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浙教版2025—2026学年九年级上册期中复习全能练考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点相同 D．都有最低点
2．已知⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．点A不在⊙O内
3． 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
A．106° B．126° C．74° D．53°
8．如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（ ）
A．20m B．12m C．10m D．8m
9．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=80°，半径OA=3，C 是上一点，连结OC，D 是OC 上一点，且OD=DC，连结 BD.若BD⊥OC，则. 的长为( )
A． B． C． D．π
10．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中符合题意结论的个数为（ ）
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二次函数 的顶点为 ，则其图象与y轴的交点坐标为 .
12．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 .
13． 如图，将边长为2的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点 A 为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为 ，该扇形所对的圆心角是 °(结果用含π的式子表示).
14．如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是 .
15．若某二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则它的表达式为 ．
16．如图，在菱形ABCD中，，射线BM在内，点和点关于BM对称，AE与BM交于点，连接CE、CF，若，则的值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
（3）在该运动员入水点的正前方有两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，若该运动员出水点在之间（包括两点），请直接写出的取值范围．
18．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘甲、乙，分别被分成4等份、3等份，且每份内均标有数字.小洋和小倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘甲与乙；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指的数字相加(若指针恰好停在分隔线上，则重转一次)；③若和为0，则小洋获胜，否则小倩获胜.
（1）用列表或画树状图的方法求小洋获胜的概率.
（2）你认为这个游戏对双方公平吗 若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则使游戏变得公平.
19．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．
（1）请用树状图或列表的方法，表示松鼠走出笼子的所有可能路线（经过的两道门）．
（2）求松鼠经过E门出去的概率．
20．如图，四边形内接于，为的直径，．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度．
21．二次函数中的自变量和函数值满足下表：
（1）这个二次函数的对称轴是直线 ；
（2）的值为 ；
（3）当时，则的取值范围为 ．
22．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
23．如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、.
（1）圆心的坐标为 ；
（2）判断并说明点与的位置关系.
24．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）；
（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ax+b经过点A（-2，0），B（-1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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浙教版2025—2026学年九年级上册期中复习全能练考卷
数 学
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是（ ）
A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同
C．顶点相同 D．都有最低点
【答案】A
【解析】【解答】解：对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是形状与开口方向相同，
抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，有最高点（0，0）；
抛物线的对称轴是直线x=h，顶点是（h，0），有最高点（h，0）；
故答案为：A
【分析】利用二次函数的图象逐项判断即可。
2．已知⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．点A不在⊙O内
【答案】A
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为6，点A与圆心O的距离为5，，
∴点A在⊙O内，
故答案为：A．
【分析】利用点到圆心的距离与半径进行比较，可得到但A与圆O的位置关系.
3． 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°；④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，AB=OA，即AB的长度等于半径，
以AB为边的圆的内接三角形有无数个，
∴一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确；
∵OA=OB=AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
当点C在优弧AB上时，∠C=30°，
当点C在劣弧AB上时，∠C=150°
当点C在圆上移动时，∠CAB可能是90°，
∴一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确；
由以上可知，∠C可以是30°或150°，
当AC=AB，∠C=30°时，
∠CAB=180°-30°3-30°=120°，
∴当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确；
过点O作OH⊥AB于H，
则，
∴，
当点C为优弧AB的中点时，△ABC的面积最大，最大面积为：，故④结论错误；
故答案为：C.
【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出AH，根据勾股定理求出OH，求出△ABC的最大面积，判断④.
4．将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是，
故答案为：B.
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规则进行解答.
5．如图，二次函数的图象所在坐标系的原点是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴对称轴是，
∴点是二次函数所在坐标系的原点；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数解析式求出对称轴，即可判断坐标系的原点。
6．抛物线关于轴对称的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为（1，3），开口向上，
所以其关于x轴对称的抛物线的顶点坐标为（1，-3），开口向下，
所以抛物线的解析式为y=-（x-1）2-3.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向求出其关于x轴对称的抛物线的顶点坐标和开口方向，即可得到所求抛物线的解析式。
7．如图，在中，，则劣弧的度数为（ ）
A．106° B．126° C．74° D．53°
【答案】A
【解析】【解答】解：连接OA，
∵OA=OB，∠B=37°
∴∠A=∠B=37°，∠O=180°-2∠B=106°.
故答案为：A.
【分析】连接OA，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠B=37°，然后利用内角和定理进行计算.
8．如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（ ）
A．20m B．12m C．10m D．8m
【答案】C
【解析】【解答】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：，
设，，
∴，
解得：，
即，
故答案为：C．
【分析】先利用垂径定理得到AD长，然后根据勾股定理得到半径的值即可．
9．如图，在扇形AOB 中，∠AOB=80°，半径OA=3，C 是上一点，连结OC，D 是OC 上一点，且OD=DC，连结 BD.若BD⊥OC，则. 的长为( )
A． B． C． D．π
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵OD=DC， BD⊥OC，
∴BC=OB，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵∠AOB=80°，
∴∠AOC=20°，
的长为
故答案为：B .
【分析】连接BC，根据垂直平分线的性质得BC=OB，可得△OBC是等边三角形， 求出∠AOC = 20°， 再根据弧长公式计算即可.
10．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为(﹣1，3)，与x轴的交点A在点(﹣3，0)和(﹣2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论，其中符合题意结论的个数为（ ）
①若点P(﹣3，m)，Q(3，n)在抛物线上，则m＜n；②c＝a+3；③a+b+c＜0；④方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】由抛物线与x轴有两个交点，可知b2-4ac＞0，所以①不符合题意；
由抛物线的顶点为D（-1，3），可知抛物线的对称轴为直线x=-1，然后由抛物线与x轴的一个交点A在点（-3，0）和（-2，0）之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，因此当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以②符合题意；
由抛物线的顶点为D（-1，3），可知a-b+c=2，然后由抛物线的对称轴为直线x= =-1，可得b=2a，因此a-2a+c=2，即c-a=2，所以③符合题意；
由于当x=-1时，二次函数有最大值为2，即只有x=-1时，ax2+bx+c=2，因此方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根，所以④符合题意．
故答案为：C．
【分析】本题主要考查二次函数图象的对称性，结合平面直角坐标，找到对称轴和开口方向，以及与x轴的一个交点范围‘；①中我们可以看出点P比点Q更靠近对称轴，所以①正确；②将顶点坐标代入，得到c=3+b-a，又知道对称轴，则b=2a；得到c=3+a正确；③当x=1时和x=-3时，y值相等，故a+b+c<0正确；④该函数图象与y=3有两个交点，说明有两个不相等的实数根，故答案选项错误
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知二次函数 的顶点为 ，则其图象与y轴的交点坐标为 .
【答案】
【解析】【解答】根据题意知： ，解得： ，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣1，当x=0时，y=﹣1，∴此二次函数图象与y轴的交点为（0，﹣1）.
故答案为：（0，﹣1）.
【分析】先根据抛物线顶点坐标求出b和c的值，再求出x=0时y的值即可得出答案.
12．如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一动点，那么OP长的取值范围是 .
【答案】3≤OP≤5
【解析】【解答】如图：连接OA，作OM⊥AB与M，
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5，
∴OP的最大值为5，
∵OM⊥AB与M，
∴AM＝BM，
∵AB＝8，
∴AM＝4，
在Rt△AOM中，OM＝ ，
OM的长即为OP的最小值，
∴3≤OP≤5.
【分析】连接OA，作OM⊥AB与M，k值OP的最大值为5，利用垂径定理可求出AM的长，利用勾股定理求出OM的长，利用垂线段最短，可知此时OP的长最小值为3，由此可求出OP的取值范围.
13． 如图，将边长为2的正六边形铁丝框ABCDEF变形为以点 A 为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB(阴影部分)的面积为 ，该扇形所对的圆心角是 °(结果用含π的式子表示).
【答案】8；
【解析】【解答】解：由题意可知，
的长为2×4=8，AF=AB=2，
设所对应的圆心角的度数为n，则，
解得n=，
扇形面积为S=，
故答案为：8，．
【分析】根据题意得到的长，利用弧长公式即可计算出所对应的圆心角，再利用扇形面积公式即可计算出结果.
14．如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是 .
【答案】50°
【解析】【解答】解：根据题意，
∵，
∴，
由旋转的性质，则，，
∴，
∴；
∴旋转角的度数是50°.
故答案为：50°.
【分析】根据题意可得DE⊥AC，∠CAD=25°，由余角的性质可得∠ADE=65°，根据旋转的性质可得∠B=∠ADE=65°，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠ADB=∠B=65°，然后根据内角和定理进行计算.
15．若某二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则它的表达式为 ．
【答案】
【解析】【解答】图象顶点坐标为，
可以设函数解析式为，
又∵二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，
∴a=3，
∴这个函数解析式为：，
故答案为：．
【分析】由二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，求出a值，利用顶点式直接写出解析式即可.
16．如图，在菱形ABCD中，，射线BM在内，点和点关于BM对称，AE与BM交于点，连接CE、CF，若，则的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AE于H，连接BE，设EC与BF的交点为G，如图，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠BCD=60°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，
∴BA=BD=BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，BF⊥EC，
∴A、D、E、C四点共圆，如图：
∵∠BAD=60°，
∴∠ADC=∠AEC= 120°，
∴∠FEC=60°，
∴△EFC是等边三角形，
∴EC=EF=2，
∴，EG=1，
设BE=x，则，
∵AE=5，
∴AH=HE=2.5，
∴FH=HE+EF=4.5.
设BE=x，
∴，
即
解得：，
∴，.
∴.
故答案为：.
【分析】通过证明A、D、E、C四点共圆，可得∠ADC=∠AEC=120°，可证△EFC是等边三角形，于是有EC=EF=2，，EG=1，设BE=x，用勾股定理分别在△BEH和△BFH中表示出BH，得关于x的方程，求解x，计算出AD和BF，即可得到得到.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面边缘点的坐标为，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为．正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
（1）求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标．
（2）若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．
（3）在该运动员入水点的正前方有两点，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为，若该运动员出水点在之间（包括两点），请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线的图象过原点，
∴，解得：，
空中运动时对应抛物线的解析式为，
当时，
，
解得：（舍去），，
的坐标为．
（2）解：当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为．
当时，，
，
该运动员此次跳水不会失误．
（3）解：由题意知，当抛物线经过点时，最大．
∵，
∴M的坐标为．
∵，
∴对称轴为，
即，
∴此时抛物线解析式为，
∵抛物线解析式为经过点，
∴，解得：，
当经过点时，最小．
同理可求得，
∴．
【解析】【分析】（1）先设出抛物线的解析式，代入解析式，求得抛物线的解析式，再取，求得点坐标．
（2）当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为．将代入中，得．根据，判断作答即可．
（3）当抛物线经过点时，最大．由，从而可得出M点的坐标，再根据B点的坐标，求出对称轴，从而可求得h，进而得出此时抛物线解析式为，将点代入得，由题意知，当经过点时，最小，同理可求得，进而可得的取值范围．
（1）解：设抛物线的解析式为，
将代入解析式，得，
空中运动时对应抛物线的解析式为，
令，则，
解得（舍去），，
的坐标为．
（2）解：当距点水平距离为4米时，对应的横坐标为．
将代入中，得．
，
该运动员此次跳水不会失误．
（3）解：由题意知，当抛物线经过点时，最大．
∵，
∴．
∵，
∴，
此时抛物线解析式为，
将点代入得，
由题意知，当经过点时，最小．
同理可求得，
∴．
18．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘甲、乙，分别被分成4等份、3等份，且每份内均标有数字.小洋和小倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘甲与乙；②两个转盘停止转动后，将两个指针所指的数字相加(若指针恰好停在分隔线上，则重转一次)；③若和为0，则小洋获胜，否则小倩获胜.
（1）用列表或画树状图的方法求小洋获胜的概率.
（2）你认为这个游戏对双方公平吗 若公平，请说明理由；若不公平，请修改游戏规则使游戏变得公平.
【答案】（1）解：根据题意画出树状图如下：
由图可知：共有12种等可能的结果数，其中和为0的等可能的情况数有3种，
∴小洋获胜的概率为：；
（2）解：不公平，理由如下：
(小倩胜)小倩获胜的可能性大；
修改游戏规则如下：若和大于0，则小洋获胜，否则小倩获胜(答案不唯一).
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由图可知：共有12种等可能的结果数，其中和为0的等可能的情况数有3种，从而根据概率公式可算出答案；
（2）不公平，理由如下：分别算出小倩获胜的概率，再与小洋获胜的概率比大小，即可判断得出答案；进而根据使两人获胜的概率相等修改方案即可.
19．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开．松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去．
（1）请用树状图或列表的方法，表示松鼠走出笼子的所有可能路线（经过的两道门）．
（2）求松鼠经过E门出去的概率．
【答案】（1）解：根据题意画出树状图如下：
（2）解：根据（1）所得的树状图可知：
松鼠走出笼子的所有可能路线结果数为6，松鼠经过E门出去的结果数为3，
∴松鼠经过E门出去的概率为．
故答案为：.
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图即可；
（2）根据（1）中的树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
（1）解：根据题意画出树状图如下：
（2）解：根据（1）所得的树状图可知：松鼠走出笼子的所有可能路线结果数为6，松鼠经过E门出去的结果数为3，则松鼠经过E门出去的概率为．
20．如图，四边形内接于，为的直径，．
（1）试判断的形状，并给出证明；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°，
∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=AB=，
∴AC=，
Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=，
∴CD=．
【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，再根据等腰直角三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得BC=AB=，再根据勾股定理即可求出答案.
21．二次函数中的自变量和函数值满足下表：
（1）这个二次函数的对称轴是直线 ；
（2）的值为 ；
（3）当时，则的取值范围为 ．
【答案】（1）
（2）3
（3）解：
【解析】【解答】解： (1) ∵当x=1与3时，y=0，∴（1，0）与(3，0)是对称点，∴对称轴为.
故答案为：．
（2）（4，m）与（0，3）是对称点，所以m=3.
故答案为：3．
（3）由表格数据可知，当0＜x＜3时，则y的取值范围为﹣1≤y＜3，
故答案为：﹣1≤y＜3．
【分析】（1）先找出一对对称点，再求对称轴的直线方程；
（2）根据抛物线的对称性求得即可；
（3）根据表格中数据即可得出结论．
22．某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每套书降价 元时， 所获利润为 元，
则每天可出售 套：
由题意得： ；
（2）解：
则当 时， 取得最大值 1250 ；
即当将价 15 元时， 该书店可获得最大利润 1250 元.
【解析】【分析】考查二次函数的应用问题
（1）设每套书降价元时，所获利润为元，再表示出每天书刊的销售量，据此列出利润y关于降价x的函数关系式为，再进行化简可求出答案；
（2）先进行配方可将二次函数解析式化为顶点式可得：，进而可求出二次函数的最大值，求出答案.
23．如图，在平面直角坐标系中，、、是上的三个点，、、.
（1）圆心的坐标为 ；
（2）判断并说明点与的位置关系.
【答案】（1）
（2）解：圆的半径
点到点的距离为
∵∴点在的内部
【解析】【解答】（1）分别作出线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点即是圆心M，
故答案为：（2，0）；
【分析】（1）分别作出线段AB和BC的垂直平分线，它们的交点即是圆心M，再求解即可；
（2）利用两点之间的距离公式求出DM的长，再利用点与圆的位置关系分析求解即可.
24．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）；
（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
（2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
（3）解：由题意，得“三倍点”所在的直线为．在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
【解析】【分析】（1）首先根据点（1.-6），可求出二次函数解析式，进而根据“三倍点”定义，可设该函数图象上的“三倍点”坐标为，进而根据解析式可得出，解方程即可求解；
（2）首先可求出抛物线的对称轴，进而分类求出 该函数的最小值（用含的代数式表示） ，①当即时，②当即时，分别求解即可．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解．
（1）解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
（2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
（3）由题意，得“三倍点”所在的直线为．
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+ax+b经过点A（-2，0），B（-1，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为C，直接写出点C的坐标和∠BOC的度数．
【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+ax+b经过点A（-2，0），B（-1，3），
∴ ，
解得 ，
∴y=x2+6x+8．
（2）解：∵y=x2+6x+8=（x+3）2-1，
∴顶点C坐标为（-3，-1），
∵B（-1，3）．
∴OB2=12+32=10，OC2=32+12=10，BC2=[（-3）-（-1）]2+（-1-3）2=20，
∴OB2+OC2=BC2，
则△OBC是以BC为斜边的直角三角形，
∴∠BOC=90°．
【解析】【分析】（1）将A、B点的坐标代入抛物线方程，建立关于a、b的方程，计算参数，即可得出答案。
（2）结合抛物线方程，分别得出B、C的坐标，分别计算出OB、OC、BC的长度，结合勾股定理，即可得出答案。
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