1.1 线性变换与二阶矩阵 同步练习（含答案）

1.1
线性变换与二阶矩阵
同步练习
1.设矩阵A=,求点P(-2,2)在A所对应的线性变换的作用下的像P′的坐标.
2.求矩阵对应的线性变换把直线y=x-2变成的直线方程.
3.变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换,求曲线2x2-2xy+y2=1在变换T作用下所得的曲线方程.
4.运用旋转矩阵,求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程.
5.已知二阶矩阵M=,矩阵M对应的变换将点(2,1)变换成点(4,-1),求矩阵M将圆x2+y2=1变换后的曲线方程.
6.已知矩阵M=,矩阵M对应的变换把曲线y=x2变为曲线C,求C的方程.
7.在直角坐标系xOy中,点(2,-2)在矩阵M=对应变换作用下得到点(-2,4),曲线C:x2+y2=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′,求曲线C′的方程.
8.四边形ABCD和四边形A′B′C′D′分别是正方形和平行四边形,其中点的坐标分别为A(-1,2),B(3,2),C(3,-2),D(-1,-2),A′(-1,0),B′(3,8),C′(3,4),D′(-1,-4),求将四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′的变换矩阵M.
9.曲线C1:x2+2y2=1在矩阵M=的作用下变换为曲线C2,求C2的方程.
10.变换T是将平面上每个点M
(x,y)的横坐标乘2,纵坐标乘4,变到点M′(2x,4y).
(1)求变换T的矩阵.
(2)圆C:x2+y2=1在变换T的作用下变成了什么图形
答案解析
1.【解析】因为A
所以像P′的坐标是(-2,-2).
2.【解析】矩阵
QUOTE
对应的线性变换为,
则可得
QUOTE
代入y=x-2,得x′-2y′=y′-2,
即x′-3y′+2=0,
所以x-3y+2=0为所求的直线方程.
3.【解析】变换T所对应的变换矩阵为M=.
设(x,y)是变换后曲线上任一点,与之对应的变换前的点是(x0,y0),
则M,即
将其代入2-2x0y0+
QUOTE
=1,
得x2+2xy+2y2=1.
所以变换后的曲线方程为x2+2xy+2y2=1.
4.【解析】旋转矩阵.
直线2x+y-1=0上任意一点(x0,y0)旋转变换后为(x0′,y0′),
得,
∴
即直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是
即
5.【解析】由已知得M,
即,
∴解得
QUOTE
∴M=
QUOTE
.
设点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点,变换后的点为P′(x′,y′),
则M,所以
从而
又(x,y)在x2+y2=1上,所以(x′-2y′)2+(x′+y′)2=9,
即变换后的曲线方程为2x2-2xy+5y2=9.
6.【解析】设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点,它是曲线y=x2上的点P0(x0,y0)在矩阵M对应的变换下的对应点,则有(x,y)=M(x0,y0),
∵矩阵M=
QUOTE
,代入可得
QUOTE
∴
QUOTE
∵点P0在曲线y=x2上,
∴2y=x2,
∴曲线C的方程为x2=8y.
7.【解析】∵矩阵M=对应的变换公式是
将已知代入得得a=2,即
∴代入C:x2+y2=1,
得C′:y′2+x′2=1.
∴曲线C′的方程为x2+
QUOTE
y2=1.
8.【解析】该变换为切变变换,设矩阵M为,
则,所以-k+2=0,
解得k=2.所以M为
QUOTE
.
9.【解析】设P(x,y)为曲线C2上任意一点,P′(x′,y′)为曲线x2+2y2=1上与P对应的点,
则,即
QUOTE
得
因为P′是曲线C1上的点,
所以C2的方程为(x-2y)2+2y2=1即x2-4xy+6y2=1.
10.【解析】(1)设变换T的矩阵为A,由已知得T:,
∴变换T的矩阵是
QUOTE
.
(2)由x′=2x,y′=4y,得:
x=
QUOTE
x′,y=
QUOTE
y′,
代入方程x2+y2=1,得:
QUOTE
x′2+y′2=1,
∴圆C:x2+y2=1在变换T的作用下变成了椭圆
=1.