4.1 变换的不变量——矩阵的特征向量 同步练习（含答案）

4.1
变换的不变量与矩阵的特征向量
同步练习
1.已知y=f(x)的图象(如图1)经过矩阵A=作用后变换为曲线C(如图2).
(1)求矩阵A.
(2)求矩阵A的特征值.
2.已知矩阵M=.
(1)求直线4x-10y=1在M作用下的方程.
(2)求M的特征值与特征向量.
3.已知矩阵A=,点M(-1,-1),点N(1,1),
(1)求线段MN在矩阵A对应的变换作用下得到的线段M′N′的长度.
(2)求矩阵A的特征值与特征向量.
4.已知二阶矩阵M属于特征值-1的一个特征向量为,属于特征值2的一个特征向量为,求矩阵M及其逆矩阵M-1.
5.已知二阶矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为,属于特征值7的一个特征向量为
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
.
(1)求矩阵A.
(2)若方程满足AX=
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
,求X.
6.设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.
(1)求矩阵M的特征值及相应的一个特征向量.
(2)求逆矩阵M-1以及椭圆=1在M-1的作用下的新曲线的方程.
7.已知矩阵M=,向量a=
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
,求M3a.
8.已知矩阵A=,求A的特征值λ1,λ2及对应的特征向量a1,a2.
9.已知矩阵A=,向量α=.
(1)求A的特征值λ1,λ2和对应的一个特征向量α1,α2.
(2)计算A5α的值.
10.已知二阶矩阵M=有特征值λ1=2及对应的一个特征向量e1=
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
.
(1)求矩阵M.
(2)若a=
QUOTE
EMBED
Equation.DSMT4
,求M10a.
答案解析
1.【解析】(1)(π,0)变为(,0),∴
∴a=
QUOTE
,c=0.
又(
QUOTE
,1)变为(,1),∴
∴b=0,d=1,∴A=.
(2)由题意得=0,
∴(λ-
QUOTE
QUOTE
)(λ-1)=0,解得λ=
QUOTE
QUOTE
或1,
即矩阵A的特征值为
QUOTE
,1.
2.【解析】(1)因为M=
QUOTE
.设直线4x-10y=1上任意一点P′(x′,y′),
在M作用下对应点P(x,y),
则,
即所以代入4x-10y=1,
得4×x-10×y=1,即x-2y=1,
所以所求方程为x-2y=1.
(2)矩阵M的特征多项式f(λ)==(λ-4)(λ-5),令f(λ)=0,
得M的特征值为λ1=4,λ2=5.
当λ1=4时,得一个特征向量为α1=;
当λ2=5时,得一个特征向量为α2=.
3.【解析】(1)由
所以M′(-3,-4),N′(3,4),
所以|M′N′|==10.
(2)f(λ)==(λ-3)(λ-4),令f(λ)=0,
得矩阵A的特征值为λ1=3,λ2=4,
分别将λ1=3,λ2=4代入方程组
得矩阵A属于特征值λ1=3的一个特征向量为α1=.
属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=.
4.【解析】设M=,
由=(-1),得
由
QUOTE
=2
QUOTE
,得
解得故M=
QUOTE
.
因为|M|=-2,故M-1=
QUOTE
.
5.【解析】(1)设A=,则
=.
∴∴
QUOTE
得A=.
(2)由AX=得,
X=A-1,
∵A-1=,
∴X=.
6.【解析】(1)由条件得矩阵M=,
则矩阵M的特征多项式f(λ)==(λ-2)(λ-3),令f(λ)=0,
得矩阵M的特征值为2和3,
其对应的一个特征向量分别为
QUOTE
和.
(2)因为|M|=6,
M-1=,
椭圆=1在M-1的作用下的新曲线的方程为x2+y2=1.
7.【解析】∵M3=,
∴M3a=.
8.【解析】矩阵A的特征多项式为
f(λ)==(λ-3)(λ+1),
令f(λ)=0,得到矩阵A的特征值为λ1=3,λ2=-1,
当λ1=3时,由
得
∴y=0,取x=1,
得到属于特征值3的一个特征向量a1=;
当λ2=-1时,由
得取x=1,则y=-4,
得到属于特征值-1的一个特征向量a2=.
9.【解析】(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)=
=λ2-5λ+6,令f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.
当λ1=2时,解得α1=,
当λ2=3时,解得α2=.
(2)由α=mα1+nα2.得
QUOTE
解得m=3,n=1.
则A5α=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(α1)+α2
=3×25+35
QUOTE
=.
10.【解析】(1)依题意:
QUOTE
=2
QUOTE
,
∴
QUOTE
∴a=1,b=2.∴矩阵M=
QUOTE
(2)由(1)知,矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-2),
∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1,
设e2=
QUOTE
是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量,则
QUOTE
=
QUOTE
,
∴
QUOTE
取x=1,得e2=
QUOTE
,
∴a=e1+e2,∴M10a=
QUOTE
e1+
QUOTE
e2
=210
QUOTE
+110
QUOTE
=
QUOTE
.