1.3 线性变换的基本性质 课件2（共2课时）

课件51张PPT。一 线性变换与二阶矩阵二 二阶矩阵与平面向量的乘法三 线性变换的基本性质第一讲线性变换与二阶矩阵三线性变换的基本性质(第一课时)线性变换的基本性质第一课时第二课时 1. 坐标平面上一向量经过两次线性变换所得的结果, 与两次变换的先后顺序有什么关系? 2. 二阶矩阵与向量的乘法有什么性质? 3. 在线性变换的作用下, 点的像是什么?直线的像是什么? (一) 线性变换的基本性质2aaa先伸长, 再旋转;先旋转, 再伸长.两结果相同.(一) 线性变换的基本性质90?旋转变换公式为设 A=R90?先伸长, 再旋转:A(2a)=先旋转, 再伸长:2(Aa)=得 A(2a)=2(Aa).猜想:对任意二阶矩阵 A 和任意平面向量 a,以及任意实数 l,A(la) = l(Aa) 成立.下面我们证明这一猜想.证明:意平面向量, l 为任意实数, 则A(la)=l(Aa)= 问题2. a, b 是任意的两个平面向量, 对于任一二阶矩阵 A, A(a+b)=Aa+Ab 是否成立? 画图试试.设 A 为关于 x 轴的反射变换矩阵,如图.CC?C?B?A?A(a+b)=Aa+Ab. (旋转变换也同样, 同学们可试试.)证明:A(a+b)=所以得 A(a+b) = Aa+Ab.Aa+Ab= 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上的任意两个向量, l 是一个任意实数, 则
(1) A(la) =lAa;
(2) A(a+b) =Aa+Ab.性质 1:由性质 1 很容易推出下面的定理.定理 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上的任意两个向量, l1, l2 是任意两个实数, 则
A(l1a+l2b) =l1Aa+l2Ab. 问题3. 平面上一点经过线性变换所得的像仍然是一个点吗? 一条直线呢? 一个点经过任意的线性变换, 所得的像都是一个点. 一条直线经过线性变换后, 所得的像是一条直线或一个点. 如: 一条垂直于 x 轴的直线, 关于 x 轴的投影变换, 它的像就是这条直线与 x 轴的交点. 二阶矩阵对应的变换 (线性变换) 把平面上的直线变成直线 (或一点).性质2:对性质 2 的证明我们简述如下:设 P1, P2 是直线上的两点, 则存在实数 l, m, 使设线性变换矩阵为 A,直线 P1P2 在 A 的作用下的像为这是点 P1 经过 A 变换, 再经过 (l+m) 伸缩 的一个点.①第 1、2、3 题.解:由线性变换矩阵得用 x?, y? 表示 x, y 得代入直线的方程得y?=x?-2y?-2,即 x?-3y?-2=0. 线性变换将直线 y=x-2 变成了另一直线 x?-3y?-2=0.解:则直线 l 的向量方程为经矩阵 M 切变变换:切变变换将 l 变成了一条过点 (1, 1), 且平行于解:则直线 l 的向量方程是经矩阵 M 投影变换:经 M 投影变换将 l 变成了一个点 (2, 0).解: 在变换的作用下, A, B, C 三点对应变为A?(2, 0), B?(3, 0),C?(3, 0).(1) 直线 AB 变成了直线 (x 轴);(2) 直线 BC 变成了一个点 (3, 0);(3) △ABC 变成了一条线段.A?B?C?【课时小结】1. 二阶矩阵与向量乘法的性质 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上的任意两个向量, l 是一个任意实数, 则
(1) A(la) =lAa;
(2) A(a+b) =Aa+Ab.性质 1:定理 1: 设 A 是一个二阶矩阵, a, b 是平面上的任意两个向量, l1, l2 是任意两个实数, 则
A(l1a+l2b) =l1Aa+l2Ab.【课时小结】2. 线性变换的性质在线性变换的作用下,(1) 点经过变换仍是点.(2) 直线经过变换变成直线 (或一点).三线性变换的基本性质(第二课时)线性变换的基本性质第一课时第二课时1. 如何用列向量表示一个单位正方形? 2. 什么是恒等变换? 它的变换矩阵是怎样的? 3. 你到对单位正方形作如下的线性变换吗? 变换后分别是什么样的图形? 恒等变换、旋转变换、切变变换、反射变换、投影变换.(二) 一些重要线性变换对单位正方形区域的作用 问题 1. 如图是直角坐标系 xOy 内的单位正方形区域, 在线性变换 A 的作用下, 这个区域变成的是一个什么图形?ij向量, 用向量表示这个区域: 在二阶矩阵 A 的作用下进行线性变换:①平行四边形区域.1. 恒等变换 把平面上任一点变成它本身的几何变换称为恒等变换, 记为 I.恒等变换公式应为恒等变换 I 对应的矩阵是单位矩阵即(不变)2. 旋转变换旋转变换 Ra 的变换公式为:对应的矩阵为(1) 旋转变换 R30?: (请同学们计算 R90?, R270?).2. 旋转变换旋转变换 Ra 的变换公式:对应的矩阵为(2) 旋转变换 R90?:-12. 旋转变换旋转变换 Ra 的变换公式:对应的矩阵为(3) 旋转变换 R270?:-113. 切变变换(1) 平行于 x 轴的切变变换公式为:对应的矩阵为① k=1 时的切变:3. 切变变换(1) 平行于 x 轴的切变变换公式为:对应的矩阵为3. 切变变换(2) 平行于 y 轴的切变变换公式为:对应的矩阵为① k=1 时的切变:(请同学们计划并画图)3. 切变变换(2) 平行于 y 轴的切变变换公式为:对应的矩阵为4. 反射变换(1) 关于 x 轴的反射变换公式为:对应的矩阵为-14. 反射变换(2) 关于 y 轴的反射变换公式为:对应的矩阵为-15. 投影变换(1) 关于 x 轴的正投影变换公式为:对应的矩阵为5. 投影变换(2) 关于 y 轴的正投影变换公式为:对应的矩阵为第 4、5、6 题.解:A(x1i+x2j) =x1(Ai)+x2(Aj). ∴正方形在 A 的作用下变成了以向量 (2, -1) 和向量 (-3, 1) 为邻边的平行四边形.2-3解:由矩阵得变换公式为用 x?, y? 表示 x, y 得①将①代入 xy=1 得是旋转变换 R45?.解:(1)对应的变换公式为即代入圆的方程得图形与原来的单位圆相同.解:(2)对应的变换公式为代入圆的方程得变换后的图形是一个椭圆.用 x?, y? 表示 x, y 得解:(3)对应的变换公式为代入圆的方程得变换后的图形是双曲线.用 x?, y? 表示 x, y 得【课时小结】1. 单位正方形的区域单位向量.【课时小结】2. 线性变换单位正方形(1) 恒等变换 I【课时小结】2. 线性变换单位正方形(2) 旋转变换【课时小结】2. 线性变换单位正方形(3) 切变变换【课时小结】2. 线性变换单位正方形(4) 反射变换【课时小结】2. 线性变换单位正方形(5) 投影变换本讲完本讲完