4，可得方程，注意实际，百分率不超过1；（2）根据总利润=单件商品利润×销售数量，利润=售价-进价，可得方程，结合题目要求，正确取值是关键。
22．某超市销售一种矿泉水，进价为每箱24元，现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．经市场调查发现：若这种矿泉水的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．如果该超市想要每月销售这种矿泉水的利润为650元，那么每箱矿泉水需要降价多少元？
【答案】解：设每箱矿泉水需要降价x元，则每箱的利润为（36﹣24﹣x）元，每月的销量为（10x+60），
依题意，得：（36﹣24﹣x）（10x+60）＝650，
整理，得：x2﹣6x﹣7＝0，
解得：x1＝7，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
答：每箱矿泉水需要降价7元．
【解析】【分析】可列方程进行求解，设每箱矿泉水需要降价x元，分别表示出每箱的利润和每月的销量，根据每箱的利润×每月的销量=650列方程求解，注意要舍去不符合题意的解.
23．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的 ．
【答案】解：如下图所示：
【解析】【分析】本题关键在于找到各顶点的中心对称点．
24．复习课中，教师给出关于x的函数 （k是实数）.
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上.
学生思考后，黑板上出现了一些结论.教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图像经过（1，0）点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当 时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数；
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由，最后简单写出解决问题时所用的数学方法.
【答案】解：①真，②假，③假，④真.理由如下：
①将（1，0）代入 ，得 ，解得 .
∴存在函数 ，其图像经过（1，0）点.
∴结论①为真.
②举反例如，当 时，函数 的图象与坐标轴只有两个不同的交点.∴结论②为假.
③∵当 时，二次函数 （k是实数）的对称轴为 ，
∴可举反例如，当 时，二次函数为 ，
当 时，y随x的增大而减小；当 时，y随x的增大而增大.
∴结论③为假.
④∵当 时，二次函数 的最值为 ，
∴当 时，有最小值，最小值为负；当 时，有最大值，最大值为正.
∴结论④为真.
【解析】【分析】①将（1，0）代入函数解析式中，求出k值，然后判断即可；
②先考虑函数是一次函数时即可判断真假；
③先求出对称轴，然后举出反当 时的函数解析式，利用二次函数的增减性即可判断；
④先求出函数的最值，分别求出当k＞0，k＜0时的最值的符号，然后判断即可.
25．已知抛物线 （a、b、c为常数， 且）
（1）已知抛物线的对称轴为 ，若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为，求这两个交点的坐标；
（2）已知对于抛物线上的任意一点 点 也在此抛物线上，且 若存在一点恰在该抛物线上，求a的取值范围；
（3）已知当时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线只有一个交点D ， 若 恒成立，求c的取值范围．
【答案】（1）设这两个交点的横坐标为，，
根据题意，得：，
解得：，
∴这两个交点的坐标为，；
（2）∵点点都在此抛物线上，
∴抛物线对称轴为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∵点恰在该抛物线上，
∴，方程有实数根，
整理：，
∴，
解得：，
∵，
∴a的取值范围为：，且；
（3）由题意得：抛物线在时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵抛物线与直线相切于点D，设切点坐标为，
联立方程组，得：，
整理，得：，
即，且，，
∴，
∴或（舍去），
即，
∴，则，
根据点D在直线上有：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
令，则，
则，
化为顶点式为：，
由于该抛物线开口向上，且顶点横坐标为，
∵恒成立，
∴，
①若，即，
当时，最小值，
解得：或，
∴；
②若，即，
当时，有最小值，
解得：或，
∴，
综上所述，或．
【解析】【分析】（1）设这两个交点的横坐标为，，根据题意得到，进而即可求解；
（2）根据二次函数的图象结合题意得到，则，再根据得到，从而即可得到抛物线的解析式为，根据点恰在该抛物线上得到，再根据一元二次方程根的判别式即可求解；
（3）根据二次函数的性质得到，则，根据一次函数与二次函数的交点结合题意得到，有两个相等实数根，可求得，进而得到点D坐标，根据勾股定理得到，令，则，则，则，由于该抛物线开口向上，且顶点横坐标为，根据恒成立，可得，结合二次函数的图象与性质进行分类讨论即可．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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