4.1 变换的不变量——矩阵的特征向量 课件1
文档属性
| 名称 | 4.1 变换的不变量——矩阵的特征向量 课件1 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 503.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-09-20 16:39:24 | ||
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文档简介
课件24张PPT。4.1 变换的不变量与矩阵的特征向量1.矩阵的特征值与特征向量的定义
对于矩阵 实数λ及非零向量 ，特征值特征向量2.特征向量的性质
(1)设 是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对于任
意的非零常数k，____也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
(2)属于矩阵的不同特征值的特征向量_______.
(3)求矩阵 的特征值、特征向量的步骤：
第一步：列特征多项式f(λ)=___________.
第二步：求f(λ)=0的根，即特征值.
第三步：针对不同的特征值，解相应的线性方程组，得一个非
零解，即特征向量.不共线3.特征向量的应用
(1)设A是一个二阶矩阵， 是矩阵A的属于特征值λ的任意一
个特征向量，则 ______ (n∈N*)
(2)性质1：设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值 是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意
的非零平面向量 ，设 (其中t1,t2为实数),则对
任意的正整数n，有 ___________.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)任意向量都可以作为特征向量.( )
(2)矩阵A的属于特征值λ的特征向量是唯一的.( )
(3)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量.( )
(4)矩阵A的属于特征值λ的特征向量共线.( )
(5)矩阵A的特征向量分别为 任意非零向量 均可
以用 表示.( )【解析】(1)错误，特征向量必须是非零向量.
(2)错误，矩阵A的属于特征值λ的特征向量有无数个.
(3)错误，如矩阵 就没有特征值，也就没有特征
向量.
(4)正确，若 是矩阵A的特征向量，则 都是矩阵
A的特征向量，显然是共线向量.
(5)正确，都可以表示为 (其中t1，t2为实数)的
形式.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 考向1 矩阵特征值、特征向量的求法
【典例1】(2012·江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A-1=
求矩阵A的特征值．
【思路点拨】首先求出矩阵A，再按照求矩阵特征值的步骤求
矩阵A的特征值.【规范解答】∵A-1A=E2，∴A=(A-1)-1.
∴矩阵A的特征多项式为 令
f(λ)=0，解得矩阵A的特征值λ1=-1,λ2=4.【互动探究】本例中条件不变，试求矩阵A的属于每个特征值的一个特征向量.
【解析】对于特征值λ1=-1，解相应的线性方程组
是矩阵A的属于特征值λ1=-1的一个特征向量；对于特征值λ2=4，解相应的线性方程组
是矩阵A的属于特征值λ2=4的一个特征向量.【拓展提升】 求矩阵特征值、特征向量的四个注意点
(1)求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行.
(2)特征值与特征向量相对应,属于不同特征值的特征向量一般不共线.
(3)将特征值代入后得到的方程组若某一变量缺失,实质其系数为0,该变量可任意取值.
(4)求出特征值是唯一的，而特征向量是不唯一的，但属于同一特征值的特征向量都应该是共线向量.【变式备选】(2013·福州模拟)设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．
(1)求矩阵M.
(2)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
【解析】(1)由条件得矩阵
(2)因为矩阵 的特征多项式为
令f(λ)=0，解得特征值为λ1=1，λ2=2，设属于特征值λ1的矩阵M的一个特征向量为e1=
则由线性方程-y=0，得
同理，对于特征值λ2，
得一个特征向量为
所以 是矩阵M属于特征值λ1=1的一个特征向量，
是矩阵M属于特征值λ2=2的一个特征向量．考向2 矩阵的特征值、特征向量的应用
【典例2】已知矩阵 A的一个特征值λ=2，属
于λ的特征向量是
(1)求矩阵A.
(2)求直线y=2x在矩阵A所对应的线性变换下的像的方程.
【思路点拨】利用特征值、特征向量的定义式 列出
关于a,b的关系式，即可求出a,b，即得矩阵A，再利用图形变换的坐标变换公式，求变换后的方程.【规范解答】(1)由题意
解得a=2,b=4，所以
(2)
代入到直线y=2x中得7x′=5y′,
故变换后的方程是7x-5y=0.【拓展提升】利用特征值、特征向量求矩阵的关注点
(1)利用特征值、特征向量求矩阵用待定系数法，列相应关系的依据是特征值、特征向量的定义.
(2)在解题的过程中，还是要注意相关方程组的准确求解.
(3)此类问题往往与图形变换等知识综合考查.【变式训练】已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为
并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变成点(9,15)，求出矩阵M.
【解析】考向3 的简单表示
【典例3】(2013·泉州模拟)已知矩阵 的一个
特征值为1.
(1)求矩阵M的另一个特征值.
(2)设
【思路点拨】(1)列出矩阵M的特征多项式f(λ)，利用1是
f(λ)=0的根求a及另一个特征值.
(2)将向量 表示为 的形式，再利用公式【规范解答】(1)矩阵M的特征多项式
又∵矩阵M的一个特征值为1，
∴f(1)=0，∴a=0，
由f(λ)=λ(λ-3)+2=0，得λ1=1,λ2=2，
所以矩阵M的另一个特征值为2.(2)矩阵M的一个特征值为λ1=1，对应的一个特征向量为
另一个特征值为λ2=2，对应的一个特征向量为
【拓展提升】表示 的三个步骤
第一步：求出矩阵A的特征值λ1,λ2，对应的特征向量
第二步：设 利用向量相等列方程组求t1,t2.
第三步：代入
【提醒】 的对应
要准确，避免对应错误.【变式训练】已知矩阵M有特征值λ1＝4及对应的一个特征向
量 并有特征值λ2＝－1及对应的一个特征向量
求矩阵M及M2 013e2.【解析】
由①②得a＝1，b＝3，c＝2，d＝2，
对于矩阵 实数λ及非零向量 ，特征值特征向量2.特征向量的性质
(1)设 是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对于任
意的非零常数k，____也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量.
(2)属于矩阵的不同特征值的特征向量_______.
(3)求矩阵 的特征值、特征向量的步骤：
第一步：列特征多项式f(λ)=___________.
第二步：求f(λ)=0的根，即特征值.
第三步：针对不同的特征值，解相应的线性方程组，得一个非
零解，即特征向量.不共线3.特征向量的应用
(1)设A是一个二阶矩阵， 是矩阵A的属于特征值λ的任意一
个特征向量，则 ______ (n∈N*)
(2)性质1：设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值 是矩阵A的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意
的非零平面向量 ，设 (其中t1,t2为实数),则对
任意的正整数n，有 ___________.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)任意向量都可以作为特征向量.( )
(2)矩阵A的属于特征值λ的特征向量是唯一的.( )
(3)每一个二阶矩阵都有特征值及特征向量.( )
(4)矩阵A的属于特征值λ的特征向量共线.( )
(5)矩阵A的特征向量分别为 任意非零向量 均可
以用 表示.( )【解析】(1)错误，特征向量必须是非零向量.
(2)错误，矩阵A的属于特征值λ的特征向量有无数个.
(3)错误，如矩阵 就没有特征值，也就没有特征
向量.
(4)正确，若 是矩阵A的特征向量，则 都是矩阵
A的特征向量，显然是共线向量.
(5)正确，都可以表示为 (其中t1，t2为实数)的
形式.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 考向1 矩阵特征值、特征向量的求法
【典例1】(2012·江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A-1=
求矩阵A的特征值．
【思路点拨】首先求出矩阵A，再按照求矩阵特征值的步骤求
矩阵A的特征值.【规范解答】∵A-1A=E2，∴A=(A-1)-1.
∴矩阵A的特征多项式为 令
f(λ)=0，解得矩阵A的特征值λ1=-1,λ2=4.【互动探究】本例中条件不变，试求矩阵A的属于每个特征值的一个特征向量.
【解析】对于特征值λ1=-1，解相应的线性方程组
是矩阵A的属于特征值λ1=-1的一个特征向量；对于特征值λ2=4，解相应的线性方程组
是矩阵A的属于特征值λ2=4的一个特征向量.【拓展提升】 求矩阵特征值、特征向量的四个注意点
(1)求矩阵的特征值与特征向量可按照相应的步骤进行.
(2)特征值与特征向量相对应,属于不同特征值的特征向量一般不共线.
(3)将特征值代入后得到的方程组若某一变量缺失,实质其系数为0,该变量可任意取值.
(4)求出特征值是唯一的，而特征向量是不唯一的，但属于同一特征值的特征向量都应该是共线向量.【变式备选】(2013·福州模拟)设矩阵M是把坐标平面上的点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标保持不变的伸缩变换．
(1)求矩阵M.
(2)求矩阵M的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．
【解析】(1)由条件得矩阵
(2)因为矩阵 的特征多项式为
令f(λ)=0，解得特征值为λ1=1，λ2=2，设属于特征值λ1的矩阵M的一个特征向量为e1=
则由线性方程-y=0，得
同理，对于特征值λ2，
得一个特征向量为
所以 是矩阵M属于特征值λ1=1的一个特征向量，
是矩阵M属于特征值λ2=2的一个特征向量．考向2 矩阵的特征值、特征向量的应用
【典例2】已知矩阵 A的一个特征值λ=2，属
于λ的特征向量是
(1)求矩阵A.
(2)求直线y=2x在矩阵A所对应的线性变换下的像的方程.
【思路点拨】利用特征值、特征向量的定义式 列出
关于a,b的关系式，即可求出a,b，即得矩阵A，再利用图形变换的坐标变换公式，求变换后的方程.【规范解答】(1)由题意
解得a=2,b=4，所以
(2)
代入到直线y=2x中得7x′=5y′,
故变换后的方程是7x-5y=0.【拓展提升】利用特征值、特征向量求矩阵的关注点
(1)利用特征值、特征向量求矩阵用待定系数法，列相应关系的依据是特征值、特征向量的定义.
(2)在解题的过程中，还是要注意相关方程组的准确求解.
(3)此类问题往往与图形变换等知识综合考查.【变式训练】已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为
并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变成点(9,15)，求出矩阵M.
【解析】考向3 的简单表示
【典例3】(2013·泉州模拟)已知矩阵 的一个
特征值为1.
(1)求矩阵M的另一个特征值.
(2)设
【思路点拨】(1)列出矩阵M的特征多项式f(λ)，利用1是
f(λ)=0的根求a及另一个特征值.
(2)将向量 表示为 的形式，再利用公式【规范解答】(1)矩阵M的特征多项式
又∵矩阵M的一个特征值为1，
∴f(1)=0，∴a=0，
由f(λ)=λ(λ-3)+2=0，得λ1=1,λ2=2，
所以矩阵M的另一个特征值为2.(2)矩阵M的一个特征值为λ1=1，对应的一个特征向量为
另一个特征值为λ2=2，对应的一个特征向量为
【拓展提升】表示 的三个步骤
第一步：求出矩阵A的特征值λ1,λ2，对应的特征向量
第二步：设 利用向量相等列方程组求t1,t2.
第三步：代入
【提醒】 的对应
要准确，避免对应错误.【变式训练】已知矩阵M有特征值λ1＝4及对应的一个特征向
量 并有特征值λ2＝－1及对应的一个特征向量
求矩阵M及M2 013e2.【解析】
由①②得a＝1，b＝3，c＝2，d＝2，